張?jiān)隽?/p>

摘要：在高中數(shù)學(xué)教學(xué)中，解決排列組合問(wèn)題，首先要認(rèn)真審題，弄清楚是排列問(wèn)題、組合問(wèn)題還是排列與組合綜合問(wèn)題；其次要抓住問(wèn)題的本質(zhì)特征，采用合理恰當(dāng)?shù)姆椒▉?lái)處理。

關(guān)鍵詞：高中數(shù)學(xué)；排列組合；解題方法中圖分類號(hào)：G633.6文獻(xiàn)標(biāo)識(shí)碼：B文章編號(hào)：1672-1578（2014）18-0201-01排列組合問(wèn)題聯(lián)系實(shí)際生動(dòng)有趣，但題型多樣，思路靈活，是學(xué)生學(xué)習(xí)的一個(gè)難點(diǎn)問(wèn)題。解決排列組合問(wèn)題，首先要認(rèn)真審題，弄清楚是排列問(wèn)題、組合問(wèn)題還是排列與組合綜合問(wèn)題；其次要抓住問(wèn)題的本質(zhì)特征，采用合理恰當(dāng)?shù)姆椒▉?lái)處理。本文就高中數(shù)學(xué)中解決排列組合問(wèn)題的常用方法做一簡(jiǎn)單總結(jié)：

1.特殊元素和特殊位置優(yōu)先法

例1.由0,1,2,3,4,5可以組成多少個(gè)沒(méi)有重復(fù)數(shù)字五位奇數(shù).解:由于末位和首位有特殊要求,應(yīng)該優(yōu)先安排,以免不合要求的元素占了這兩個(gè)位置.

先排末位共有C13

然后排首位共有C14

最后排其它位置共有A34

由分步計(jì)數(shù)原理得C14C13C34=288

方法總結(jié)：位置分析法和元素分析法是解決排列組合問(wèn)題最常用也是最基本的方法,若以元素分析為主,需先安排特殊元素,再處理其它元素.若以位置分析為主,需先滿足特殊位置的要求,再處理其它位置。若有多個(gè)約束條件，往往是考慮一個(gè)約束條件的同時(shí)還要兼顧其它條件。

2.相鄰元素捆綁法

例2. 7人站成一排 ,其中甲乙相鄰且丙丁相鄰, 共有多少種不同的排法.

解：可先將甲乙兩元素捆綁成整體并看成一個(gè)復(fù)合元素，同時(shí)丙丁也看成一個(gè)復(fù)合元素，再與其它元素進(jìn)行排列，同時(shí)對(duì)相鄰元素內(nèi)部進(jìn)行自排。由分步計(jì)數(shù)原理可得共有A55A22A22=480種不同的排法

方法總結(jié)：要求某幾個(gè)元素必須排在一起的問(wèn)題,可以用捆綁法來(lái)解決問(wèn)題.即將需要相鄰的元素合并為一個(gè)元素,再與其它元素一起作排列,同時(shí)要注意合并元素內(nèi)部也必須排列.

3.不相鄰問(wèn)題插空法

一個(gè)晚會(huì)的節(jié)目有4個(gè)舞蹈,2個(gè)相聲,3個(gè)獨(dú)唱,舞蹈節(jié)目不能連續(xù)出場(chǎng),則節(jié)目的出場(chǎng)順序有多少種？

解:分兩步進(jìn)行第一步排2個(gè)相聲和3個(gè)獨(dú)唱共有A55種，第二步將4舞蹈插入第一步排好的6個(gè)元素中間包含首尾兩個(gè)空位共有種A46不同的方法,由分步計(jì)數(shù)原理,節(jié)目的不同順序共有A55A46種

元素相離問(wèn)題可先把沒(méi)有位置要求的元素進(jìn)行排隊(duì)再把不相鄰元素插入中間和兩端

4.定序問(wèn)題縮倍法

在排列問(wèn)題中限制某幾個(gè)元素必須保持一定順序，可用縮小倍數(shù)的方法．

例3A、B、C、D、E五個(gè)人并排站成一排，如果 B必須站A的右邊(A、B可不相鄰)，那么不同的排法種數(shù)有。

分析：B在A的右邊與B在A的左邊排法數(shù)相同，所以題設(shè)的排法只是5個(gè)元素全排列數(shù)的一半，即12A55=60種。

方法總結(jié)：一些不易理解的排列組合題如果能轉(zhuǎn)化為非常熟悉的模型，如占位填空模型，排隊(duì)模型，裝盒模型等，可使問(wèn)題直觀解決。

