陳建華 文 清

(1.揚(yáng)州大學(xué) 江蘇揚(yáng)州 225002； 2.成都大學(xué) 四川成都 610106)

數(shù)學(xué)教師糾錯教學(xué)策略研究*
——從處理學(xué)生解題錯誤談起

陳建華1文 清2

(1.揚(yáng)州大學(xué) 江蘇揚(yáng)州 225002； 2.成都大學(xué) 四川成都 610106)

教師的學(xué)科知識不能自動地產(chǎn)生成功的教學(xué)方式和教學(xué)理念；缺乏堅(jiān)固的學(xué)科支撐，成功的教學(xué)方式和新穎的教學(xué)理念不可能實(shí)現(xiàn)。為了支持學(xué)生更深入學(xué)習(xí)高等數(shù)學(xué)，教師應(yīng)該不斷積累、完善自己的數(shù)學(xué)教學(xué)知識結(jié)構(gòu)，聚焦課堂教學(xué)實(shí)踐與反思，走向開拓性教學(xué)。通過教師對學(xué)生產(chǎn)生解題錯誤的不同教學(xué)處理，考察教師糾錯教學(xué)策略。借助習(xí)題涉及教學(xué)內(nèi)容的知識包，探討數(shù)學(xué)教師掌握教學(xué)內(nèi)容知識的深度、廣度對教學(xué)的影響，以及數(shù)學(xué)教師糾錯教學(xué)策略。

數(shù)學(xué)教師；糾錯教學(xué)策略；矩陣；零因子；秩；線性方程組；知識包

線性代數(shù)內(nèi)容抽象，知識點(diǎn)間聯(lián)系緊密。它在給學(xué)生提供數(shù)學(xué)思維訓(xùn)練素材的同時(shí)，也給學(xué)生理解課程的概念和法則甚至計(jì)算都帶來困難，亦給教師的教學(xué)帶來難度。基于課堂教學(xué)實(shí)踐的訪談，也是評價(jià)教師知識常見的方法之一[1]。本文通過教師對學(xué)生解題錯誤的不同教學(xué)處理，了解任課教師對線性代數(shù)糾錯教學(xué)能力的現(xiàn)狀。借助相關(guān)教學(xué)內(nèi)容的知識包，討論數(shù)學(xué)教師掌握教學(xué)內(nèi)容知識的深廣度對教學(xué)的影響，以及數(shù)學(xué)教師學(xué)科水平與教學(xué)能力契合的發(fā)展方向。

一、一道線性代數(shù)試題引出的話題

(一)從學(xué)期考試中獲得的問題情境

這是一道貌似簡單實(shí)質(zhì)蘊(yùn)含深刻的智慧的檢測學(xué)生矩陣的概念、計(jì)算等及相關(guān)知識聯(lián)系教學(xué)的有價(jià)值的題目，既考查學(xué)生基礎(chǔ)知識又考查其分析、解決問題的能力，還考查其嚴(yán)謹(jǐn)治學(xué)的意識。

2013年1月，將上題作為一道解答題植入線性代數(shù)課程期末試卷，為了保證測試調(diào)查的真實(shí)性、有效性，將其編排在試卷的前半部分。閱卷后，隨機(jī)選取兩個(gè)班級，進(jìn)行了答題情況統(tǒng)計(jì)。結(jié)果如下：學(xué)生人數(shù)72人(不考慮重修學(xué)生)，未做解答的5人，獲得結(jié)論“k=-3”的65人中，理由正確的有36人，理由不正確的有29人。不正確的推理過程主要有兩類：

錯解(1)：因?yàn)锳B=O，且B≠O，所以A=O，故行列式|A|=0。

錯解(2)：因?yàn)锳B=O，所以|A|·|B|=0，由于B≠O,故|B|≠0，從而行列式|A|=0。

(二)從問題情境中引出的話題

請您花點(diǎn)時(shí)間考慮一下：如果您的學(xué)生發(fā)生上述錯誤，您認(rèn)為：學(xué)生產(chǎn)生錯誤的原因是什么？教學(xué)中怎樣幫助學(xué)生改正錯誤？

