思維的深刻性是指思維活動(dòng)的抽象程度和邏輯水平以及思維活動(dòng)的深度.思維的深刻性集中的表現(xiàn)為能深刻地理解概念，在思維過(guò)程中有較高的邏輯水平，能預(yù)見(jiàn)事物的發(fā)展過(guò)程.思維的深刻性是一切思維品質(zhì)的基礎(chǔ)，是數(shù)學(xué)思維品質(zhì)的重要內(nèi)容.

在傳統(tǒng)的教學(xué)中，比較重視思考問(wèn)題、解決問(wèn)題這兩個(gè)中間環(huán)節(jié)，這對(duì)培養(yǎng)思維品質(zhì)來(lái)說(shuō)是不夠全面的，長(zhǎng)此以往，會(huì)導(dǎo)致思維的膚淺性.因此數(shù)學(xué)教學(xué)中，除了傳授知識(shí)和方法外，培養(yǎng)學(xué)生的思維能力和思維品質(zhì)是不可忽視的重要內(nèi)容.本文就思維深刻性的培養(yǎng)途徑作一些粗淺的探討。1 在概念的形成過(guò)程中培養(yǎng)思維的深刻性

概念是理性認(rèn)識(shí)的一種最基本形式，正確地認(rèn)識(shí)概念是一切科學(xué)思維的基礎(chǔ).概念本身的形成反映人們對(duì)現(xiàn)實(shí)世界豐富而深刻的認(rèn)識(shí)，因此應(yīng)讓學(xué)生親自經(jīng)歷由具體到抽象，概括出事物本質(zhì)屬性的過(guò)程，從而提高思維的抽象水平.

例如，在講解“二面角”這一節(jié)時(shí)，教師可先不直接給學(xué)生講二面角的平面角的定義，而是讓學(xué)生參與這一概念形成的過(guò)程.首先復(fù)習(xí)平面幾何中角的概念，通過(guò)類比引出二面角的概念，并用二面角實(shí)物的張合，讓學(xué)生從直觀上體會(huì)二面角的大小.然后向?qū)W生提出：如何度量二面角的大小？接著利用二面角的模型和可活動(dòng)的角的模型，通過(guò)演示讓學(xué)生看到：在不規(guī)定度量方法的情況下，二面角的大小就無(wú)法確定.這時(shí)引導(dǎo)學(xué)生討論：如何規(guī)定一個(gè)簡(jiǎn)明且便于應(yīng)用的量法，使二面角的大小能完全確定下來(lái)？經(jīng)過(guò)醞釀?dòng)懻摚瑢W(xué)生可以想出：在二面角α—a—β的棱a上任取一點(diǎn)O，在平面α和β內(nèi)分別引垂直于棱a的兩條射線OA、OB，用∠AOB來(lái)度量二面角的大小.接著再引導(dǎo)學(xué)生討論：O點(diǎn)是棱上任意一點(diǎn)行嗎？∠AOB能唯一確定嗎？于是學(xué)生轉(zhuǎn)向證明∠AOB與O點(diǎn)在棱上的位置無(wú)關(guān).這樣就自然而然地引入“二面角的平面角”的定義。2 在深化概念教學(xué)中培養(yǎng)思維的深刻性

在深化數(shù)學(xué)概念教學(xué)時(shí)，引導(dǎo)學(xué)生善于抓住概念的本質(zhì)深入地思考，深刻地理解概念.在揭示概念的內(nèi)涵與外延的過(guò)程中，透過(guò)現(xiàn)象看本質(zhì)，進(jìn)行深刻思考，從而達(dá)到培養(yǎng)思維深刻性的目的.

例如，在雙曲線概念的教學(xué)中，當(dāng)?shù)贸鲭p曲線定義：“平面內(nèi)與兩定點(diǎn)F1、F2的距離的差的絕對(duì)值是常數(shù)（小于|F1F2|）的點(diǎn)的軌跡叫做雙曲線”以后，再通過(guò)實(shí)驗(yàn)演示，作如下引伸：

（1）將“小于|F1F2|”換為“等于|F1F2|”，其余不變，點(diǎn)的軌跡是什么？通過(guò)演示后，發(fā)現(xiàn)點(diǎn)的軌跡不是雙曲線，而是分別以F1、F2為端點(diǎn)的兩條射線.

（2）將“小于|F1F2|”換為“大于|F1F2|”，其余不變，點(diǎn)的軌跡是什么？通過(guò)演示后，發(fā)現(xiàn)點(diǎn)的軌跡不存在.

