何巖巖，張 芳

（天津工業(yè)大學(xué)理學(xué)院，天津 300387）

Cournot-Bertrand雙寡頭動態(tài)博弈模型的復(fù)雜性分析

何巖巖，張 芳

（天津工業(yè)大學(xué)理學(xué)院，天津 300387）

提出了一個主從的Cournot-Bertrand雙寡頭混合博弈模型.寡頭都是在有限理性期望下進行的博弈，并且上級寡頭考慮產(chǎn)量，下級寡頭考慮價格.分析了該模型的納什均衡點和它的局部穩(wěn)定性.通過數(shù)值模擬，利用穩(wěn)定域圖、分岔圖、最大Lyapunov指數(shù)圖以及奇異吸引子圖研究了該模型的復(fù)雜動力學(xué)性質(zhì)，且通過分析兩寡頭的利潤分岔圖，得出了均衡態(tài)是二者都滿意狀態(tài)的結(jié)論.

主從；Cournot-Bertrand；有限理性；復(fù)雜動力學(xué)；動態(tài)博弈模型

寡頭市場是一個市場被少數(shù)幾個企業(yè)壟斷的市場結(jié)構(gòu).研究寡頭競爭的模型一般有考慮產(chǎn)量競爭的Cournot模型和考慮價格競爭的Bertrand模型，目前，已經(jīng)有很多專家和學(xué)者對此進行了大量的研究，參見文獻[1-6].Puu[1]把兩寡頭Cournot模型推進到了三寡頭的情形，發(fā)現(xiàn)了比兩寡頭博弈更多樣的分岔現(xiàn)象.也有一部分學(xué)者對同時考慮寡頭產(chǎn)量和價格的Cournot-Bertrand混合模型進行了研究.Ma等[7]通過對雙寡頭Cournot-Bertrand混合模型動力學(xué)性質(zhì)的研究，發(fā)現(xiàn)產(chǎn)量調(diào)整速度和價格調(diào)整速度過快都可以引起市場進入對兩寡頭都不利的混沌狀態(tài).以上文獻都是致力于研究橫向水平的寡頭競爭，而對于縱向水平寡頭競爭的研究較少，并且這類寡頭競爭在經(jīng)濟市場中普遍存在.Xin等[8]以自來水與純凈水廠商為例，建立了一個主從的Bertrand雙寡頭博弈模型.他們把自來水公司作為上級寡頭，純凈水公司為下級寡頭，制定了具有同樣期望的動態(tài)價格決策.通過數(shù)值模擬及分析，證明了系統(tǒng)存在分岔和混沌等復(fù)雜動力學(xué)性質(zhì)，并且說明了價格的波動會帶來一定的價格風(fēng)險，然而并沒有對公司的利潤作出分析.本文在該模型的基礎(chǔ)上，研究了主從的混合Cournot-Bertrand雙寡頭模型.在該模型中，上級寡頭考慮產(chǎn)量，下級寡頭考慮價格.通過對該模型的動力學(xué)性質(zhì)的分析及對這兩寡頭整體利潤的研究，可以對這類寡頭市場的運行提供引導(dǎo)的作用.

1 模型

假設(shè)市場上有2個異質(zhì)寡頭，公司i生產(chǎn)商品xi，i=1，2.代表上級寡頭的公司1在產(chǎn)量方面進行競爭，代表下級寡頭的公司2在價格方面進行競爭.在主從寡頭博弈中，由于上級公司的產(chǎn)量是下級公司產(chǎn)量決策的主要因素，而作為上級公司產(chǎn)品的一個較小的消費個體，下級公司對上級公司的產(chǎn)量影響很小，可以忽略不計.在該假設(shè)下，公司1和2的需求函數(shù)可設(shè)為

式中：p1（t）、p2（t）分別表示公司1、2在t期的價格；d表示產(chǎn)品的差異化指數(shù)或產(chǎn)品替代率；且a，b，a2，b2，d>0.根據(jù)第一個等式，公司1的價格可以表示成

考慮這2個公司的成本函數(shù)為線性：

這里ci表示公司i的邊際成本，且ci>0.則這2個寡頭公司的利潤為

設(shè)這2個公司對市場和對手只能獲得有限的信息處理能力.在博弈中，兩寡頭按照有限理性的期望進行調(diào)整并根據(jù)邊際利潤制定決策.即如果邊際利潤為正（負）時，它們將分別增加（減少）下期的產(chǎn)量和價格.這兩個公司的邊際利潤如下：