(三)討論話題的對象

本年度講授過線性代數(shù)課程的大學(xué)數(shù)學(xué)教師，共18人。為了敘述方便用教師姓名拼音首字母代替某教師，其中新教師(教齡4年以下，用N表示)6人，經(jīng)驗(yàn)型教師(教齡4年以上)12人。本科學(xué)歷1人，碩士學(xué)歷4人，博士學(xué)歷(用D表示)13人；具有代數(shù)知識背景(攻讀碩士、博士階段是基礎(chǔ)數(shù)學(xué)代數(shù)方向，用A表示)的6人；具有教學(xué)知識背景(即本科階段是師范專業(yè)，用T表示)的12人。

二、學(xué)生解題錯誤成因與教學(xué)策略的討論

本研究中的所有教師都認(rèn)為，學(xué)生在進(jìn)行矩陣乘法的運(yùn)算中用錯了運(yùn)算律， 行列式和矩陣概念理解出現(xiàn)了問題。然而，他們在解釋學(xué)生解題出錯原因和如何幫助學(xué)生改正該錯誤時(shí)表達(dá)了不同的見解。

(一)學(xué)生解題錯誤成因討論

新教師在討論學(xué)生的錯誤時(shí)，6位教師都認(rèn)為錯解(1)是由于學(xué)生對矩陣的乘法理解不深刻。錯解(2)是將零矩陣和矩陣的行列式為零兩個(gè)概念混淆了。在解釋學(xué)生的錯誤的過程時(shí)，雖然，ZJW(DN)是新教師，但她的分析還是簡潔明了的：

矩陣的乘法運(yùn)算中存在零因子，即兩非零矩陣的乘積可能為零矩陣，部分學(xué)生形成錯解(1)，是由于對此疏忽造成的。我們可以通過一些例子來提醒學(xué)生注意，比如可以給學(xué)生下列例子：

另外5位新教師，也像ZJW這樣，雖然提及“零因子”或“方陣的行列式”，但他們沒有給學(xué)生提供反例，或告訴學(xué)生閱讀教材的相應(yīng)部分，讓學(xué)生關(guān)注基本概念或運(yùn)算律。關(guān)于解題的思維過程，一位新教師認(rèn)為從解題的角度看，要求k值，當(dāng)然只有|A|=0，才能推出具體數(shù)值。他認(rèn)為學(xué)生不必過多糾纏“為什么”，傾向于讓學(xué)生記憶其思維模塊。由此可以看出，這些教師未想到要促進(jìn)學(xué)生對矩陣乘法運(yùn)算的深入理解，明晰混淆的概念；僅僅是從解題需要出發(fā)，建議學(xué)生如何做題。雖然他們的教學(xué)法理解有概念性理解的傾向，但還是處于過程性理解階段[2]。

雖然經(jīng)驗(yàn)型教師解釋學(xué)生的錯誤總體而言與新教師有相同之處，但他們更期望學(xué)生能夠?qū)W會更多而不僅僅是例子，希望學(xué)生學(xué)會在這個(gè)運(yùn)算法則下所蘊(yùn)含的數(shù)學(xué)原理。概念組的教師關(guān)注矩陣運(yùn)算系統(tǒng)和實(shí)數(shù)運(yùn)算系統(tǒng)，指出矩陣與行列式的本質(zhì)區(qū)別，能提醒學(xué)生從函數(shù)的角度，理解方陣行列式的聯(lián)系。如JRZ(DAT)給出解釋是：

矩陣代數(shù)系統(tǒng)Mn(R)與我們熟悉的實(shí)數(shù)系統(tǒng)R的本質(zhì)區(qū)別是在Mn(R)中存在零因子，消去律不成立，而實(shí)數(shù)系統(tǒng)中不存在零因子。我會給學(xué)生一個(gè)對照表，將矩陣系統(tǒng)和實(shí)數(shù)系統(tǒng)作一個(gè)比較，讓學(xué)生區(qū)分兩個(gè)系統(tǒng)，以加深對問題的理解。

