鄭海萍

摘 要：學(xué)案式教學(xué)是近年來新課程的一種新型教學(xué)方式和模式，其宗旨是教師開發(fā)符合自身學(xué)校學(xué)生特點(diǎn)的學(xué)案，進(jìn)一步高效地實(shí)施課堂教學(xué). 數(shù)學(xué)建模的學(xué)習(xí)有助于學(xué)生將數(shù)學(xué)知識漸漸與其他學(xué)科知識進(jìn)行有效的融合，提高學(xué)生知識學(xué)習(xí)的系統(tǒng)性、熟練性、運(yùn)用性，既提高學(xué)生應(yīng)試水平，也提高學(xué)生的能力. 本文將學(xué)案式教學(xué)結(jié)合建模教學(xué)進(jìn)行了校本開發(fā)，做了一些探索與思考.

關(guān)鍵詞：數(shù)學(xué)建模；新課程；學(xué)案；思考

高中數(shù)學(xué)新課程標(biāo)準(zhǔn)指出：數(shù)學(xué)要致力于學(xué)生思維的培養(yǎng)、動手能力的提高，以及注重其數(shù)學(xué)實(shí)際運(yùn)用能力，將形式化的數(shù)學(xué)通過學(xué)生主動的建構(gòu)和自我的認(rèn)知，形成牢固的知識體系，并能在實(shí)際問題中熟練運(yùn)用. 筆者結(jié)合教學(xué)經(jīng)驗(yàn)，認(rèn)為相對于傳統(tǒng)數(shù)學(xué)知識，數(shù)學(xué)實(shí)際運(yùn)用能力體現(xiàn)在數(shù)學(xué)應(yīng)用型問題和數(shù)學(xué)建模之上. 何為數(shù)學(xué)建模呢？用數(shù)學(xué)教育家佛萊登塔爾的話來說，就是把實(shí)際問題轉(zhuǎn)換為一種抽象情境下的數(shù)學(xué)問題，通過解決數(shù)學(xué)問題進(jìn)而解決實(shí)際問題的一種模式.

另一方面，學(xué)案式教學(xué)近年來發(fā)展很快，很多地區(qū)都已經(jīng)將校本學(xué)案式教學(xué)進(jìn)行了有效的開發(fā)，新課程最大的特點(diǎn)之一在于放手學(xué)校自主開發(fā)適合本校特點(diǎn)的校本素材. 在高中數(shù)學(xué)教學(xué)中，某些探索性的知識利用“校本導(dǎo)學(xué)案”模式進(jìn)行教學(xué)，以符合本校特點(diǎn)層次的問題作為載體，讓學(xué)生在符合自身特點(diǎn)的導(dǎo)學(xué)中解決問題，這是與時(shí)俱進(jìn)的校本開發(fā)和利用. 通過導(dǎo)學(xué)案給學(xué)生提供高效學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的基礎(chǔ)，有利于學(xué)生創(chuàng)新能力的培養(yǎng)與開發(fā). 我們通過一定時(shí)間的嘗試，進(jìn)行了初步的探索，下面筆者結(jié)合上教版實(shí)際教學(xué)案例，淺談高中生數(shù)學(xué)建模進(jìn)行學(xué)案式教學(xué)的初探與思考.

[?] 學(xué)案式建模教學(xué)的原則

“學(xué)案建模式”教學(xué)模式早在十多年前就已經(jīng)被一些教育的先驅(qū)以其他形態(tài)提出，并嘗試用于教學(xué)實(shí)際. 以北京四中特級教師谷丹老師為例，其提出“先學(xué)后教——注重探究——螺旋上升”是新課程的教育理念，在該模式的定義下，教師按照這樣的方式授課：以適合探究的教學(xué)內(nèi)容為背景，提前給學(xué)生安排一階段時(shí)間內(nèi)的教學(xué)進(jìn)度（以學(xué)案的形式進(jìn)行編制操作），對數(shù)學(xué)建模內(nèi)容，讓學(xué)生預(yù)習(xí)，教師在隨后的課堂教學(xué)中解決建模問題中有困惑的數(shù)學(xué)問題，引導(dǎo)學(xué)生對學(xué)案式數(shù)學(xué)建模知識進(jìn)行更深入的學(xué)習(xí)、建構(gòu)、變式、演練、運(yùn)用，讓學(xué)生成為建模課堂的主導(dǎo)者. 教師的主要作用是課堂的引導(dǎo)者，使得學(xué)生在較短的時(shí)間內(nèi)對學(xué)案式建模教學(xué)方式有所掌握.

