何 洋，修樹東，姚文斌

（浙江農(nóng)林大學(xué)暨陽(yáng)學(xué)院，浙江紹興 311800）

理論力學(xué)是工科專業(yè)的一門技術(shù)基礎(chǔ)課，在工科專業(yè)中有舉足輕重的作用［1］，包含靜力學(xué)、運(yùn)動(dòng)學(xué)和動(dòng)力學(xué)3個(gè)部分。其中，靜力學(xué)主要研究物體在外力作用下的平衡規(guī)律。在靜力學(xué)中，受力分析又是最基本、最重要的內(nèi)容之一，能否對(duì)受力物體進(jìn)行正確的受力分析并畫出受力圖是學(xué)習(xí)靜力學(xué)的關(guān)鍵［2］。

筆者在教學(xué)過程中發(fā)現(xiàn)傳統(tǒng)的受力分析方法學(xué)生掌握起來(lái)比較困難，要同時(shí)記住約束的類型和約束力的形式和方向。本文提出一種基于自由度理論的分析方法，以便降低學(xué)生學(xué)習(xí)的難度。

一、傳統(tǒng)受力分析方法

對(duì)于受力分析，現(xiàn)有理論力學(xué)教材普遍采用的方法是:先定義約束，然后根據(jù)約束確定約束力的個(gè)數(shù)及約束力的方向，最終畫出受力圖，從而確定物體的受力狀態(tài)，為后續(xù)力系的分析過程打下基礎(chǔ)。

約束就是對(duì)非自由體的運(yùn)動(dòng)施加的限制其運(yùn)動(dòng)的條件。自由體在空間是不受約束的，因此可以移動(dòng)到空間任一點(diǎn)，在這一點(diǎn)上又有很多種姿態(tài)。

根據(jù)物體受力的狀態(tài)和受力分析的基本要求，將約束分為如下幾種類型:

1.柔繩約束。柔繩約束只能約束一個(gè)方向的自由度，并且只能受拉，所以它們的約束力是作用在接觸點(diǎn)，方向沿繩索背離物體。這類約束包括繩索、帶傳動(dòng)、鏈傳動(dòng)等。

2.光滑接觸面約束。光滑接觸面約束提供的約束力為支持力，約束力作用在接觸點(diǎn)處，方向沿公法線，指向受力物體。這類約束主要指無(wú)摩擦滑塊的約束。

3.輥軸約束。輥軸約束與光滑接觸面約束類似，約束力作用在接觸點(diǎn)處，方向沿輥軸下表面的平面的公法線。這類約束跟光滑表面約束類似，都是垂直于表面的公法線，但輥軸約束可以背離受力物體。

4.鉸鏈約束。鉸鏈約束分為固定鉸鏈約束和中間鉸鏈約束兩種類型。固定鉸鏈約束是由銷軸約束銷孔，為一個(gè)約束力，但方向很難確定。為便于確定孔銷傳力的方向，一般采用兩對(duì)正交的力來(lái)代替，常用一個(gè)水平力Fx和一個(gè)垂直力Fy來(lái)代替。中間鉸鏈約束與固定鉸鏈約束類似，也是用一對(duì)正交的力Fx和Fy來(lái)表示，主要區(qū)別是固定鉸鏈約束是由支座提供的約束，而中間鉸鏈約束是由連接的另外一個(gè)構(gòu)件提供的約束。將鉸鏈約束推廣到空間力系，為球鉸鏈約束，其約束力為互相正交的3 個(gè)力 Fx、Fy和 Fz。

5.固定端約束。固定端約束分為平面固定端約束和空間固定端約束。平面固定端約束的約束力同樣為一對(duì)正交的力Fx和Fy，除此之外，還有一個(gè)力偶矩MO?？臻g固定端約束是對(duì)平面固定端約束的推廣，約束力為3個(gè)力Fx、Fy和Fz和3個(gè)力偶Mx、My和Mz3個(gè)力矩。

