鄭飛波

摘 要：高中數(shù)學(xué)教學(xué)不僅要教會(huì)學(xué)生課程標(biāo)準(zhǔn)所規(guī)定的數(shù)學(xué)知識(shí)，更要超越知識(shí)層面，讓學(xué)生擁有一套基本的數(shù)學(xué)語(yǔ)言系統(tǒng)，從而能夠讀懂?dāng)?shù)學(xué)，并從數(shù)學(xué)中生成能夠促進(jìn)成長(zhǎng)的意義.

關(guān)鍵詞：高中數(shù)學(xué)，數(shù)學(xué)語(yǔ)言，訓(xùn)練

有人說(shuō)“數(shù)學(xué)是最簡(jiǎn)潔的語(yǔ)言”，一般理解為此語(yǔ)是對(duì)數(shù)學(xué)特點(diǎn)的精確概括，而很少有人從中讀出數(shù)學(xué)自身應(yīng)當(dāng)具有的語(yǔ)言性. 從廣義的角度來(lái)看，語(yǔ)言是人類(lèi)交流的工具；而從數(shù)學(xué)發(fā)展的角度講，處于數(shù)學(xué)范式中的人應(yīng)當(dāng)有一種專(zhuān)門(mén)的交流語(yǔ)言，那就是數(shù)學(xué)本身，也就是說(shuō)數(shù)學(xué)本身應(yīng)當(dāng)是一個(gè)語(yǔ)言系統(tǒng). 我國(guó)高中階段的數(shù)學(xué)教學(xué)特別注重?cái)?shù)學(xué)知識(shí)的深度與廣度，作為基礎(chǔ)數(shù)學(xué)教學(xué)的最后一站，已經(jīng)具備了形成自身語(yǔ)言系統(tǒng)的基本條件.

■數(shù)學(xué)語(yǔ)言系統(tǒng)及其在高中教學(xué)中的價(jià)值

數(shù)學(xué)語(yǔ)言系統(tǒng)的核心詞是數(shù)學(xué)語(yǔ)言，而數(shù)學(xué)語(yǔ)言又是語(yǔ)言中具有學(xué)科特性的一門(mén)分支. 簡(jiǎn)單地說(shuō)，數(shù)學(xué)語(yǔ)言就是在數(shù)學(xué)發(fā)展的過(guò)程中，人們用來(lái)表達(dá)某種數(shù)學(xué)意義的文字、符號(hào)、圖形等.由這些文字、符號(hào)和圖形組成的數(shù)學(xué)文字系統(tǒng)，就可以稱(chēng)之為數(shù)學(xué)語(yǔ)言系統(tǒng). 從學(xué)生開(kāi)始學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)開(kāi)始，到高中階段的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)結(jié)束，既可以視作數(shù)學(xué)知識(shí)不斷積累的過(guò)程，也可以視作數(shù)學(xué)技能不斷形成的過(guò)程，更應(yīng)當(dāng)視作數(shù)學(xué)語(yǔ)言系統(tǒng)不斷形成的過(guò)程. 到了高中階段，當(dāng)學(xué)生對(duì)基本的數(shù)學(xué)語(yǔ)言有了一定的認(rèn)知之后，學(xué)生在數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的情境中就可以利用數(shù)學(xué)語(yǔ)言來(lái)進(jìn)行對(duì)話了. 處于這種對(duì)話情境中的人自己可能不覺(jué)得，可當(dāng)這一情境之外尤其是對(duì)數(shù)學(xué)不甚了解的人看到這一情形時(shí)，便會(huì)發(fā)現(xiàn)自己被排除在這一語(yǔ)言系統(tǒng)之外，因而可以斷定：數(shù)學(xué)語(yǔ)言系統(tǒng)是數(shù)學(xué)范式中的交流工具.

在高中數(shù)學(xué)教學(xué)中之所以強(qiáng)調(diào)數(shù)學(xué)語(yǔ)言系統(tǒng)的構(gòu)建，一方面是為了學(xué)生能夠更為純粹地學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)，可以利用數(shù)學(xué)知識(shí)構(gòu)建數(shù)學(xué)理解的大廈；另一方面是為了給學(xué)生提供一種數(shù)學(xué)視野. 而現(xiàn)行教材中引入統(tǒng)計(jì)、概率等知識(shí)時(shí)，某種程度上正是印證了高中數(shù)學(xué)教學(xué)必須逐步建構(gòu)數(shù)學(xué)語(yǔ)言系統(tǒng)的必要性. 因?yàn)橹挥性跀?shù)學(xué)語(yǔ)言系統(tǒng)中經(jīng)過(guò)一定的熏陶，學(xué)生才有可能具有數(shù)學(xué)視野，也才有可能直覺(jué)地利用數(shù)學(xué)知識(shí)去看待身邊的現(xiàn)實(shí)問(wèn)題. 正如著名數(shù)學(xué)家斯托利亞爾在其《數(shù)學(xué)教育學(xué)》中所說(shuō)，“數(shù)學(xué)教學(xué)應(yīng)當(dāng)是數(shù)學(xué)語(yǔ)言的教學(xué)”.