考慮到建模教學(xué)的實(shí)際性，因此在學(xué)案的編寫過程中，學(xué)案式建模教學(xué)遵循下列原則：

①探索性原則：編制校本學(xué)案的目的在于開拓學(xué)生在數(shù)學(xué)學(xué)科上的自主學(xué)習(xí)能力. 因此，教師必須尊崇學(xué)生學(xué)習(xí)的心理機(jī)制，方便學(xué)生進(jìn)行探索性的學(xué)習(xí)，讓學(xué)生在數(shù)學(xué)問題的背后能找到數(shù)學(xué)思想和方法.

②啟發(fā)性原則：問題必須富有啟發(fā)性，這是對教師問題設(shè)計(jì)能力的考驗(yàn). 能充分調(diào)動學(xué)生思維的問題設(shè)計(jì)是優(yōu)秀的設(shè)計(jì).

③靈活性原則：鑒于學(xué)生思維程度的不同，在學(xué)案的表現(xiàn)形式上理應(yīng)豐富，在內(nèi)容設(shè)計(jì)上需要花時(shí)間、花心思，積極調(diào)動學(xué)生的思維. 另外，還要考慮到諸如梯度化原則、創(chuàng)新性原則、新穎性原則等等.

[?] 學(xué)案式建模教學(xué)的案例

通過常年實(shí)踐，筆者認(rèn)為，數(shù)學(xué)應(yīng)用性問題結(jié)合多樣的教學(xué)形式，認(rèn)識識別數(shù)學(xué)模型是解決問題的主要方法. 根據(jù)學(xué)習(xí)模式，構(gòu)建建模圖，數(shù)學(xué)建模（或應(yīng)用型問題）求解依舊是模式識別的一種體現(xiàn). 在數(shù)學(xué)解題教學(xué)中，有意識地滲透認(rèn)識、識別模型，并親身參與分析問題、解決問題的整個(gè)過程，不斷提出新的解決方案，構(gòu)建新的模型，將有助于提高學(xué)生對應(yīng)用性問題的解決能力.

案例1 （編制：分期付款學(xué)案）現(xiàn)在某人向建設(shè)銀行申請個(gè)人住房公積金貸款20萬元，期限為20年. 假定在月初借款，從該月末開始每月以按揭形式還款. 若他想節(jié)省一些利息支出，請問他應(yīng)選擇等額法還是遞減法還款？說明理由. 他每月應(yīng)歸還多少元錢？

筆者把班級分成四組，并派代表深入一線調(diào)查，并與銀行有關(guān)工作人員咨詢，對獲得的大量第一手資料進(jìn)行分析、歸納、討論并深刻思考，精心準(zhǔn)備.在課上，他們侃侃而談：“對以上實(shí)際問題而言，我們必須了解銀行術(shù)語、還法的計(jì)算，對問題做相應(yīng)地?cái)?shù)學(xué)化處理，通過模式識別，轉(zhuǎn)化成我們較為熟悉的問題——數(shù)列知識中等比數(shù)列求和與等差數(shù)列求和”.

分析數(shù)據(jù)：如何數(shù)學(xué)化呢？各小組了解到：

①我國目前公積金貸款6～30年的年利率是4.05%，相應(yīng)的月利率為3.375%.

②銀行個(gè)人住房貸款的還款方式主要有兩種：一種是等額本息還款法；另一種是等額本金還款法.

全班學(xué)生在共同探討中，明確了等額法還款與遞減法還款各量之間的關(guān)系，經(jīng)處理后的實(shí)際問題，轉(zhuǎn)化為下列數(shù)學(xué)問題：

③按等額法還款數(shù)學(xué)模型

設(shè)貸款本金為A，r為月利率，還款總期數(shù)為m個(gè)月，則到m月末的本利和是A（1+r）m. 再設(shè)每月還款數(shù)為a，則到m月末的本利合計(jì)為a（1+r）m-1+a（1+r）m-2+…+a（1+r）+a. 由a（1+r）m-1+a（1+r）m-2+…+a（1+r）+a=A（1+r）m，得a=.