二、傳統(tǒng)方法存在的問題

除上述5種約束之外，還有一些變通的約束。學(xué)生要想掌握、運(yùn)用這些約束和約束力進(jìn)行受力分析并不容易。學(xué)生首先要能夠在老師的介紹下記住這些約束，并且要搞清楚這些約束之間有何區(qū)別和聯(lián)系，否則很容易弄錯(cuò)。因此，學(xué)生在學(xué)到這部分的時(shí)候普遍感到困難，作業(yè)錯(cuò)誤率也較高，嚴(yán)重影響受力分析的正確性，進(jìn)而影響到力系的相關(guān)計(jì)算。

這些問題說明，原有教學(xué)方法雖然能夠讓學(xué)生學(xué)會(huì)約束和約束力，并進(jìn)行受力分析，但學(xué)生接受時(shí)間長(zhǎng)。說明這種方法已經(jīng)不能適應(yīng)當(dāng)前教學(xué)的需求，特別是導(dǎo)致學(xué)生學(xué)習(xí)基礎(chǔ)薄弱和學(xué)習(xí)態(tài)度不積極情況的發(fā)生。為此，筆者提出一種基于“自由度”理論的受力分析方法，將所有約束合為一體，直接根據(jù)物體的實(shí)際狀態(tài)來(lái)分析，掌握一種即能舉一反三，全面掌握受力分析。

圖1 自由度分析圖

三、基于“自由度”理論的受力分析方法

“自由度”在各行業(yè)均有定義，機(jī)械科學(xué)里講的“自由度”是這樣定義的:唯一確定質(zhì)點(diǎn)系空間位置的獨(dú)立參變量個(gè)數(shù)，力學(xué)中完全決定力學(xué)體系在空間的位置所需的獨(dú)立坐標(biāo)的數(shù)，叫做力系的“自由度”［3］。這里的“完全”是指組成體系的所有各個(gè)質(zhì)點(diǎn)的位置。具體分析如下:

1.自由質(zhì)點(diǎn)的自由度。自由質(zhì)點(diǎn)為一個(gè)沒有大小的點(diǎn)，只有位置，沒有姿態(tài)，因此自由度為3。如圖1（a）所示。

2.平面上自由剛體的自由度。平面內(nèi)自由剛體的位置由x、y兩個(gè)坐標(biāo)來(lái)表示，除位置外，還有剛體在這個(gè)位置上的姿態(tài)，姿態(tài)可以用繞坐標(biāo)原點(diǎn)O的旋轉(zhuǎn)角來(lái)表示，因此有3個(gè)自由度，如圖1（b）所示。

3.空間自由剛體的自由度?？臻g自由剛體有6個(gè)自由度:3個(gè)平移自由度和3個(gè)轉(zhuǎn)動(dòng)自由度。如圖1（c）所示。

利用“自由度”理論來(lái)分析約束力的方法為:根據(jù)物體或物體系中剛體的之間或者剛體和基座之間的連接狀態(tài)來(lái)分析物體自由度的減少，哪一個(gè)平移自由度被限制了，相應(yīng)這一個(gè)方向就有力存在，并且跟被限制運(yùn)動(dòng)的方向相反;哪一個(gè)方向的轉(zhuǎn)動(dòng)自由度被限制了，相應(yīng)的這一方向就有力偶存在。判斷起來(lái)既直觀又方便，完全不用記憶原來(lái)的各種約束。下面通過一個(gè)案例進(jìn)行分析。

四、案例分析

在圖2所示的平面系統(tǒng)中，AF為繩索，B為固定鉸鏈，C為質(zhì)量塊，質(zhì)量塊與桿件之間的摩擦力忽略不計(jì)，D為輥軸，E為固定端，利用傳統(tǒng)方法和基于自由度理論的受力分析過程如圖2。