曾經(jīng)看到這樣一則數(shù)學(xué)教學(xué)案例，某數(shù)學(xué)教師在某一節(jié)關(guān)于“充要條件”的教學(xué)中設(shè)計(jì)了這樣一個(gè)引入情境：今天早上上班，看到地上都是濕的，看來(lái)昨天下雨了. 大家說(shuō)老師這樣的判斷有道理嗎？顯然，這是一則生活情境，但其卻與數(shù)學(xué)中的充要條件有密切的關(guān)系，學(xué)生對(duì)此顯然是感興趣的，也能憑著生活經(jīng)驗(yàn)和數(shù)學(xué)理解來(lái)構(gòu)建出其中的關(guān)系. 更重要的是，應(yīng)當(dāng)能夠從中看出這不僅是生活語(yǔ)言，也是數(shù)學(xué)語(yǔ)言.尤其是通過(guò)一定的邏輯關(guān)系梳理出“下雨”與“地濕”之間的關(guān)系時(shí)，其就成為數(shù)學(xué)語(yǔ)言系統(tǒng)中的邏輯關(guān)系.

在高中數(shù)學(xué)教學(xué)中加強(qiáng)數(shù)學(xué)語(yǔ)言及系統(tǒng)的教學(xué)，一種重要思路就是將這種隱性的思路顯性化，讓學(xué)生明確意識(shí)到數(shù)學(xué)語(yǔ)言系統(tǒng)的存在，讓學(xué)生學(xué)會(huì)在數(shù)學(xué)語(yǔ)言系統(tǒng)中進(jìn)行交流.

■數(shù)學(xué)教學(xué)中數(shù)學(xué)語(yǔ)言系統(tǒng)的形成與拓展

那么，數(shù)學(xué)語(yǔ)言及其系統(tǒng)應(yīng)當(dāng)怎樣才能形成呢？形成之后又應(yīng)當(dāng)怎樣進(jìn)行拓展呢？這是高中數(shù)學(xué)教學(xué)中數(shù)學(xué)語(yǔ)言及系統(tǒng)研究的兩個(gè)核心問(wèn)題.

先說(shuō)數(shù)學(xué)語(yǔ)言及系統(tǒng)的形成.眾所周知，在學(xué)生多年的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)中，學(xué)生已經(jīng)形成了相當(dāng)豐富的數(shù)學(xué)語(yǔ)言，簡(jiǎn)單如義務(wù)教育階段所學(xué)習(xí)的四則運(yùn)算，復(fù)雜如高中階段的三角函數(shù)、幾何方程等.因此數(shù)學(xué)語(yǔ)言本身對(duì)于高中學(xué)生而言并不是問(wèn)題，況且在日常的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)中，學(xué)生也會(huì)不斷地接觸更多的數(shù)學(xué)語(yǔ)言. 而數(shù)學(xué)語(yǔ)言系統(tǒng)的形成相對(duì)而言就困難一些了，因?yàn)橄到y(tǒng)本身就是一個(gè)專(zhuān)業(yè)概念，數(shù)學(xué)語(yǔ)言系統(tǒng)意味著學(xué)生接觸的不只是單個(gè)的數(shù)學(xué)語(yǔ)言，而是數(shù)學(xué)語(yǔ)言之間形成的一個(gè)有機(jī)的聯(lián)系體. 舉一個(gè)例子，在“拋物線標(biāo)準(zhǔn)方程”的教學(xué)中，按照一般的教學(xué)思路，教學(xué)重點(diǎn)應(yīng)當(dāng)是拋物線定義、拋物線方程、幾何性質(zhì)等.如果仔細(xì)審視，我們可以發(fā)現(xiàn)這樣的教學(xué)是孤立的，盡管教師在教學(xué)中強(qiáng)調(diào)原有的知識(shí)基礎(chǔ)，但重點(diǎn)卻落在拋物線本身. 而數(shù)學(xué)語(yǔ)言系統(tǒng)視角下的教學(xué)不是這樣的，它追求的是數(shù)學(xué)語(yǔ)言系統(tǒng)的生成. 于是本節(jié)的教學(xué)思路便可以做這樣的改變：其一，從不同圖象的方程角度看拋物線標(biāo)準(zhǔn)方程的教學(xué)，尋找不同知識(shí)背后的系統(tǒng)相關(guān)性. 如直線、雙曲線、拋物線、圓、橢圓等，均必須從標(biāo)準(zhǔn)方程、幾何意義等角度去進(jìn)行學(xué)習(xí)；其二，幫學(xué)生梳理已經(jīng)學(xué)過(guò)的圖象的標(biāo)準(zhǔn)方程和幾何意義等，從中尋找每個(gè)圖象學(xué)習(xí)時(shí)必須遵循的相同點(diǎn)；其三，引領(lǐng)學(xué)生進(jìn)行探究，從定義（定點(diǎn)與直線之間的距離關(guān)系）、標(biāo)準(zhǔn)方程（重點(diǎn)是參數(shù)p的幾何意義）、幾何意義（基于方程y=ax2+bx+c，根據(jù)a，b，c的不同取值而對(duì)圖象開(kāi)口方向等進(jìn)行的討論）等角度學(xué)習(xí)拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程、焦點(diǎn)、準(zhǔn)線等.這里要注意的是，學(xué)生的探究能力既有原有的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的原因，更有數(shù)學(xué)語(yǔ)言系統(tǒng)建立之后學(xué)生形成的歸納與推理能力.

