對兩類未定式極限求解方法的幾點思考

范云曄

（江蘇城市職業(yè)學院，江蘇無錫，214011）

對兩類未定式極限求解方法的幾點思考

范云曄

（江蘇城市職業(yè)學院，江蘇無錫，214011）

對于兩類基礎未定式：“”型以及“”型未定式的極限，通常是通過洛必達法則求解。但是其中存在一些題型若直接利用洛必達法則進行求解，會使解題過程復雜難解甚至無法求出。此時可以利用初等變換中的恒等式和等價無窮小，將未定式式子進行相應的變化，從而使極限的求解過程簡化。

“”型和“”型未定式的解法；洛必達法則；初等恒等變換；等價無窮小

極限是高等數(shù)學的基礎課程之一，是數(shù)學分析的重要基礎，對該課程后續(xù)知識導數(shù)、積分等知識的學習起著至關重要的作用。而在學習極限時，未定式極限的求解方法又是學習的重中之重，并且所有的未定式最終都要轉換為“”型和“”型未定式進行極限求解。在高職高專相關教材中，這兩類未定式極限求解的知識都是通過利用洛必達法則求解的限。同時，大多數(shù)教材在安排該方面知識的求解例題時，大都列舉一些直接利用洛必達法則就能夠解決的例子，而對于直接利用洛必達法則解決比較復雜或無法解決的例子，則很少有教材提及，這就造成這樣一種假象：凡是求“”型和“”型未定式極限的題目，只要使用洛必達法則就能很快解決，而且必定能夠解決。

一、用初等變換的恒等式變化未定式式子直接求解極限

等恒等變化改變式子，再利用極限的基本公式和四則運算計算出該未定式的極限。如若不行，那么再考慮洛必達法則或其他方法來解決。

二、用等價無窮小公式變換未定式中無窮小量簡化極限求解

從求解過程可以看出，其中復合函數(shù)求導法則的使用一次比一次復雜。其實，對未定式作一個簡單變形后利用等價無窮小的公式：em·χ-1□m·χ（m≠0，χ→0），作一個等價變換，極限就很容易看出了。

∵χ→0時，-6cosχsin2χ+3cos3χ→3

∴要使極限存在，則P(P-1)(P-2)χp-30

而要使得P(P-1)(P-2)χp-30，只能時P-3=0∴P=3

從出題的形式來講，似乎該題就是考察是否掌握洛必達法則使用的前提條件?！霸谑褂寐灞剡_法則時，必須檢查所求極限是否是‘’型（或‘’型）未定式，特別是連續(xù)使用洛必達法則時必須每一次都檢查”，使用兩次洛必達法則后就能判斷出不能再次使用洛必達法則，再根據(jù)相關條件由結論倒推可得到該題的解。其實此題只需利用兩個等價無窮小轉換后，答案就已出來。

三、洛必達法則與初等變形或等價無窮小相結合，求解未定式極限

這樣極限肯定沒法求出。但是，只要先將未定式中的因式作一個簡單代換后，再利用洛必達法則求解，則該極限就能迅速地求出。

其實此未定式極限的求解，就是先通過對分子的拆分和變形將超越函數(shù)(2χ-1)2(χ-1)轉換為e2(χ-1)1n(2χ-1)初等函數(shù)，再利用兩個等價無窮小變換χ→1時1-e2（χ-1）1n(2χ-1）最后使用洛必達法求出該“”型未定式極限。同時可以發(fā)現(xiàn)該例在使用初等變形時并沒有馬上使未定式的式子化簡，反而變得較為復雜，但是通過兩次復雜等價無窮小變化后未定式的式子就被簡化了，再使用一次洛必達法則將該極限求出。

總的來說，所有未定式極限求解都可以通過相應的恒等變化轉換為“”型和“”型未定式極限的求解，洛必達法則對于這兩類基礎未定式極限求解是非常重要的，將其視為求解這兩種未定式極限的通法通則。對于一些直接使用洛必達法則求解比較復雜的或無法求解的“”型和“”型未定式極限，可以利用初等恒等變換以及利用等價無窮小來簡化未定式式子后，再根據(jù)實際使用求解極限求解的基本公式和基本法則,或者繼續(xù)靈活結合洛必達法則來求解。

[1]葉惠英．數(shù)學（第四冊）[M].南京：江蘇教育出版社.2012：61.

[2]同濟大學等編．高等數(shù)學(上冊)[M].北京：高等教育出版社.2004：139.

編輯 鄭晶

G642

A

2095-8528（2014）02-125-04

2014-09-11

范云曄（1977-），男，江蘇無錫人，江蘇城市職業(yè)學院講師，碩士，研究方向為高職數(shù)學教育。