張 莉，劉興祥，任旭嬌

（延安大學(xué)數(shù)學(xué)與計(jì)算機(jī)學(xué)院，陜西延安716000）

系數(shù)矩陣成一等比矩陣的線性方程組解的存在性

張 莉，劉興祥，任旭嬌

（延安大學(xué)數(shù)學(xué)與計(jì)算機(jī)學(xué)院，陜西延安716000）

主要討論了系數(shù)矩陣成行（列）一等比矩陣的線性方程組解的存在性問題。

線性方程組；一等比矩陣；系數(shù)矩陣

1 預(yù)備知識(shí)

定義1.1形如a，aq，aq2，…，aqn，…的數(shù)列稱為一等比數(shù)列。

定義1.2［1］設(shè)A＝（aij）∈Pm×n，若A的每一行（列）元素均成一等比數(shù)列，則稱A為數(shù)域P上的行（列）一等比矩陣。

2 主要結(jié)果

2.1 增廣矩陣成行一等比矩陣的線性方程組的解

定理2.1設(shè)含有s個(gè)方程t個(gè)未知量的線性方程組的增廣矩陣成行一等比數(shù)列。若系數(shù)矩陣的秩為m，則

（i）當(dāng)m＞t時(shí)，線性方程組（1）無解。

（ii）當(dāng)m＝t時(shí)，線性方程組（1）有唯一解，其解為

（iii）當(dāng)m＜t時(shí)，線性方程組（1）與x1＋x2y＋ x3y2＋…＋xnyn－1＋（－1）yn＝0同解。

證明：設(shè)矩陣A＝（aij）m×n為行一等比矩陣，則其有形式：設(shè)線性方程組中的每一個(gè)方程的系數(shù)依標(biāo)號(hào)成一等比數(shù)列。

要判斷線性方程組（1）是否有解，只需判斷線性方程組（1）的系數(shù)矩陣A與增廣矩陣ˉA的秩的關(guān)系，且A和ˉA的形式如下：

由于初等變換不改變矩陣的秩，故有

此時(shí)，q1，q2，…，qm兩兩互不相等。只需討論m，n的大小關(guān)系即可。

（1）當(dāng)m＝n。該線性方程組所含方程個(gè)數(shù)與未知量個(gè)數(shù)相同，且A2的行列式

符合范德蒙行列式［2］的轉(zhuǎn)置形式。由范德蒙行列式知｜A2｜≠0，則rank（A2）＝m。又m＜n＋1。故可從矩陣ˉA2中取出m行m列的子式

給行列式D2加上一行一列，將其構(gòu)造成m＋1階的范德蒙行列式，則有

行列式D2是行列式P中的元素z的余子式。根據(jù)多項(xiàng)式的根與系數(shù)關(guān)系知z的系數(shù)為（－1）m－1，其中∑表示依數(shù)1，2，3，…，m而取m－1個(gè)數(shù)k1，k2，k3，…，km－1的組合求和［4］。有

行列式D3是行列式P中的元素z2的余子式。根據(jù)多項(xiàng)式的根與系數(shù)關(guān)系知z2的系數(shù)為（－其中∑表示依數(shù)1，2，3，…，m而取m－2個(gè)數(shù)k1，k2，k3，…，km－2的組合求和。則

同理可得｜Ai｜＝

∑表示依數(shù)1，2，3，…，m而取m－i＋1個(gè)數(shù)k1，k2，k3，…，km－i＋1的組合求和。

綜上可得

（2）當(dāng)m＞n，在m行n列系數(shù)矩陣A2中可取一個(gè)n行n列的子式

即rank（A2）＝n，在中可取一個(gè)n＋1行n＋1列的子式，

故rank（A2）≠rank（），線性方程組（1）無解。

（3）當(dāng)m＜n。在系數(shù)矩陣A2中可取一個(gè)m行m列的不為零的子式

即rank（A2）＝m。在中也可取一個(gè)m行m列的子式，

故rank（A2）＝rank（）＝m，線性方程組（1）有解。當(dāng)m＜n時(shí)，線性方程組（1）的系數(shù)矩陣的秩m小于線性方程組（1）所含未知量個(gè)數(shù)n，故線性方程組（1）有無窮多解。線性方程組（1）可表示為：