再說(shuō)數(shù)學(xué)語(yǔ)言系統(tǒng)的拓展. 建構(gòu)數(shù)學(xué)語(yǔ)言系統(tǒng)最終的目的是學(xué)生能夠生成屬于自己的數(shù)學(xué)語(yǔ)言理解. 這種理解既與數(shù)學(xué)語(yǔ)言系統(tǒng)相關(guān)，也與學(xué)生自身的認(rèn)知系統(tǒng)相關(guān)，更與教師的教學(xué)語(yǔ)言相關(guān). 在此要著重強(qiáng)調(diào)的是教師的教學(xué)語(yǔ)言，因?yàn)樵趯?shí)際教學(xué)中教學(xué)語(yǔ)言對(duì)學(xué)生的數(shù)學(xué)建構(gòu)往往起著引領(lǐng)性的作用，往往是有什么樣的語(yǔ)言引導(dǎo)，就會(huì)有什么樣的數(shù)學(xué)建構(gòu)過(guò)程. 如上面所舉的拋物線標(biāo)準(zhǔn)方程教學(xué)實(shí)例中，教師的作用在于通過(guò)教學(xué)語(yǔ)言引導(dǎo)，讓學(xué)生意識(shí)到不同圖象的同一知識(shí)學(xué)習(xí)有哪些共同點(diǎn).

■學(xué)生數(shù)學(xué)思維可以促進(jìn)數(shù)學(xué)語(yǔ)言的發(fā)展

值得強(qiáng)調(diào)的是，數(shù)學(xué)語(yǔ)言及系統(tǒng)的發(fā)展離不開(kāi)學(xué)生數(shù)學(xué)思維的支撐. 相對(duì)于一般思維而言，數(shù)學(xué)思維的特點(diǎn)在于其思維工具是數(shù)學(xué)符號(hào)及數(shù)學(xué)關(guān)系. 其要點(diǎn)在于數(shù)學(xué)思維的精確性、簡(jiǎn)潔性和嚴(yán)謹(jǐn)性. 數(shù)學(xué)思維的精確性體現(xiàn)在數(shù)學(xué)關(guān)系的對(duì)應(yīng)上，如在“集合”知識(shí)的學(xué)習(xí)中，學(xué)生可以利用從“集合”知識(shí)學(xué)習(xí)中構(gòu)建出來(lái)的簡(jiǎn)單系統(tǒng)，去理解子集、真子集等概念；在充分條件、必要條件學(xué)習(xí)之后，可以利用兩者形成的數(shù)學(xué)語(yǔ)言系統(tǒng)去理解充要條件. 特別要強(qiáng)調(diào)的是，鑒于數(shù)學(xué)知識(shí)的精確性、數(shù)學(xué)語(yǔ)言的簡(jiǎn)潔性，在學(xué)生進(jìn)行數(shù)學(xué)思維時(shí)必須高度依賴(lài)數(shù)學(xué)符號(hào)本身的抽象性. 而從這個(gè)角度講，學(xué)生具有的數(shù)學(xué)思維能力又是一種抽象與概括能力.比如在高中數(shù)學(xué)知識(shí)中，函數(shù)是一種抽象符號(hào)，其從初中階段的y=kx+b，y=kx2+bx+c過(guò)渡到高中階段的f（x）=kx2+bx+c，既有著形式的不同，更有著函數(shù)理念的不同. 后者中的f已經(jīng)成為一種函數(shù)關(guān)系的代表，已經(jīng)成為高中函數(shù)語(yǔ)言系統(tǒng)的標(biāo)志性符號(hào)之一，而一旦理解了f的本質(zhì)，那學(xué)生即使在看到陌生的函數(shù)式時(shí)，也能直覺(jué)地反映出某種函數(shù)關(guān)系的存在.