（3）將絕對(duì)值去掉，其余不變，點(diǎn)的軌跡是什么？通過(guò)演示后，發(fā)現(xiàn)點(diǎn)的軌跡只有一支，即左支或右支.

（4）若令常數(shù)等于零，其余不變，點(diǎn)的軌跡又是什么？通過(guò)演示，學(xué)生也不難得出點(diǎn)的軌跡是線段|F1F2|的中垂線.這樣使學(xué)生認(rèn)識(shí)了常數(shù)應(yīng)大于零.

（5）將“小于|F1F2|”去掉，其余不變，應(yīng)如何討論點(diǎn)的軌跡？通過(guò)以上分析的結(jié)果，共分三類：即小于|F1F2|，大于|F1F2|，等于|F1F2|分別討論.通過(guò)上述幾個(gè)問(wèn)題的引申，使學(xué)生對(duì)雙曲線定義中的“絕對(duì)值”，“常數(shù)小于|F1F2|”有了較深刻的認(rèn)識(shí)和理解，從而培養(yǎng)了思維的深刻性。3 在變式教學(xué)中培養(yǎng)思維的深刻性

在數(shù)學(xué)復(fù)習(xí)中，教師要引導(dǎo)學(xué)生在夯實(shí)“雙基”的前提下，從范例出發(fā)適當(dāng)進(jìn)行變式教學(xué)，多方位探討，深入鉆研，使學(xué)生的思維得到進(jìn)一步發(fā)展.圖1例1 如圖1，三棱錐D—ABC中，二面角B—AD—C是直二面角，DB⊥底面ABC，求證：△ABC是直角三角形.

學(xué)生解出后，引導(dǎo)學(xué)生進(jìn)行以下思考：

（1）求證：二面角B—AD—C為直二面角的主要條件是點(diǎn)A在以BC為直徑的圓上（除去點(diǎn)B，C）.

（2）由點(diǎn)C引出三條射線CA、CB、CD，CA、CB確定平面α，CB、CD確定平面β，且α⊥β，若作平面ABD⊥CA，則△ABC的形狀是；作平面ABD⊥CD，則△ABD的形狀是；將以上事實(shí)歸納成命題，并給出證明.

（3）在圖1中，點(diǎn)A在以BC為直徑的圓O上，DB⊥平面ABC，BE⊥AD，BF⊥CD.E、F分別為垂足.①求證：AD⊥平面BEF.

②若∠ABC=∠DCB=45°，求二面角A—CD—B的大小.③若DB=BC=2，∠ADC=θ，求當(dāng)θ為何值時(shí)，S△BEF最大？最大值是多少？④若∠ABC=α，二面角A—DC—B為β，∠BCD=30°，點(diǎn)A位于何處時(shí)三棱錐D—ABC體積最大？

通過(guò)例1，引出思考（1），旨在訓(xùn)練學(xué)生的逆向思維；引出思考（2），引導(dǎo)學(xué)生通過(guò)分析各種情況，認(rèn)識(shí)事物本質(zhì)，從而深入地研究問(wèn)題；引出思考（3），既復(fù)習(xí)了較多的立幾知識(shí)，又開(kāi)拓了學(xué)生的思路，從而培養(yǎng)思維的深刻性。4 在思維評(píng)價(jià)過(guò)程中培養(yǎng)思維的深刻性

思維評(píng)價(jià)活動(dòng)是思維活動(dòng)達(dá)到一定的廣度、深度時(shí)的一種思維活動(dòng).通過(guò)解題過(guò)程中的思維評(píng)價(jià)活動(dòng)，能預(yù)見(jiàn)解題過(guò)程的進(jìn)程，明確每種思維方式各自存在的思維障礙及思維轉(zhuǎn)換方法，取得解題的主動(dòng)權(quán)，優(yōu)化解題方法.解題過(guò)程中開(kāi)展思維評(píng)價(jià)活動(dòng)，同樣也有助于思維深刻性的培養(yǎng).

例2 如圖2，設(shè)∠MOx=∠NOy=π3，A、B分別是OM、ON上的動(dòng)點(diǎn)，且滿足|AB|=4，設(shè)Q為AB上一點(diǎn)，且有BQ∶QA=3∶1，試求點(diǎn)Q到x軸距離的最大值和最小值.