圖2 平面力系

1.傳統(tǒng)方法分析過程。以桿AE為研究對(duì)象進(jìn)行受力分析，該桿件分別在A、B、C、D、E 5個(gè)地方存在著約束力，首先要搞清楚這幾個(gè)點(diǎn)處的約束類型:A點(diǎn)為柔繩約束，受力沿著繩子方向，背離物體;B點(diǎn)為固定鉸鏈約束，用一對(duì)正交的力FBX和FBY來(lái)表示;C點(diǎn)為光滑表面約束，受力方向沿著公法線方向，指向桿件，用FC來(lái)表示;D點(diǎn)為輥軸約束，受力方法沿著公法線方向;E點(diǎn)為固定端約束，用一對(duì)正交的力FEX和FEY和繞E點(diǎn)的力矩ME來(lái)表示。因此受力圖如圖3所示:

圖3 桿AE的受力分析

2.基于自由度理論的分析方法。以桿AE為研究對(duì)象進(jìn)行受力分析，分別分析這5個(gè)點(diǎn)處的自由度被限制的情況:A點(diǎn)的繩子只限制了桿件背離F點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)，并且是單向的，故力沿著AF方向;B點(diǎn)限制了桿件水平方向和豎直方向的平移，但還可以繞B點(diǎn)旋轉(zhuǎn)，故受的力為FBX和FBY;C點(diǎn)只限制豎直向上的運(yùn)動(dòng)，故受力為豎直向下，用FC來(lái)表示;D點(diǎn)很明顯限制了豎直方向的運(yùn)動(dòng)，跟FC類似;E點(diǎn)桿件被固定在基座上，不僅不能沿著X和Y方向平移，也不能繞E點(diǎn)轉(zhuǎn)動(dòng)，因此，用FEX和FEY和ME來(lái)表示，分析結(jié)果如圖3所示。

比較兩種方法可以看出，得出的受力分析結(jié)果完全一致，但用第二種方法僅僅根據(jù)對(duì)實(shí)際現(xiàn)象的理解，通過自由度被限制的數(shù)量和形式，來(lái)確定力和種類和方向，方便使用，并且對(duì)各種約束都適用。

筆者將這種方法應(yīng)用于2013年《理論力學(xué)》的教學(xué)實(shí)踐過程中，學(xué)生在受力分析和力系的求解計(jì)算過程中應(yīng)用了該方法，跟2012年傳統(tǒng)方法相比，學(xué)習(xí)效果有明顯提升。傳統(tǒng)方法和現(xiàn)有方法教學(xué)效果如表1所示。從表中可見，期末考試得分率有明顯提升。

表1 傳統(tǒng)方法和現(xiàn)有方法考試得分率比較 %

五、結(jié)語(yǔ)

在靜力學(xué)受力分析部分的教學(xué)過程中，通過對(duì)約束力的分析的教學(xué)過程進(jìn)行分析，發(fā)現(xiàn)使用傳統(tǒng)教學(xué)方法學(xué)生學(xué)習(xí)起來(lái)比較困難，學(xué)習(xí)效果比較差，而基于“自由度”理論的受力分析方法簡(jiǎn)單可靠，在教學(xué)實(shí)踐中效果良好，學(xué)生普遍對(duì)于受力分析掌握比較好，為后面的力系分析打下了堅(jiān)實(shí)的基礎(chǔ)。

［1］劉燕，李紅梅，張華，等.淺談靜力學(xué)教學(xué)中的幾點(diǎn)體會(huì)［J］.科技信息.2011（25）:617 －618.

［2］楊永明.力學(xué)課程教學(xué)改革探索［J］.河北農(nóng)業(yè)大學(xué)（農(nóng)林教育版），2012（4）:87 －89.

［3］靳毅，康艷霞.力學(xué)體系的自由度［J］.開封教育學(xué)院學(xué)報(bào).1996（1）:44－48.

（編輯:王雅嬌）