在上述假設(shè)下，這個主從博弈的動態(tài)模型為

將方程組（1）代入到方程組（2）中，則該模型有如下形式：

2 均衡點和穩(wěn)定性

系統(tǒng)（3）有4個非負均衡點：E0=（0，0），E1=（0，其中且為了討論系統(tǒng)（3）關(guān)于狀態(tài)變量（q1，p2）的穩(wěn)定性，給出這4個均衡點的Jacobian矩陣J.

則E0的Jacobian矩陣為

它的特征值λ1=1+α（a1-c1），λ2=1+β（a2-da1+b2c2）.要使E0穩(wěn)定必須有|λ|<1，由于顯然λ1>1，λ2>1，均衡點E0是不穩(wěn)定的結(jié)點.

E1的Jacobian矩陣J為

則λ1=1+α（a1-c1），λ2=1+β（a2-da1+b2c2）.在所有均衡點非負的前提下，得到λ1>1.故均衡點E1不穩(wěn)定.類似地，可證均衡點E2不穩(wěn)定.

E*為納什均衡點，它的Jacobian矩陣為

J（E*）的特征方程為P（λ）=λ2-Tr（J（E*））λ+Det（J（E*））=0，其中Tr（J（E*））和Det（J（E*））分別表示J（E*）的跡和行列式.

用研究離散的二位系統(tǒng)穩(wěn)定性條件的方法來討論系統(tǒng)（3）的納什均衡點的穩(wěn)定性，該條件被稱為Jury條件，參見文獻[9-10]：

以上不等式組確定了納什均衡點E*的局部穩(wěn)定域.通過求解以上3個不等式，得到，當(dāng)且a2>或者，局部穩(wěn)定域為

3 數(shù)值模擬

在這部分用穩(wěn)定域、分岔圖、最大Lyapunov指數(shù)、奇異吸引子來探索系統(tǒng)（3）的動力學(xué)行為.為了研究納什均衡點的局部穩(wěn)定性，取下面的參數(shù)值：a1=1，a2=1，b1=1，b2=1，c1=0.1，c2=0.1，d=0.2，初始值?。╭1（0），p2（0））=（0.2，0.1）.

圖1為參數(shù)取以上值時，納什均衡點E*的穩(wěn)定域.從圖1可以看出，使得E*穩(wěn)定的區(qū)域是矩形域0≤α<2.222，0≤β<0.02.

圖1 納什均衡點穩(wěn)定域Fig.1 Nash equilibrium region of stability

圖2給出了β=1時，公司1的產(chǎn)量及公司2的價格關(guān)于α演化的分岔圖.其中，q1表示公司1的產(chǎn)量變化圖，P2表示公司2的價格變化圖.在給定以上參數(shù)值得情況下，發(fā)現(xiàn)當(dāng)α>0時，Jury條件的（ii）和（iii）顯然滿足，隨著α的增加，系統(tǒng)（3）會跳出條件（i）確定的范圍，故該系統(tǒng)會產(chǎn)生flip分岔，見文獻[12].在圖2中，當(dāng)α<2.222時，系統(tǒng)（3）中的點穩(wěn)定在納什均衡點Ε*=（0.45，0.495）.隨著α增加，兩寡頭的行為變得不穩(wěn)定并且復(fù)雜動力學(xué)行為產(chǎn)生.可以看出二倍周期分岔產(chǎn)生在α=2.222，隨后兩寡頭行為進一步復(fù)雜，在α>2.855時，系統(tǒng)（3）進入混沌.圖3給出了當(dāng)其他參數(shù)不變，α=1時，公司1的產(chǎn)量及公司2的價格關(guān)于β演化的分岔圖.從圖3可以看出，公司1始終處于穩(wěn)定狀態(tài)，公司2在β=2.02時，產(chǎn)生分岔行為，在β= 2.596時，進入混沌.