圖2本題即求Q點(diǎn)縱坐標(biāo)的最值，基本思路是建立目標(biāo)函數(shù)，然后求最值.利用定比分點(diǎn)公式建立目標(biāo)函數(shù)時(shí)需用A、B點(diǎn)的坐標(biāo)，對(duì)于這兩點(diǎn)的坐標(biāo)可以設(shè)AB的直線方程，通過(guò)解方程組得到，也可以直接用參數(shù)表示.及時(shí)進(jìn)行思維評(píng)價(jià)，使我們選擇后者.在用參數(shù)表示A、B坐標(biāo)時(shí)，既可以用A、B點(diǎn)的橫坐標(biāo)作參數(shù)，也可以用|OA|、|OB|的值作參數(shù)，顯然用|OA|、|OB|的值作參數(shù)和題意聯(lián)系更直接.因此

設(shè)|OA|=a，|OB|=b，a，b∈[0，4]

則A、B的坐標(biāo)分別為（a2，3a2），（-3b2，b2）且有a2+b2=16，

由定比分點(diǎn)公式得yQ=18（b+33a）.

在求yQ最值時(shí)，可以沿下列方向進(jìn)行聯(lián)想：

聯(lián)想1 yQ是關(guān)于a、b的二元函數(shù)，設(shè)法轉(zhuǎn)化成一元函數(shù).根據(jù)a、b之間的關(guān)系依靠三角代換解決.

令a=4cosθ，b=4sinθ，θ∈[0，π2]，

所以yQ=12（sinθ+33cosθ）=7sin（θ+φ），

其中cosφ=127，sinφ=3327，由φ≤θ+φ≤π2+φ，解得12≤yQ≤7.

聯(lián)想2 a2+b2=16，a，b∈[0，4]，在aOb坐標(biāo)平面內(nèi)表示四分之一圓周，將目標(biāo)函數(shù)改寫(xiě)成b=-33a+3y，則表示斜率為-33的平行直線系.那么問(wèn)題轉(zhuǎn)化為求與14圓周有公共點(diǎn)的直線系中在b軸上截距的最值，顯然相切時(shí)，截距3y最大，過(guò)（0，4）點(diǎn)時(shí)，3y最小，產(chǎn)生了本題的幾何解法.

聯(lián)想3 聯(lián)想到熟知的習(xí)題，定長(zhǎng)線段上的定點(diǎn)，當(dāng)線段兩端在直角邊上滑動(dòng)是，定點(diǎn)軌跡是橢圓.因此Q點(diǎn)的軌跡是以O(shè)為中心、長(zhǎng)短軸分別在OM、ON上的橢圓（夾在直角MON內(nèi)的部分）.所以短軸端點(diǎn)C到x軸距離最小，平行于x軸的切線的切點(diǎn)T到x軸距離最大，由此產(chǎn)生第三種解法.

聯(lián)想4 視yQ=18（b+33a），a2+b2=16，為關(guān)于a、b的方程，消去b得7a2-123ya+16y2-4=0，a∈[0，4].

聯(lián)想一元二次方程在指定區(qū)間上有解的條件又得一種解法.

上述幾種聯(lián)想引出的解法中，解法1是化二元函數(shù)為一元函數(shù)的常用方法，有一般指導(dǎo)意義.解法2充分利用條件的幾何意義，通過(guò)數(shù)形轉(zhuǎn)化，得到一種直觀、簡(jiǎn)潔的解法.解法3是建立在聯(lián)想已有習(xí)題結(jié)論的基礎(chǔ)上，雖然直觀，但缺乏普遍性.解法4也是求條件最值中的常用方法，由于受a∈[0，4]的制約，因此不是簡(jiǎn)單的使用“Δ法”，在這里顯得比其它解法困難.充分展開(kāi)聯(lián)想，才能拓寬解題思路.及時(shí)評(píng)價(jià)每種聯(lián)想引出的方法，既能優(yōu)化解題過(guò)程又有利于加深對(duì)有關(guān)數(shù)學(xué)知識(shí)和方法的理解，使思維能力向更高層次發(fā)展。5 在對(duì)命題隱含條件的發(fā)掘和揭示中培養(yǎng)思維的深刻性

在數(shù)學(xué)命題中，有很多命題的數(shù)量關(guān)系與空間形式都隱藏在已知條件和結(jié)論中，往往需要對(duì)問(wèn)題的深入分析和深刻理解才能發(fā)現(xiàn)，因此，對(duì)隱含條件的發(fā)掘同樣也是培養(yǎng)學(xué)生思維深刻性的一種手段.