5.重排問(wèn)題求冪法

例5.把6名實(shí)習(xí)生分配到7個(gè)車(chē)間實(shí)習(xí),共有多少種不同的分法

解:完成此事共分六步:把第一名實(shí)習(xí)生分配到車(chē)間有7種分法.把第二名實(shí)習(xí)生分配到車(chē)間也有7種分依此類推,由分步計(jì)數(shù)原理共有76種不同的排法。

方法總結(jié)：允許重復(fù)的排列問(wèn)題的特點(diǎn)是以元素為研究對(duì)象，元素不受位置的約束，可以逐一安排各個(gè)元素的位置，一般地n不同的元素沒(méi)有限制地安排在m個(gè)位置上的排列數(shù)為mn種

6.多排問(wèn)題直排法

例6.8人排成前后兩排,每排4人,其中甲乙在前排,丙在后排,共有多少排法

解:8人排前后兩排,相當(dāng)于8人坐8把椅子,可以把椅子排成一排.個(gè)特殊元素有A24種,再排后4個(gè)位置上的特殊元素丙有A14種,其余的5人在5個(gè)位置上任意排列有A55種,則共有A24A14A55種

一般地,元素分成多排的排列問(wèn)題,可歸結(jié)為一排考慮,再分段研

7.排列組合混合問(wèn)題先選后排法

例7.有5個(gè)不同的小球,裝入4個(gè)不同的盒內(nèi),每盒至少裝一個(gè)球,共有多少不同的裝法.

解:第一步從5個(gè)球中選出2個(gè)組成復(fù)合元共有C25種方法.再把4個(gè)元素(包含一個(gè)復(fù)合元素)裝入4個(gè)不同的盒內(nèi)有A44種方法，根據(jù)分步計(jì)數(shù)原理裝球的方法共有C25A44

解決排列組合混合問(wèn)題,先選后排是最基本的指導(dǎo)思想.此法與相鄰元素捆綁策略相似嗎?

8.元素相同問(wèn)題隔板法

例8.有10個(gè)運(yùn)動(dòng)員名額，分給7個(gè)班，每班至少一個(gè),有多少種分配方案？

解：因?yàn)?0個(gè)名額沒(méi)有差別，把它們排成一排。相鄰名額之間形成９個(gè)空隙。在９個(gè)空檔中選６個(gè)位置插個(gè)隔板，可把名額分成７份，對(duì)應(yīng)地分給７個(gè)班級(jí)，每一種插板方法對(duì)應(yīng)一種分法共有C69種分法。

方法總結(jié)：將n個(gè)相同的元素分成m份（n，m為正整數(shù)）,每份至少一個(gè)元素,可以用m-1塊隔板，插入n個(gè)元素排成一排的n-1個(gè)空隙中，所有分法數(shù)為Cm-1n-1。

9.正難則反總體淘汰法

例9.從0,1,2,3,4,5,6,7,8,9這十個(gè)數(shù)字中取出三個(gè)數(shù)，使其和為不小于10的偶數(shù),不同的取法有多少種？

解：這問(wèn)題中如果直接求不小于10的偶數(shù)很困難,可用總體淘汰法。這十個(gè)數(shù)字中有5個(gè)偶數(shù)5個(gè)奇數(shù),所取的三個(gè)數(shù)含有3個(gè)偶數(shù)的取法有C35,只含有1個(gè)偶數(shù)的取法有C15C25,和為偶數(shù)的取法共有C15C25+C35。再淘汰和小于10的偶數(shù)共9種，符合條件的取法共有C15C25+C35-9

方法總結(jié)：解含有約束條件的排列組合問(wèn)題，可按元素的性質(zhì)進(jìn)行分類，按事件發(fā)生的連續(xù)過(guò)程分步，做到標(biāo)準(zhǔn)明確。分步層次清楚，不重不漏，分類標(biāo)準(zhǔn)一旦確定要貫穿于解題過(guò)程的始終。