實(shí)數(shù)集合R矩陣集合Mn(R)結(jié)合律、分配律結(jié)合律、分配律交換律、消去律零因子元素a可逆?存在b使得ab=ba=1?a≠0?存在b使得ab=1元素A可逆?存在B使得AB=BA=EA?|A|≠0?存在B使得AB=E

關(guān)于a≠0與|A|≠0從代數(shù)角度抽象地看，二者無任何差別。雖然矩陣的記號(數(shù)表外加括號)與行列式記號(數(shù)表外加兩豎線)很相像，但它們是兩個(gè)截然不同的概念，行列式是一個(gè)數(shù)，而矩陣為一個(gè)矩形的數(shù)列表。一方面，只有方陣才可能取行列式；另一方面，方陣與它的行列式又是密切相關(guān)的，行列式是方陣特性的重要標(biāo)志，提高一個(gè)層面看，可以把矩陣(對應(yīng)于一個(gè)數(shù))看成方陣的函數(shù)。

事實(shí)上，對任意的A∈Mn(R)，如何定義其函數(shù)值f(A)，在不同的領(lǐng)域有多種不同的回答，矩陣A對應(yīng)于|A|只是其中一種意義深刻的對應(yīng)方法，比如行列式是否為零，把矩陣劃分為奇異和非奇異兩類。當(dāng)我們將方陣的行列式概念推廣為矩陣的行列式的概念后，可以揭示出矩陣更深刻的特性，人們通常認(rèn)為方陣的行列式概念是講授矩陣秩的先導(dǎo)。所有這些充分傳達(dá)了教師們對課題的概念性理解，對方陣行列式的核心思想的把握。

一部分有教學(xué)法知識背景的教師對學(xué)生的錯誤的解釋表現(xiàn)出特定的視角。他們認(rèn)為：從學(xué)生的學(xué)習(xí)過程看，學(xué)生發(fā)生這兩類錯誤的根本原因是“存在矩陣B≠O”抽象造成的。如果題目中矩陣是具體給出的，學(xué)生的求解不就是剩下矩陣的乘法運(yùn)算了嗎?應(yīng)該從“存在矩陣B≠O”的作用是什么開始考慮問題：一個(gè)元素不為零、一列向量不為零或整個(gè)矩陣不為零，它們又能聯(lián)系哪些相關(guān)知識點(diǎn)或結(jié)論呢？面對有44.62%的學(xué)生就此題出現(xiàn)錯誤的現(xiàn)象，說明這是幫助學(xué)生正確運(yùn)用矩陣運(yùn)算律、辨別矩陣與行列式概念的極好素材。教學(xué)中要好好利用這一寶貴教學(xué)資源，達(dá)到“留得殘荷聽雨聲的”教學(xué)效果。

(二)糾錯教學(xué)策略討論

兩組教師對學(xué)生的錯誤的解釋不同，同樣處理學(xué)生錯誤的策略也有不同的方法。兩位新教師認(rèn)為，之所以出錯是學(xué)生沒有很好地利用矩陣分塊的技巧，如果學(xué)生能夠想到將矩陣分塊B=(β1，β2，β3)，則有AB=(Aβ1,Aβ2,Aβ3)=O，自然會聯(lián)系齊次線性方程組AX=0。這兩位教師用語言說明了推理過程和步驟。

與新教師的“大框架”給學(xué)生提供問題思路的指導(dǎo)不同的是，經(jīng)驗(yàn)型教師的指導(dǎo)顯得更細(xì)致，他們希望學(xué)生清楚每一步推導(dǎo)的理由。如SHC(T)是一位從事大學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)二十多年的老教師，他認(rèn)為必須給學(xué)生詳細(xì)的解題過程指導(dǎo)：