例3 已知定義域?yàn)檎龑?shí)數(shù)集的函數(shù)f（x）為遞減函數(shù)，且滿足（1）f（12）=1.（2）f（xy）=f（x）+f（y）.求不等式f（-x）+f（3-x）≥-2的解集.仔細(xì)觀察和分析已知條件，就會(huì)發(fā)現(xiàn)隱含條件f（1）=0和f（x）=-f（1x），由隱含條件得出f（4）=-f（14）=-[f（12）+f（12）]=-2，再根據(jù)定義域的隱含條件-x>0，且3-x>0，就能很快得出解集{x|-1≤x<0}。

6 在歸納問(wèn)題的一般規(guī)律中培養(yǎng)思維的深刻性

中學(xué)課本中，有不少例題、習(xí)題往往是某一問(wèn)題的特例，這就為培養(yǎng)思維深刻性提供了方便，因此教學(xué)中，積極引導(dǎo)學(xué)生廣泛聯(lián)想，對(duì)這些特例作適當(dāng)引伸、探索，揭示問(wèn)題的一般規(guī)律，總結(jié)一般方法.使學(xué)生養(yǎng)成解題后再思考的習(xí)慣，逐步增強(qiáng)由特殊到一般的抽象概括能力，從而培養(yǎng)思維的深刻性.

例如，在講二項(xiàng)式定理時(shí)，可以從（x+a）2，（x+a）3，（x+a）4的展開(kāi)式講起，讓學(xué)生體會(huì)到隨著n的增加，（x+a）n的展開(kāi)式將越來(lái)越復(fù)雜，

因此有必要研究展開(kāi)式的規(guī)律性，繼而引導(dǎo)學(xué)生從特殊到一般，由具體到抽象，自己探索發(fā)現(xiàn)（x+a）n的展開(kāi)式的規(guī)律.又如，有一道競(jìng)賽題：“將正整數(shù)19分解成若干個(gè)正整數(shù)的和，使這些正整數(shù)的積最大”，做完這道題后，引導(dǎo)學(xué)生由特殊到一般，分析研究分解的規(guī)律，進(jìn)而解決“將任意一個(gè)正整數(shù)n分解為若干個(gè)正整數(shù)的和，使其積最大”的問(wèn)題.

培養(yǎng)思維的深刻性是數(shù)學(xué)教學(xué)的一項(xiàng)重要任務(wù)，必須落實(shí)到教學(xué)的各個(gè)環(huán)節(jié)中，長(zhǎng)期堅(jiān)持，積極探索.思維深刻性的培養(yǎng)還必須和其它思維品質(zhì)的培養(yǎng)有機(jī)地結(jié)合起來(lái)，才能形成良好的思維品質(zhì).

作者簡(jiǎn)介 盧學(xué)謙，男，1966年8月生，中學(xué)高級(jí)教師.1998年12月被泰安市委市政府授予泰安市跨世紀(jì)優(yōu)秀青年科技人才稱號(hào)； 2008年6月被泰安市委授予“泰安市優(yōu)秀共產(chǎn)黨員”稱號(hào)； 2013年10月被中國(guó)數(shù)學(xué)會(huì)授予全國(guó)高中數(shù)學(xué)聯(lián)合競(jìng)賽優(yōu)秀教練員稱號(hào)；2014年被評(píng)為全國(guó)優(yōu)秀教師.

設(shè)|OA|=a，|OB|=b，a，b∈[0，4]

則A、B的坐標(biāo)分別為（a2，3a2），（-3b2，b2）且有a2+b2=16，

由定比分點(diǎn)公式得yQ=18（b+33a）.

在求yQ最值時(shí)，可以沿下列方向進(jìn)行聯(lián)想：

聯(lián)想1 yQ是關(guān)于a、b的二元函數(shù)，設(shè)法轉(zhuǎn)化成一元函數(shù).根據(jù)a、b之間的關(guān)系依靠三角代換解決.

令a=4cosθ，b=4sinθ，θ∈[0，π2]，

所以yQ=12（sinθ+33cosθ）=7sin（θ+φ），

其中cosφ=127，sinφ=3327，由φ≤θ+φ≤π2+φ，解得12≤yQ≤7.