（1）

④按遞減法還款數(shù)學(xué)模型

設(shè)第k個(gè)月末的還款數(shù)為bk，其中1≤k≤m，則每月平均歸還貸款本金為. 由于第k-1個(gè)月末已歸還的本金累計(jì)額為（k-1），故在第k個(gè)月末時(shí)，應(yīng)歸還每月平均貸款本金以及剩余本金所產(chǎn)生的利息之和，即bk=+Am（k-1）]r. （2）

設(shè)按等額法還款和遞減法還款的累計(jì)總額分別為S1，S2，根據(jù)（1），（2）

接下來由研究小組主持研討，比較大小，學(xué)生感到新奇有趣，參與精神強(qiáng)烈，求知欲望高漲，完全體現(xiàn)了學(xué)生在學(xué)習(xí)中應(yīng)有的積極主動的狀態(tài)，完全把教師“曬“在一邊.

因此，從理論上回答了為什么多數(shù)人選擇按遞減法還款. 通過這節(jié)數(shù)學(xué)應(yīng)用課，激發(fā)學(xué)生對數(shù)學(xué)的濃厚興趣，使他們感受到數(shù)學(xué)建模在解決應(yīng)用題中的作用，懂得數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)必須理論聯(lián)系實(shí)際，只有做到學(xué)習(xí)為了用，才能真正感受到數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的無窮樂趣. 筆者認(rèn)為，盡管問題的模型很粗糙，與真正的建模還有一定差距，但對學(xué)生來說是自覺的，充滿探索性的，因而是充滿活力的.

[?] 學(xué)案式建模教學(xué)的思考

傳統(tǒng)的數(shù)學(xué)課程比較注重理論性的數(shù)學(xué)知識，并且過于注重知識的連接性和反復(fù)性、熟練性，久而久之形成了我國特有的中學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)特色：扎實(shí)的雙基、創(chuàng)新的不足以及動手能力的缺失.近年來，學(xué)案式建模教學(xué)課程持續(xù)的開展正是為了解決上述問題，在教材中較多地出現(xiàn)了以應(yīng)用型問題為背景的數(shù)學(xué)試題，這正是數(shù)學(xué)建模在高中數(shù)學(xué)中較為合理的表現(xiàn)形式. 新課程下的高中數(shù)學(xué)不再向傳統(tǒng)一樣只注重純粹理論性的數(shù)學(xué)解題，更注重生活中的數(shù)學(xué)應(yīng)用和解決實(shí)際問題.由此，筆者產(chǎn)生了一些思考：

（1）數(shù)學(xué)建模在高中數(shù)學(xué)中的應(yīng)用大都還是限于一些函數(shù)應(yīng)用型問題的具體體現(xiàn)，在教學(xué)中教師要以這些應(yīng)用型問題為背景，以學(xué)會的數(shù)學(xué)理論知識來解決實(shí)際問題，對學(xué)生腦海中產(chǎn)生數(shù)學(xué)建模的概念是大有幫助的.

（2）現(xiàn)今的數(shù)學(xué)教育不僅要注重分?jǐn)?shù)，更要為學(xué)生的可持續(xù)發(fā)展奠定基調(diào).隨著各大高校自主招生的進(jìn)一步展開，對學(xué)生能力的要求也隨之更高. 建模能力的培養(yǎng)易從高中數(shù)學(xué)應(yīng)用型問題起步，久而久之學(xué)會的轉(zhuǎn)化劃歸、抽象概況能力將伴隨學(xué)生進(jìn)一步的學(xué)習(xí)、生活，這正是素質(zhì)教育需要體現(xiàn)的.

（3）適合本校學(xué)生的開發(fā)才是最好的、最高效的. 鑒于應(yīng)試實(shí)際，在數(shù)學(xué)教學(xué)中以建模問題引領(lǐng)應(yīng)用型問題的教學(xué)，既保障學(xué)生應(yīng)試能力，也提高了學(xué)生將實(shí)際問題處理、抽象為數(shù)學(xué)問題的能力，值得我們繼續(xù)研究.

最后筆者想說，學(xué)案式教學(xué)最大的優(yōu)點(diǎn)在于對學(xué)生而言，自主進(jìn)行了基本問題的解決和變式問題的思考，提高了學(xué)習(xí)的自主性；對教師而言，學(xué)案式教學(xué)勢必在提高教師自身專業(yè)化成長的道路上不斷開辟新的途徑，將改編試題和命題作為教師教學(xué)工作的一部分，這對于自身的成長和本校學(xué)生的學(xué)情都是較為符合的；對學(xué)校而言，大量的學(xué)案式教學(xué)的開發(fā)，經(jīng)過梳理和整合，久而久之，可以整合到新課程改革選修課程的開發(fā)工作之中，對本身的教學(xué)工作也是一舉兩得.