圖2 q1、p2隨α演化的分岔圖Fig.2 Bifurcation diagrams of q1and p2with respect to α

圖3 q1、p2隨β演化的分岔圖Fig.3 Bifurcation diagrams of q1and p2with respect to β

比較圖2和圖3，公司1產(chǎn)量的調(diào)整速度對兩公司行為均有影響，公司2的價格調(diào)整速度對公司1沒有影響，并且公司2對β的表現(xiàn)出較強的敏感性.從而可以得到以下結(jié)論：①較之于上級寡頭公司產(chǎn)量的變動，該系統(tǒng)對下級寡頭的價格的變動較為敏感；②上級寡頭產(chǎn)量的變動對系統(tǒng)整體的影響較為明顯.

為了分析倍周期及混沌產(chǎn)生時的參數(shù)，給出了系統(tǒng)關(guān)于α變化的最大Lyapunov指數(shù)及奇異吸引子圖，如圖4所示.

圖4 最大Lyapunov指數(shù)Fig.4 The largest Lyapunov exponent

從圖4可以看出，在α=2.222時，最大Lyapunov指數(shù)為0，此時系統(tǒng)進入二倍周期分岔.而在α=2.855時，指數(shù)為正，說明系統(tǒng)開始進入混沌.圖5為當(dāng)其他參數(shù)不變，α=3.1，β=1時系統(tǒng)（3）的奇異吸引子圖，再次展示了該系統(tǒng)的分形結(jié)構(gòu).

圖5 α=3.1，β=1時的奇異吸引子結(jié)構(gòu)Fig.5 Strange attractor for α=3.1，β=1

為了更好地分析該模型的實際意義，圖6給出了兩寡頭隨α變化的利潤分岔圖.

圖6 關(guān)于α的利潤分岔圖Fig.6 Bifurcation diagrams of the profit with respect to α

圖6中：π1表示的是公司1的利潤；π2表示的是公司2的利潤.該分岔圖和圖2相對應(yīng).顯然公司1的利潤在整體上大于公司2的利潤，這說明作為上級寡頭的公司比下級寡頭公司在競爭中更有優(yōu)勢.當(dāng)α= 2.222時，即在穩(wěn)定域內(nèi)，公司1的利潤高于其進入周期分岔及混沌區(qū)域的利潤，并且進入混沌后，利潤變得無法估計，顯然均衡態(tài)是其滿意狀態(tài).而公司2在進入混沌后，不能明顯看出它是在均衡態(tài)還是在混沌狀態(tài)更有優(yōu)勢，然而由于混沌狀態(tài)具有很多不確定性，且公司2在混沌狀態(tài)時的利潤整體沒有高于它在均衡態(tài)的利潤，所以參與者一般對均衡態(tài)的表現(xiàn)較為滿意.總之，均衡態(tài)是這2個寡頭都較為滿意的狀態(tài).

4 結(jié)束語

本文對主從的Cournot-Bertrand雙寡頭競爭模型進行了分析，研究了該模型的穩(wěn)定和分岔情況，并且分析了表明系統(tǒng)進入混沌的最大Lyapunov指數(shù)及奇異吸引子，最后給出了兩寡頭的利潤隨調(diào)整參數(shù)的演化圖，得出了均衡態(tài)是兩寡頭都滿意狀態(tài)的結(jié)論.

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Complexity analysis of a master-slave Cournot-Bertrand duopoly dynamic game model

HE Yan-yan，ZHANG Fang
（School of Science，Tianjin Polytechnic University，Tianjin 300387，China）

A master-slave Cournot-Bertrand duopoly game model is presented.The two monopolists carry out the game with the expectation of bounded rationality and the upstream monopolist considers its output while the downstream monopolist considers its price.The existence of Nash equilibrium point and its local stability of the game are investigated.The complex dynamics，such as the graph of stability region，bifurcation diagrams，the maximal Lyapunov exponents diagram and strange attractor figure are displayed.It is found that equilibrium state is satisfaction to them both by analyzing the profits bifurcation diagram of the two oligarchs.

master-slave；Cournot-Bertrand；bounded rationality；complex dynamics；dynamic game model

O225

A

1671-024X（2014）03-0080-04

2013-10-24

國家自然科學(xué)基金資助項目（11071279）

何巖巖（1989—），女，碩士研究生.

張 芳（1974—），女，博士，副教授，碩士生導(dǎo)師.E-mail：zhangfangsx@163.com