聯(lián)想2 a2+b2=16，a，b∈[0，4]，在aOb坐標(biāo)平面內(nèi)表示四分之一圓周，將目標(biāo)函數(shù)改寫(xiě)成b=-33a+3y，則表示斜率為-33的平行直線系.那么問(wèn)題轉(zhuǎn)化為求與14圓周有公共點(diǎn)的直線系中在b軸上截距的最值，顯然相切時(shí)，截距3y最大，過(guò)（0，4）點(diǎn)時(shí)，3y最小，產(chǎn)生了本題的幾何解法.

聯(lián)想3 聯(lián)想到熟知的習(xí)題，定長(zhǎng)線段上的定點(diǎn)，當(dāng)線段兩端在直角邊上滑動(dòng)是，定點(diǎn)軌跡是橢圓.因此Q點(diǎn)的軌跡是以O(shè)為中心、長(zhǎng)短軸分別在OM、ON上的橢圓（夾在直角MON內(nèi)的部分）.所以短軸端點(diǎn)C到x軸距離最小，平行于x軸的切線的切點(diǎn)T到x軸距離最大，由此產(chǎn)生第三種解法.

聯(lián)想4 視yQ=18（b+33a），a2+b2=16，為關(guān)于a、b的方程，消去b得7a2-123ya+16y2-4=0，a∈[0，4].

聯(lián)想一元二次方程在指定區(qū)間上有解的條件又得一種解法.

上述幾種聯(lián)想引出的解法中，解法1是化二元函數(shù)為一元函數(shù)的常用方法，有一般指導(dǎo)意義.解法2充分利用條件的幾何意義，通過(guò)數(shù)形轉(zhuǎn)化，得到一種直觀、簡(jiǎn)潔的解法.解法3是建立在聯(lián)想已有習(xí)題結(jié)論的基礎(chǔ)上，雖然直觀，但缺乏普遍性.解法4也是求條件最值中的常用方法，由于受a∈[0，4]的制約，因此不是簡(jiǎn)單的使用“Δ法”，在這里顯得比其它解法困難.充分展開(kāi)聯(lián)想，才能拓寬解題思路.及時(shí)評(píng)價(jià)每種聯(lián)想引出的方法，既能優(yōu)化解題過(guò)程又有利于加深對(duì)有關(guān)數(shù)學(xué)知識(shí)和方法的理解，使思維能力向更高層次發(fā)展。5 在對(duì)命題隱含條件的發(fā)掘和揭示中培養(yǎng)思維的深刻性

在數(shù)學(xué)命題中，有很多命題的數(shù)量關(guān)系與空間形式都隱藏在已知條件和結(jié)論中，往往需要對(duì)問(wèn)題的深入分析和深刻理解才能發(fā)現(xiàn)，因此，對(duì)隱含條件的發(fā)掘同樣也是培養(yǎng)學(xué)生思維深刻性的一種手段.

例3 已知定義域?yàn)檎龑?shí)數(shù)集的函數(shù)f（x）為遞減函數(shù)，且滿足（1）f（12）=1.（2）f（xy）=f（x）+f（y）.求不等式f（-x）+f（3-x）≥-2的解集.仔細(xì)觀察和分析已知條件，就會(huì)發(fā)現(xiàn)隱含條件f（1）=0和f（x）=-f（1x），由隱含條件得出f（4）=-f（14）=-[f（12）+f（12）]=-2，再根據(jù)定義域的隱含條件-x>0，且3-x>0，就能很快得出解集{x|-1≤x<0}。

6 在歸納問(wèn)題的一般規(guī)律中培養(yǎng)思維的深刻性

中學(xué)課本中，有不少例題、習(xí)題往往是某一問(wèn)題的特例，這就為培養(yǎng)思維深刻性提供了方便，因此教學(xué)中，積極引導(dǎo)學(xué)生廣泛聯(lián)想，對(duì)這些特例作適當(dāng)引伸、探索，揭示問(wèn)題的一般規(guī)律，總結(jié)一般方法.使學(xué)生養(yǎng)成解題后再思考的習(xí)慣，逐步增強(qiáng)由特殊到一般的抽象概括能力，從而培養(yǎng)思維的深刻性.