記B=(β1,β2，β3)，則AB=O?A(β1,β2，β3)=O(將矩陣B作列分塊)?(Aβ1,Aβ2,Aβ3)=O(分塊矩陣的乘法運(yùn)算)?Aβ1=O(i=1,2,3)(分塊矩陣的相等)?β1(i=1,2,3)是齊次齊次線性方程組AX=O的解。?AX=O有非零解(因?yàn)锽≠O，所以存在βi≠0)?|A|=0。

對于如何恰當(dāng)?shù)乩梅謮K矩陣進(jìn)行矩陣的乘法，使之便于運(yùn)算或論證，這是一個(gè)復(fù)雜且技巧性很高的問題。雖然矩陣的列分塊方法是常見的分塊方法，但結(jié)合本文討論的問題，到底是如何聯(lián)系上的呢？筆者進(jìn)行如下追問：“您為什么會想到對矩陣B做列分塊？”SHC(T)：“為什么？可能是長期教授該課程，好像見到AB=O，總能想到將矩陣B分塊，然后聯(lián)系上齊次線性方程組AX=0。”筆者：“如果對矩陣A做列分塊，能獲得解題思路嗎？”SHC(T)：“應(yīng)該可以的吧，還沒考慮過?！?/p>

矩陣分塊法是矩陣計(jì)算中的一種技巧，其好處在于矩陣分塊后，能夠突出該矩陣的結(jié)構(gòu)，從而可以利用它的特殊結(jié)構(gòu)，使得運(yùn)算簡化；除了將運(yùn)算調(diào)理化外，還可以為某些命題的證明提供方法和思路。如將m×n矩陣進(jìn)行分塊A=(α1,α2,…，αm)，那么，在運(yùn)算中，它可以視為一個(gè)“向量”，這時(shí)矩陣等同于它的列向量組。由此，理解矩陣與向量組的關(guān)系，這是對矩陣概念的深化，也是后續(xù)內(nèi)容中利用矩陣來討論向量組的基礎(chǔ)。

帶著某些特定的期望，筆者訪談了一位有代數(shù)背景的老教師SJH(DAT)。在介紹基本情況后，直接詢問他：“您是如何聯(lián)系齊次線性方程組的？您會怎樣給學(xué)生提供思考問題的策略？”他說：

題目條件“AB=O,B≠O”的本質(zhì)是思考問題的關(guān)鍵，于是我們可以從B≠O仔細(xì)考慮。若B≠O理解為有一個(gè)元素不為零，則在AB=O中矩陣A與一個(gè)元素相乘不好解釋，所以接著從該非零元素所在的列不為零考慮，則有Aβ=O，且β≠O，這樣克萊姆法則的結(jié)論自然聯(lián)系上。

SJH(DAT)稍稍思考后接著說：

若B≠O，從矩陣的秩不為零(即R(B)≥1)考慮，由AB=O，知道R(A)+R(B)≤3，從而R(A)≤2，則有|A|=0。問題也得到解決。

教師期望學(xué)生所知道的與教師自己的知識是相關(guān)的，僅僅期望學(xué)生學(xué)會這個(gè)過程的教師，往往只有過程性的理解。同時(shí)，有限的學(xué)科知識限制了教師促進(jìn)學(xué)生概念學(xué)習(xí)能力的培養(yǎng)。一位長期從事碩士研究生入學(xué)輔導(dǎo)的教師WJC(DAT)，他給出的糾錯教學(xué)策略是：

此題思考的焦點(diǎn)是方陣的行列式，我認(rèn)為中間結(jié)論|A|=0，應(yīng)該可以猜測得到。而(非)奇異矩陣是線性代數(shù)中最重要和最基本的概念之一，沿著此思路，可以讓學(xué)生回憶刻劃|A|=0的等價(jià)條件，尋找解題思路。

