蔣文芬

摘要：在初中數(shù)學(xué)教學(xué)中，因式分解是一個重點也是一個難點。本文主要講解了因式分解中的提取公因式問題，旨在為學(xué)生掌握因式分解提供幫助。

關(guān)鍵詞：初中數(shù)學(xué)；因式分解；提取公因式

中圖分類號：G633.6 文獻標識碼：A 文章編號：1992-7711（2014）03-0104

對于多項式的因式分解，最常用的方法有提公因式法、公式法以及簡單的十字相乘法。其中最基礎(chǔ)、最常用的方法是提公因式法。那么，我們在用提公因式法進行因式分解的時候，需要注意哪些內(nèi)容呢？

一、明確因式分解的步驟

1. 找出公因式

所謂公因式，它包括“兩最”，即：

（1）多項式中，各個項的系數(shù)的最大公約數(shù)

（2）多項式中，各個項都共同擁有的字母，且要取該字母的最小指數(shù)冪

這兩個“最”相乘所謂的積，為我們所需要尋找的分因式。如：

多項式5a+20ab+10a2b中，

各項的系數(shù)分別為5、20、10，它們的最大公約數(shù)是5，

5a、20ab、10a2b三個項中共同擁有的字母是a，而a的最小指數(shù)冪是1次，可以省略不寫，這兩“最”相乘所得的積為5a，所以，多項式5a+20ab+10a2b的公因式為5a。

2. 進行因式分解

在進行因式分解時，就是把找出的公因式作為結(jié)果的一個單獨的因式，然后用原多項式的每一個項去除以這個公因式，并將所得的商相加的和，作為結(jié)果的另一個因式，如：

多項式5a+20ab+10a2b中的5a÷5a=1，所得的商為1

多項式5a+20ab+10a2b中的20ab÷5a=4b，所得的商4b

多項式5a+20ab+10a2b中的10a2b÷5a=2ab，所得的商2ab

然后我們將此三個商相加的所得和為1+4b+2ab看作是一個整體，把它作為結(jié)果的另一個因式，所以，多項式5a+20ab+10a2b分解因式的結(jié)果為5a（1+ 4b+ 2ab），即：

5a+20ab+10a2b=5a（1+ 4b+ 2ab）

二、在具體操作時，要注意找公因式的細節(jié)

1. 明確目標，即弄清楚所須進行因式分解的多項式究竟有多少個項，在尋找公因式的時候，要做到顧全大局、兼顧每一個項。

2. 尋找各個項的數(shù)字因數(shù)，把它們逐一找出來，并進行質(zhì)因數(shù)的分解，通過計算，求出各個項的數(shù)字因數(shù)的最大公約數(shù)，將它作為結(jié)果的一個因式。

3. 尋找出各個項中所擁有的相同的字母，并把它們一一列舉出來。

4. 將所列舉出來的字母返回到原多項式的每一個項中，進行比較，提取出相同的那個字母的最小指數(shù)冪，將所提出的各個不同字母的最小指數(shù)冪相乘所得的積作為結(jié)果的又一個因式。

5. 把2、4兩個步驟中的結(jié)果相乘所得的積，就是我們所要尋找的多項式的最大公因式。

例如：找出下列各式的最大公因式：

（1）7x2-21x；

（2）a3 b2-12ab3c+ab；

（3）6（x-2）+（2-x） +2x-4；

（4）3x2+6x2y-12xy2

現(xiàn)在我們一起來分析一下上述各式：

在（1）中，要求分解的多項式只有兩個項，即7x2和21x，這兩個項的數(shù)字因數(shù)分別是7和21，而7和21的最大公約數(shù)是7；然后，這兩個項中含有的字母非常簡單，只有一個，那就是x；在“7x 2”項中，x的指數(shù)為2次，在“21x”項中x的指數(shù)是1次，其中，1次為最小指數(shù)冪，所以，我們就把x當(dāng)成是結(jié)果的一個單獨的因式了；于是，對于多項式“7x2-21x”來說，它的最大公因式就應(yīng)該是7與x相乘所得的積“7x”。

對于（2）題來說，要求分解的多項式是a3b2-12ab3c+ab，共有三個項，而不是兩個項了。這三個項分別是：a3b2、12ab3c和ab。

在項“a3b2”中，其數(shù)字因數(shù)為省略了的“1”，含有的字母有兩個，分別是a和b；

在項“12ab3c”中，其數(shù)字因數(shù)為12，含有的字母有三個，分別是a、b和c；

在項“ab”中，其數(shù)字因數(shù)也為省略了的“1”，含有的字母也有兩個，即是a和b；

對于數(shù)字因數(shù)1、12與1來說，其最大公約數(shù)為“1”；字母因數(shù)a在三個項中的次數(shù)分別是3、1和1，最小指數(shù)冪為“a”；字母因數(shù)b在三個項中的次數(shù)分別是2、3和1，最小指數(shù)冪為“b”；字母因數(shù)c在三個項中的次數(shù)分別是0、1和0，最小指數(shù)冪為“c0”，而“c0=1”；又因為：“1”與“a”、“b”、“c0”相乘所得的積是“abc”，所以，多項式 “a3b2-12ab3c+ ab”的最大公因式只能是“abc”了。

至于第（3）題，要求分解的多項式6（x-2）+（2-x）+2x-4的情況又和前兩個都有所不同了：

整體一看，此多項式有四個項，即：6（x-2）、（2-x）、2x和4，但是，當(dāng)我們注意到括號的整體性時，就會很自然的想到把它的最后的兩個項結(jié)合起來，看成是一個整體，即為：（2x-4）=2（x-2），從而，原先的多項式就變成了：

6（x-2）+（2-x）+2（x-2）

考慮到 “（2-x）”與“（x-2）”互為相反數(shù)，即：（2-x）=-（x-2），故原先的多項式也可以改寫成：

6（x-2）-（x-2）+2（x-2）

這樣，原多項式就由四個項變成了三個項，即：6（x-2）、（x-2） 和2（x-2）。

在項“6（x-2）”中，其數(shù)字因數(shù)為“6”，含有的字母只有一個，即是“（x-2）”；

在項“（x-2）”中，其數(shù)字因數(shù)為省略了的“1”，含有的字母也只有一個“（x-2）”；

在項“2（x-2）”中，其數(shù)字因數(shù)為“2”，含有的字母還是只有一個，即是“（x-2）”；

因為數(shù)字因數(shù)6、1與2的最大公約數(shù)是“1”；字母因數(shù)（x-2）在三個項中的次數(shù)都是1，最小指數(shù)冪就為“（x-2）”；又因為：“1”與“（x-2）”相乘所得的積是“（x-2）”，所以，多項式“6（x-2）-（x-2）+2（x-2）”的最大公因式是“（x-2）”，即原多項式6（x-2）-（2-x）+2x-4的最大公因式是“（x-2）”。

那么，聰明的，現(xiàn)在你能夠告訴我：第（4）題中多項式 3x2+6x2y -12xy2的最大公因式是是什么嗎？試一試，相信你一定能獨立對它進行因式分解。

（作者單位： 貴州省遵義縣鴨溪鎮(zhèn)中學(xué) 563100）