例如，在講二項(xiàng)式定理時(shí)，可以從（x+a）2，（x+a）3，（x+a）4的展開(kāi)式講起，讓學(xué)生體會(huì)到隨著n的增加，（x+a）n的展開(kāi)式將越來(lái)越復(fù)雜，

因此有必要研究展開(kāi)式的規(guī)律性，繼而引導(dǎo)學(xué)生從特殊到一般，由具體到抽象，自己探索發(fā)現(xiàn)（x+a）n的展開(kāi)式的規(guī)律.又如，有一道競(jìng)賽題：“將正整數(shù)19分解成若干個(gè)正整數(shù)的和，使這些正整數(shù)的積最大”，做完這道題后，引導(dǎo)學(xué)生由特殊到一般，分析研究分解的規(guī)律，進(jìn)而解決“將任意一個(gè)正整數(shù)n分解為若干個(gè)正整數(shù)的和，使其積最大”的問(wèn)題.

培養(yǎng)思維的深刻性是數(shù)學(xué)教學(xué)的一項(xiàng)重要任務(wù)，必須落實(shí)到教學(xué)的各個(gè)環(huán)節(jié)中，長(zhǎng)期堅(jiān)持，積極探索.思維深刻性的培養(yǎng)還必須和其它思維品質(zhì)的培養(yǎng)有機(jī)地結(jié)合起來(lái)，才能形成良好的思維品質(zhì).

作者簡(jiǎn)介 盧學(xué)謙，男，1966年8月生，中學(xué)高級(jí)教師.1998年12月被泰安市委市政府授予泰安市跨世紀(jì)優(yōu)秀青年科技人才稱號(hào)； 2008年6月被泰安市委授予“泰安市優(yōu)秀共產(chǎn)黨員”稱號(hào)； 2013年10月被中國(guó)數(shù)學(xué)會(huì)授予全國(guó)高中數(shù)學(xué)聯(lián)合競(jìng)賽優(yōu)秀教練員稱號(hào)；2014年被評(píng)為全國(guó)優(yōu)秀教師.

設(shè)|OA|=a，|OB|=b，a，b∈[0，4]

則A、B的坐標(biāo)分別為（a2，3a2），（-3b2，b2）且有a2+b2=16，

由定比分點(diǎn)公式得yQ=18（b+33a）.

在求yQ最值時(shí)，可以沿下列方向進(jìn)行聯(lián)想：

聯(lián)想1 yQ是關(guān)于a、b的二元函數(shù)，設(shè)法轉(zhuǎn)化成一元函數(shù).根據(jù)a、b之間的關(guān)系依靠三角代換解決.

令a=4cosθ，b=4sinθ，θ∈[0，π2]，

所以yQ=12（sinθ+33cosθ）=7sin（θ+φ），

其中cosφ=127，sinφ=3327，由φ≤θ+φ≤π2+φ，解得12≤yQ≤7.

聯(lián)想2 a2+b2=16，a，b∈[0，4]，在aOb坐標(biāo)平面內(nèi)表示四分之一圓周，將目標(biāo)函數(shù)改寫(xiě)成b=-33a+3y，則表示斜率為-33的平行直線系.那么問(wèn)題轉(zhuǎn)化為求與14圓周有公共點(diǎn)的直線系中在b軸上截距的最值，顯然相切時(shí)，截距3y最大，過(guò)（0，4）點(diǎn)時(shí)，3y最小，產(chǎn)生了本題的幾何解法.

聯(lián)想3 聯(lián)想到熟知的習(xí)題，定長(zhǎng)線段上的定點(diǎn)，當(dāng)線段兩端在直角邊上滑動(dòng)是，定點(diǎn)軌跡是橢圓.因此Q點(diǎn)的軌跡是以O(shè)為中心、長(zhǎng)短軸分別在OM、ON上的橢圓（夾在直角MON內(nèi)的部分）.所以短軸端點(diǎn)C到x軸距離最小，平行于x軸的切線的切點(diǎn)T到x軸距離最大，由此產(chǎn)生第三種解法.

聯(lián)想4 視yQ=18（b+33a），a2+b2=16，為關(guān)于a、b的方程，消去b得7a2-123ya+16y2-4=0，a∈[0，4].

聯(lián)想一元二次方程在指定區(qū)間上有解的條件又得一種解法.