根據(jù)WJC(DAT)的訪談?wù)淼萌缦聦φ毡恚?/p>

|A|=0的等價(jià)條件解題思路AX=O有非零解將矩陣B作列分塊,由AB=O,B≠O判斷AX=O有非零解,故|A|=0A的秩小于3利用關(guān)系R(A)+R(B)≤3,且B≠O,從而R(A)≤2,故|A|=0A的列向量組線性相關(guān)將A做列分塊,A=(α1,α2,α3),由AB=O,B≠O,不妨令β=(k1,k2,k3)T≠0,則有k1α1+k2α2+k3α3=0,故A的列向量組線性相關(guān),從而|A|=0A有特征值為零(|A|=λ1λ2λ3)由于B≠O,不妨令β為B的非零列向量,則由AB=O有Aβ=O=O·β,從而,矩陣有一個(gè)特征值為零,β是A的屬于0的特征向量,故|A|=0

教學(xué)實(shí)踐中，注重教學(xué)方法、關(guān)注學(xué)生學(xué)習(xí)過程的有3位教師，其中1人是教育學(xué)碩士，1人是課程與教學(xué)論方向博士。他們在學(xué)生出現(xiàn)錯誤的成因分析和糾錯教學(xué)策略指導(dǎo)中都能充分考慮學(xué)生學(xué)習(xí)習(xí)慣，有2位教師是采用反證法推導(dǎo)矩陣行列式|A|=0。QLL(T)教師認(rèn)為：

從方法論的角度看，當(dāng)我們正面思考問題受阻時(shí)，可以嘗試從反面考慮，假設(shè)矩陣A的行列式不為零，即|A|≠0，則它是可逆矩陣，在等式AB=O兩邊左乘A-1，則有A-1AB=A-1O，由此推出B=O與題設(shè)矛盾。

該思路簡潔明了，充分體現(xiàn)了“正難則反”的思維模式的威力。利用A-1這一具體對象交給將剛踏入全新矩陣運(yùn)算系統(tǒng)的學(xué)生，避免了“無從著手，空中樓閣”的困惑。這里方法論知識對問題的解決發(fā)揮了決定性的作用。

課程與教學(xué)論方向博士ZBD(DT)的指導(dǎo)策略是為犯錯誤學(xué)生提供診斷性練習(xí)。她設(shè)計(jì)了幫助學(xué)生“診斷錯誤、解決問題”的一串練習(xí)題，試圖通過這些練習(xí)提出過程背后的概念性問題。

習(xí)題1 設(shè)非零矩陣

計(jì)算AB。由計(jì)算結(jié)果與題設(shè)條件比較，你發(fā)現(xiàn)了矩陣運(yùn)算的什么特性？

計(jì)算矩陣的行列式|A|，思考零矩陣與矩陣行列式為零的區(qū)別與聯(lián)系。

分別求非零矩陣

使得AB=O，其中R(B1)=R(B2)=R(B3)=1。

盡管這串習(xí)題從計(jì)算的角度看是從過程性方面開始的，但計(jì)算后的思考又讓學(xué)生回到概念，通過該習(xí)題串成功地幫助學(xué)生在理解的基礎(chǔ)上記住矩陣運(yùn)算的若干規(guī)則。從教學(xué)角度看，既為學(xué)生指明思考問題的方向，又讓學(xué)生自己去發(fā)現(xiàn)錯誤、糾正錯誤。此外，教師們還提到一些基于學(xué)習(xí)的策略，如組織學(xué)生學(xué)習(xí)、幫助學(xué)生觀察、指導(dǎo)學(xué)生參與討論等。

三、學(xué)科知識與教學(xué)策略關(guān)系的討論

(一)知識包的建立和分析

綜合分析討論的過程，我們可以獲得關(guān)于本文所研究習(xí)題的一個(gè)知識包(圖1)。知識包中橢圓表示研究課題，圓角長方形表示相關(guān)知識點(diǎn)，通過有向線段聯(lián)系相關(guān)知識點(diǎn)；所有部分都明顯地與研究習(xí)題有關(guān)，知識包的下層支持對學(xué)生錯誤的解釋，上層則對教師給學(xué)生提供解題策略提供有力支持。

