我發(fā)現(xiàn)的俞氏定律

俞博文

摘要：一次解題中，我無意犯了一個三角形算法的“天大錯誤”，卻讓我發(fā)現(xiàn)一個三角形面積關系計算的“規(guī)律”。

關鍵詞： 三角形；幾何；俞氏定律

中圖分類號：G622 文獻標識碼：B 文章編號：1002-7661（2014）10-385-02

一次解題中，我無意犯了一個三角形算法的“天大錯誤”，卻讓我發(fā)現(xiàn)一個三角形面積關系計算的“規(guī)律”。

問題如下圖所示：小三角形面積占四邊形面積幾分之幾？

我不假思索的拿起筆就列出了算式：分子（前項）3×2÷2，分母（后項）﹙3＋4﹚×﹙2＋6﹚÷2－3×2÷2，計算整理得3／﹙7×8÷2－3﹚＝3／﹙28－3﹚＝3／25 。再 回頭仔細一看，頓時發(fā)現(xiàn)天大謬誤——我竟然“前無古人后無來者”地用三角形一個角的兩條鄰邊相乘再除以2計算三角形的面積。我連忙把“錯誤算式”擦掉，思考了一會，終于找到“正確”解題路徑。

首先，在原圖中添加一條輔助線，如圖（1）。

那么三角形ABE如圖（2）

三角形BDE面積與三角形ADE面積的比則為1∶3（高相等，面積之比等于底之比）。

同理，圖（3）中左右兩個三角形ABE與AED的面積比為3∶4。由此，圖（2）（1＋3）份面積等于圖（3）面積中的3份，根據(jù)（2）、（3）兩圖面積的兩個比例關系，可以得到小三角形與四邊形的面積比為：1∶﹙4／3×4＋3﹚＝1÷﹙16／3＋3﹚＝1÷25／3＝3／25。

在得出正確答案的一剎那，我忽然有一種“似曾相識”的感覺。正確答案和我之前“沖動”思索得出的答案一模一樣!“難道兩種算法有什么關聯(lián)嗎？或許之前的算法也是正確的？”我既疑惑又興奮。

為了解開自己的困惑、驗證我的猜想，我自己編制一道類似的數(shù)學問題，例如，圖（4）所示：

問：三角形BDE面積占三角形ABC面積的幾分之幾？我先用“猜想的方法”列式計算：（除以2是公有常數(shù)，可以全部消除）5×6／﹙2＋5﹚×﹙6＋3﹚＝30÷63＝10／21。隨后，我再用“有依據(jù)思路”驗算一遍（過程參照前題），最后結果是5／10.5，值也是10／21。結論再次得以驗證。

接著我又編了幾道類似的問題予以驗證，通過驗算對比，發(fā)現(xiàn)兩種方法的計算結果都一致。由此，我推論，只要有一個角相等兩個三角形面積大小的關系比較都適用于這種方法。

那么，如果是已知兩個三角形相應一個角的一個鄰邊和對邊，是否也可以用“對邊和鄰邊的乘積之比”推論面積之比呢？如圖（5）所示：我經(jīng)對比過驗算，得出兩個不同的答案，類似幾題也是如此。咦！怎么回事？我一下子陷入了沉思......仔細琢磨，我覺得其中或許隱含以下原理。

如圖（6）所示：

當圖形中D、E兩點的位置發(fā)生變化時，也就是兩個鄰邊的長度變化，直接確定了DE的長度和DE上的高的大小變化。因為三角形任意一組底和高的乘積都確定這個三角形的面積大小。而且，一個角的對邊及高的大小變化，必須由這個角的兩條鄰邊AD和AE的大小“共同”確定。所以，才會存在我“發(fā)現(xiàn)”的事實。