該線性方程組與以y為系數(shù)，xi（i＝1，2，…，n）為未知數(shù)的方程x1＋x2y＋x3y2＋…＋xnyn－1＋（－1）yn＝0（1*）同解

2.2 增廣矩陣成列一等比矩陣的線性方程組的解

定理2.2設(shè)含有m個(gè)方程n個(gè)未知量的線性方程組

（i）當(dāng)m≥n＋1時(shí)，線性方程組（2*）無解，那么，線性方程組（2）也無解。

（ii）當(dāng)m＜n＋1，線性方程組（2*）有解，那么，線性方程組（2）也可能有解。

證明：設(shè)A＝（aij）m×n為列一等比矩陣，則其有形式：，設(shè)線性方程組中的每一個(gè)方程的系數(shù)依標(biāo)號(hào)成一等比數(shù)列。

令yj＝ajxj（j＝1，2，…，n＋1），xn＋1＝－1。那么線性方程組（2）等同于齊次線性方程組：0（i＝1，2，…，m）（2*），其中yj＝ajxj（j＝1，2，…，n＋1），xn＋1＝－1。這個(gè)齊次線性方程組永遠(yuǎn)有解。因?yàn)樗衴1＝0，y2＝0，…，yn＋1＝0這一組零解。只需討論齊次線性方程組（2*）的非零解。首先觀察齊次線性方程組的（2*）系數(shù)矩陣

假設(shè)q1，q2，…，qn＋1兩兩互不相等。

（1）當(dāng)m≥n＋1。在系數(shù)矩陣A中可取一個(gè)n＋1行n＋1列的n＋1階子式

即rank（A）＝n＋1。此時(shí)，系數(shù)矩陣A的秩n＋1等于方程組所含未知量個(gè)數(shù)，方程組有唯一解，因此，齊次線性方程組（2*）的解只能是零解，即y1＝y(tǒng)2＝…＝y(tǒng)n＋1＝0。又yn＋1＝－an＋1≠0，所以當(dāng)m≥n＋1時(shí)，線性方程組（2）無解。

（2）當(dāng)m＜n＋1。在系數(shù)矩陣A中可取出m行m列的m階子式，即rank（A）＝m。齊次線性方程組（2*）有非零解。在這些非零解中，所有符合yn＋1＝－an＋1的解都是線性方程組（2）的解。

［1］朱磊，呂曉，譚武杰.系數(shù)矩陣成一等差矩陣的線性方程組［J］.延安大學(xué)學(xué)報(bào)（自然科學(xué)版），2013，32（2）：16－19.

［2］張禾瑞，郝鈵新.高等代數(shù)（第五版）［M］.北京：高等教育出版社，2009.

［3］袁旭華，楊海文，趙海耀.幾種類Vandermonde行列式的計(jì)算［J］.延安大學(xué)學(xué)報(bào)（自然科學(xué)版），2006，25（1）：13－16.

［4］馬軍，楊作威.范德蒙行列式的應(yīng)用［J］.滄州師范專科學(xué)校校報(bào)，2007，23（1）：47－48.

［5］徐杰.范德蒙行列式的應(yīng)用［J］.科技信息，2009，（17）：192－193.

［責(zé)任編輯 畢 偉］

情形4 由x≡1（mod2，u2≡1（mod8），從而由x＋2＝u2得出x≡7（mod8），代入x2－2x＋4＝61v2得到5v2≡7（mod8），顯然這是不可能的，故該情形下（10）式無解。

綜合以上4種情形的分別解述，得到不定方程x3＋8＝61y2僅有整數(shù)解（x，y）＝（－2，0）。

參考文獻(xiàn)：

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［5］魯偉陽，高麗等.關(guān)于不定方程x3－1＝301y2整數(shù)解的討論［J］.云南民族大學(xué)學(xué)報(bào)（自然科學(xué)版），2013，22（4）：264－265.

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［8］WALK.D.T.On the Diophantine Equation mX2－nY2＝±1［J］.Amer.Math.Monthly，1967，74：504－513.

［責(zé)任編輯 畢 偉］

On the Integer Solutions of Diophantine Equation x3＋8＝61y2

WANG LONG
（Yanan Campus Shaanxi Radio and TV University，Yanan 716000，China）

This paper proves that the Diophantine equation x3＋1＝122y2has only integer solution（x，y）＝（－1，0），and then proves that the Diophantine equation x3＋8＝61y2has only integer solution（x，y）＝（－2，0）by using recurrent sequence，congruence，quadratic remainder.

diophantine equation；recurrent sequence；congruence sequence；integer solution

O151.21

A

1004－602X（2014）03－0006－05

10.13876/J.cnki.ydnse.2014.03.006

2014 07 04

張 莉（1989—），女，陜西銅川人，延安大學(xué)在讀碩士研究生。