圖1 習(xí)題的知識包

知識包中的概念是濃縮的知識點(diǎn)，也是教學(xué)中師生思維的“細(xì)胞”。教學(xué)中可以從關(guān)鍵知識點(diǎn)，揭示其被掩蓋的特殊情況，如“矩陣B≠O”背后的“?bij≠O”或“?βj≠O”或“R(B)≥1”等，通過給出各種具體模式，幫助學(xué)生理解。也可以區(qū)分概念的異同，尋找它們的關(guān)鍵之處。

從學(xué)科知識的角度來看，參加討論的教師的知識理解幾乎都包含在這個(gè)包內(nèi)。關(guān)于問題解決的教學(xué)策略，“奇異矩陣”幾乎是所有教師都能意識到的關(guān)鍵概念。大多數(shù)新教師考慮問題限制在解釋錯誤和解答問題范圍內(nèi)。而經(jīng)驗(yàn)型教師，特別是有代數(shù)專業(yè)方向背景，或具有教學(xué)需求的教師(如SJH(DAT)和WJC(DAT))，能夠很“輕松”地從較多角度討論相關(guān)內(nèi)容。這說明：專業(yè)知識背景的不同、教學(xué)知識的差異影響對知識包的相關(guān)各成分的了解范圍，導(dǎo)致教師教學(xué)策略的優(yōu)劣。

(二)“概念性理解”并非簡單

新教師理解的深刻程度較淺，只能將知識包中少數(shù)元素引入問題的解決過程，且較為孤立。6位新教師中，關(guān)于錯誤解釋有2人在過程性理解層面，4人在概念性理解層面；從教學(xué)策略角度看，只有1位教師達(dá)到概念性取向。經(jīng)驗(yàn)型教師中，也只有具有代數(shù)背景的，或有教學(xué)需要的教師才有發(fā)展完全的、組織良好的概念性理解的知識包。統(tǒng)計(jì)表明：在12名經(jīng)驗(yàn)教師中，有10名(占83%)關(guān)于錯誤解釋在概念性理解層面；從教學(xué)策略角度看，只有8位教師達(dá)到概念性取向。圖2顯示了教師關(guān)于該內(nèi)容的學(xué)科知識，圖3顯示了教師在認(rèn)識和處理該問題時(shí)的教學(xué)法傾向。

圖2

圖3

無論是新教師還是經(jīng)驗(yàn)型教師，從教學(xué)策略上看概念性取向的人數(shù)要比解釋錯誤時(shí)概念性理解的人數(shù)要少。這提示我們，數(shù)學(xué)知識的“概念性理解”并非簡單。訪談?wù){(diào)查中，ZBD老師設(shè)計(jì)的習(xí)題串，從問題形式挖掘?qū)W生的思維過程，從學(xué)生的立場解釋知識、表征知識，能促進(jìn)學(xué)生對數(shù)學(xué)知識的理解從過程性轉(zhuǎn)向概念性，給我們很好的啟示。

(三)若干思考

大學(xué)數(shù)學(xué)教師怎樣準(zhǔn)確認(rèn)識學(xué)生的錯誤，游刃有余地矯治錯誤，達(dá)到對講授學(xué)科知識的深刻理解?本課題的研究給我們一些啟示：

第一，教師的學(xué)科知識具有促進(jìn)學(xué)生在課題學(xué)習(xí)中獲得特殊智慧的特征。數(shù)學(xué)教師往往會在相關(guān)課題之間和課題內(nèi)部的知識之間建立一些聯(lián)系，形成中心概念、概念序列或概念節(jié)點(diǎn)，而如何創(chuàng)設(shè)知識點(diǎn)之間的聯(lián)結(jié)并形成一定的“知識包”，則需要教師自覺總結(jié)或在教研活動中共同討論。

第二，多角度地考慮問題，討論各種解法，是數(shù)學(xué)發(fā)展的一種持續(xù)的動力，也是數(shù)學(xué)教學(xué)追求的目標(biāo)。計(jì)算過程、推理路徑的多樣化，源于概念性理解。一個(gè)問題能用多種方法計(jì)算或論證需要超越知識表面的形式，把握數(shù)學(xué)的精髓——蘊(yùn)含的數(shù)學(xué)概念和原理。