值得強(qiáng)調(diào)的是，數(shù)學(xué)本身是研究數(shù)與形的學(xué)科，除了數(shù)（及數(shù)間的關(guān)系）之外，形也是一種重要的數(shù)學(xué)符號(hào)系統(tǒng). 除了上面提及的各種圖象之外，韋恩圖形可以表示集合，數(shù)軸可以表示區(qū)間，圖象可以反應(yīng)函數(shù)的增減性等，這些都是數(shù)學(xué)語(yǔ)言系統(tǒng)的表征. 當(dāng)學(xué)生擁有了數(shù)、形及數(shù)形結(jié)合的語(yǔ)言系統(tǒng)之后，學(xué)生就可以通過(guò)數(shù)學(xué)思維來(lái)完成數(shù)學(xué)問(wèn)題的解決，從而進(jìn)一步鞏固數(shù)學(xué)語(yǔ)言系統(tǒng).比如有這樣的數(shù)學(xué)問(wèn)題：求二次函數(shù)f（x）=■-4x+1（a不等于0，a∈R）在[0，1]上的最大值與最小值. 這一問(wèn)題若按照傳統(tǒng)思路，則需要學(xué)生有較強(qiáng)的理解能力；而如果讓學(xué)生從數(shù)形結(jié)合的語(yǔ)言系統(tǒng)中去尋找解題靈感，學(xué)生就有可能找到解決問(wèn)題的關(guān)鍵：從定義區(qū)間上二次函數(shù)的對(duì)稱(chēng)關(guān)系，將區(qū)間分成兩個(gè)半?yún)^(qū)間，即0，■和■，1，在兩個(gè)半?yún)^(qū)間上再進(jìn)行細(xì)分，從而可以得到發(fā)生單調(diào)變化的區(qū)間上的函數(shù)值. 也就是說(shuō)本題的關(guān)鍵在于先確定不同區(qū)間中a的取值范圍，然后再去確定函數(shù)值的大小. 顯然，對(duì)于類(lèi)似于這樣的數(shù)學(xué)問(wèn)題，有無(wú)數(shù)學(xué)語(yǔ)言系統(tǒng)，解題的難易程度是大不相同的.

■關(guān)于高中數(shù)學(xué)語(yǔ)言及系統(tǒng)的教學(xué)與反思

在高中數(shù)學(xué)教學(xué)中，從雙基要求的教學(xué)，到三維目標(biāo)的教學(xué)，需要的往往是教學(xué)范式的轉(zhuǎn)變. 而當(dāng)我們提出將數(shù)學(xué)語(yǔ)言系統(tǒng)作為一種教學(xué)方向時(shí)，意味著在實(shí)際教學(xué)中更多地要從數(shù)學(xué)語(yǔ)言和數(shù)學(xué)語(yǔ)言系統(tǒng)的角度來(lái)設(shè)計(jì)教學(xué).

實(shí)踐表明，這樣的范式轉(zhuǎn)變可能需要付出一定的努力，但其效果也是顯而易見(jiàn)的. 在數(shù)學(xué)語(yǔ)言系統(tǒng)的教學(xué)情境中，學(xué)生收獲的不僅是單個(gè)的數(shù)學(xué)知識(shí)，還包括這個(gè)數(shù)學(xué)知識(shí)所處的數(shù)學(xué)語(yǔ)言系統(tǒng)，從而在新知學(xué)習(xí)的階段就可以將前后知識(shí)聯(lián)系起來(lái)，于是學(xué)生每次收獲的就是一個(gè)個(gè)數(shù)學(xué)知識(shí)小網(wǎng)絡(luò). 當(dāng)這個(gè)小網(wǎng)絡(luò)形成一張大的數(shù)學(xué)知識(shí)系統(tǒng)網(wǎng)絡(luò)時(shí)，學(xué)生的數(shù)學(xué)能力就基本形成了.

如果說(shuō)這一教學(xué)取向有什么挑戰(zhàn)的話，那可能只有一個(gè)，就是教師的教學(xué)習(xí)慣，這需要時(shí)間來(lái)慢慢改變. 特別要強(qiáng)調(diào)的是，這一教學(xué)方式并不影響考試評(píng)價(jià)，事實(shí)上如果堅(jiān)持下來(lái)，那么學(xué)生對(duì)數(shù)學(xué)的整體把握能力更強(qiáng)，應(yīng)付考試評(píng)價(jià)的底氣也更足.