上述幾種聯(lián)想引出的解法中，解法1是化二元函數(shù)為一元函數(shù)的常用方法，有一般指導(dǎo)意義.解法2充分利用條件的幾何意義，通過(guò)數(shù)形轉(zhuǎn)化，得到一種直觀、簡(jiǎn)潔的解法.解法3是建立在聯(lián)想已有習(xí)題結(jié)論的基礎(chǔ)上，雖然直觀，但缺乏普遍性.解法4也是求條件最值中的常用方法，由于受a∈[0，4]的制約，因此不是簡(jiǎn)單的使用“Δ法”，在這里顯得比其它解法困難.充分展開(kāi)聯(lián)想，才能拓寬解題思路.及時(shí)評(píng)價(jià)每種聯(lián)想引出的方法，既能優(yōu)化解題過(guò)程又有利于加深對(duì)有關(guān)數(shù)學(xué)知識(shí)和方法的理解，使思維能力向更高層次發(fā)展。5 在對(duì)命題隱含條件的發(fā)掘和揭示中培養(yǎng)思維的深刻性

在數(shù)學(xué)命題中，有很多命題的數(shù)量關(guān)系與空間形式都隱藏在已知條件和結(jié)論中，往往需要對(duì)問(wèn)題的深入分析和深刻理解才能發(fā)現(xiàn)，因此，對(duì)隱含條件的發(fā)掘同樣也是培養(yǎng)學(xué)生思維深刻性的一種手段.

例3 已知定義域?yàn)檎龑?shí)數(shù)集的函數(shù)f（x）為遞減函數(shù)，且滿足（1）f（12）=1.（2）f（xy）=f（x）+f（y）.求不等式f（-x）+f（3-x）≥-2的解集.仔細(xì)觀察和分析已知條件，就會(huì)發(fā)現(xiàn)隱含條件f（1）=0和f（x）=-f（1x），由隱含條件得出f（4）=-f（14）=-[f（12）+f（12）]=-2，再根據(jù)定義域的隱含條件-x>0，且3-x>0，就能很快得出解集{x|-1≤x<0}。

6 在歸納問(wèn)題的一般規(guī)律中培養(yǎng)思維的深刻性

中學(xué)課本中，有不少例題、習(xí)題往往是某一問(wèn)題的特例，這就為培養(yǎng)思維深刻性提供了方便，因此教學(xué)中，積極引導(dǎo)學(xué)生廣泛聯(lián)想，對(duì)這些特例作適當(dāng)引伸、探索，揭示問(wèn)題的一般規(guī)律，總結(jié)一般方法.使學(xué)生養(yǎng)成解題后再思考的習(xí)慣，逐步增強(qiáng)由特殊到一般的抽象概括能力，從而培養(yǎng)思維的深刻性.

例如，在講二項(xiàng)式定理時(shí)，可以從（x+a）2，（x+a）3，（x+a）4的展開(kāi)式講起，讓學(xué)生體會(huì)到隨著n的增加，（x+a）n的展開(kāi)式將越來(lái)越復(fù)雜，

因此有必要研究展開(kāi)式的規(guī)律性，繼而引導(dǎo)學(xué)生從特殊到一般，由具體到抽象，自己探索發(fā)現(xiàn)（x+a）n的展開(kāi)式的規(guī)律.又如，有一道競(jìng)賽題：“將正整數(shù)19分解成若干個(gè)正整數(shù)的和，使這些正整數(shù)的積最大”，做完這道題后，引導(dǎo)學(xué)生由特殊到一般，分析研究分解的規(guī)律，進(jìn)而解決“將任意一個(gè)正整數(shù)n分解為若干個(gè)正整數(shù)的和，使其積最大”的問(wèn)題.

培養(yǎng)思維的深刻性是數(shù)學(xué)教學(xué)的一項(xiàng)重要任務(wù)，必須落實(shí)到教學(xué)的各個(gè)環(huán)節(jié)中，長(zhǎng)期堅(jiān)持，積極探索.思維深刻性的培養(yǎng)還必須和其它思維品質(zhì)的培養(yǎng)有機(jī)地結(jié)合起來(lái)，才能形成良好的思維品質(zhì).

作者簡(jiǎn)介 盧學(xué)謙，男，1966年8月生，中學(xué)高級(jí)教師.1998年12月被泰安市委市政府授予泰安市跨世紀(jì)優(yōu)秀青年科技人才稱號(hào)； 2008年6月被泰安市委授予“泰安市優(yōu)秀共產(chǎn)黨員”稱號(hào)； 2013年10月被中國(guó)數(shù)學(xué)會(huì)授予全國(guó)高中數(shù)學(xué)聯(lián)合競(jìng)賽優(yōu)秀教練員稱號(hào)；2014年被評(píng)為全國(guó)優(yōu)秀教師.