第三，教育教學(xué)活動是復(fù)雜的、多變的，僅僅具備學(xué)科基礎(chǔ)性知識，并不足以保證數(shù)學(xué)教師能夠勝任數(shù)學(xué)教育實(shí)踐工作[3]。雖然大部分教師能夠顧及學(xué)生的認(rèn)知水平，但具體操作中，有良好的教學(xué)法知識的教師，能更有效地幫助學(xué)生認(rèn)識錯誤、矯治錯誤，表現(xiàn)出了更有章法的指導(dǎo)策略。

總而言之，教師的學(xué)科知識不能自動地產(chǎn)生成功的教學(xué)方式和教學(xué)理念；缺乏堅(jiān)固的學(xué)科支撐，成功的教學(xué)方式和新穎的教學(xué)理念不可能實(shí)現(xiàn)[4]。我們期望做一個(gè)“WJC+QLL+ZBD”型即學(xué)科專業(yè)扎實(shí)、教育教學(xué)智慧、實(shí)踐反思深刻、睿智耐心的數(shù)學(xué)教師，為了支持學(xué)生更深入學(xué)習(xí)高等數(shù)學(xué)，我們應(yīng)該不斷積累、完善自己的數(shù)學(xué)教學(xué)知識結(jié)構(gòu)，聚焦課堂教學(xué)實(shí)踐與反思，走向開拓性教學(xué)。

[1]黃興豐，馬云鵬.美國數(shù)學(xué)教師學(xué)科知識評價(jià)方法的述評[J].數(shù)學(xué)教育學(xué)報(bào)，2013，(1).

[2]馬 復(fù).試論數(shù)學(xué)理解的兩種類型——從斯根普的工作談起[J].數(shù)學(xué)教育學(xué)報(bào)，2001，(3).

[4]馬立平.小學(xué)數(shù)學(xué)的掌握與教學(xué)[M].李士钅奇等譯.上海：華東師范大學(xué)出版社，2011.

[5]陳建華，劉金林，魏俊潮.線性代數(shù)(第3版)[M].北京：機(jī)械工業(yè)出版社，2011.

[6]陳建華，李立斌，凌 智，劉金林，陳惠香.基于問題解決的線性代數(shù)課程教學(xué)設(shè)計(jì)研究[J].高等理科教育，2011，(4).

(責(zé)任編輯：李文富)

Study on Mathematics Teachers' Teaching Strategies of Error Correction——Based on Error Handling in Students' Problem Solving

Chen Jian-hua1Wen Qing2

(1.Yangzhou University, Yangzhou, Jiangsu, 225002, China; 2.Chengdu University, Chengdu, Sichuan, 610106, China)

Teacher's discipline knowledge can't automatically produce successful teaching modes and teaching ideas.Without strong subject support,the success of teaching methods and new teaching ideas is impossible.In order to help students study more deeply,university mathematics teachers should accumulate and improve their mathematics teaching knowledge structure,focus on classroom teaching practice,and achieve the pioneering teaching.Through teachers' different teaching to students' incorrect answers, we can observe teachers' teaching ability of error correction.By means of the knowledge package involved with teaching content, this article discusses the depth and width of teachers' teaching content knowledge,their influence on teaching, and mathematics teachers' error correction strategies.

mathematics teachers;teaching strategies of error correction;matrices;zero factor;rank;systems of linear equations;knowledge

2014-03-09

揚(yáng)州大學(xué)教改課題“基于數(shù)學(xué)理解的線性代數(shù)課程教學(xué)實(shí)踐研究”(YZUJX2012-46B)。

陳建華(1963—)，男，揚(yáng)州大學(xué)副教授，碩士生導(dǎo)師。研究方向：線性代數(shù)。

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1674-6120(2014)06-0049-05