徐成祥

[摘 要] 不同的解題指導(dǎo)思想會產(chǎn)生不同的解題效果. 教師注重反思解題思路，可以培養(yǎng)思維的開闊性；反思解題途徑可以培養(yǎng)學(xué)生思維的批判性；反思題的結(jié)論可以培養(yǎng)學(xué)生思維的創(chuàng)造性.

[關(guān)鍵詞] 數(shù)學(xué)課堂；問題解決；教學(xué)策略；探究與反思

問題解決屬于數(shù)學(xué)教學(xué)的主要構(gòu)件，如今已經(jīng)越來越多地被運(yùn)用到數(shù)學(xué)教學(xué)中. 解題教學(xué)反思對學(xué)生正確解答數(shù)學(xué)題具有良好的指導(dǎo)作用，并在數(shù)學(xué)教學(xué)中已經(jīng)取得了一定的效果. 教師在教學(xué)中有意識地向?qū)W生灌輸反思與探究思想，讓學(xué)生學(xué)會對各類問題進(jìn)行反思，這樣就能有效提高教學(xué)效果，提高學(xué)生的數(shù)學(xué)成績，提升學(xué)生的思維水平和探究效果.

數(shù)學(xué)課堂問題解決的價(jià)值判斷

學(xué)生在解題中出現(xiàn)錯(cuò)誤的原因往往有多種，有可能是知識、能力上存在缺陷，有可能是邏輯思維、策略方法導(dǎo)致，還有可能是非智力因素造成. 因而，學(xué)生在完成一道題目之后有必要對解題的正確度做進(jìn)一步思考. 其實(shí)，解題反思就是對問題解答進(jìn)行的一次“再認(rèn)識”過程，是對解題活動(dòng)的深層次再思考，屬于解題活動(dòng)的“元知識”過程.

1. 數(shù)學(xué)反思是糾錯(cuò)的重要手段

反思是數(shù)學(xué)思維活動(dòng)的核心和動(dòng)力，錯(cuò)誤中往往孕育著比正確更豐富的發(fā)現(xiàn)和創(chuàng)造因素. 反思錯(cuò)誤通常需要弄清錯(cuò)誤的根源、出錯(cuò)的原因，總結(jié)哪些地方最容易犯錯(cuò)后，提出正確的解題思路和方法. 反思是糾錯(cuò)的重要手段，不僅能改善學(xué)生的思維能力和習(xí)慣，還能提高學(xué)生的解題能力.

2. 有利于提高學(xué)生的學(xué)習(xí)效率

在如今競爭激烈的升學(xué)壓力下，許多數(shù)學(xué)教師還是會采取“題海戰(zhàn)術(shù)”的教學(xué)模式，認(rèn)為多做習(xí)題能提高學(xué)生的學(xué)習(xí)成績. “題海戰(zhàn)術(shù)”的教學(xué)模式是教師想通過量變影響質(zhì)變，讓學(xué)習(xí)學(xué)會舉一反三、提高解題能力，從而提高數(shù)學(xué)的學(xué)習(xí)效率. 但是，這種模式很容易讓學(xué)生產(chǎn)生疲倦感，從而喪失學(xué)習(xí)興趣. 做得多，思考得少，將無法掌握問題之間的內(nèi)在聯(lián)系，而只有在解決一定量的問題之后，及時(shí)引導(dǎo)學(xué)生對問題進(jìn)行反思，探索出問題的本質(zhì)規(guī)律，才能達(dá)到舉一反三的效果，提高學(xué)習(xí)效率.

3. 有利于幫助學(xué)生形成系統(tǒng)的認(rèn)知結(jié)構(gòu)

反思教學(xué)是一種鞏固和加強(qiáng)知識的有效方法，教師和學(xué)生需要充分認(rèn)識到這一點(diǎn). 在初中數(shù)學(xué)教學(xué)中，學(xué)生除了單純完成正確解題的任務(wù)外，更重要的是需要對所接觸的問題進(jìn)行規(guī)律、方法、經(jīng)驗(yàn)等多方面的反思，并最后轉(zhuǎn)化成最適合自己的解題方式. 學(xué)生一旦養(yǎng)成解題后習(xí)慣性反思的良好習(xí)慣，就能加深對問題的橫向和縱向理解，拓寬知識面，豐富數(shù)學(xué)知識體系.

數(shù)學(xué)課堂問題教學(xué)的策略分析

在初中數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)過程中，一道題目做過很多次，教師也詳細(xì)講解過很多次，但學(xué)生還是會一錯(cuò)再錯(cuò)，這種題目就是我們所說的易錯(cuò)題. 出現(xiàn)這種情況的原因有很多種，有可能是學(xué)生對數(shù)學(xué)概念未弄清，有可能是學(xué)生對數(shù)學(xué)公式無法靈活運(yùn)用，也有可能是審題不清楚. 所以，要想糾正這些易錯(cuò)題，就必須弄清錯(cuò)誤的原因，從而采取相應(yīng)的糾正措施. 不少學(xué)生準(zhǔn)備的“易錯(cuò)習(xí)題本”為這類易錯(cuò)題型的反思提供了很好的素材. 學(xué)生進(jìn)行數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)主要存在以下認(rèn)知偏差.

1. 數(shù)學(xué)概念理解不清楚

要想真正學(xué)好數(shù)學(xué)這門學(xué)科，正確理解數(shù)學(xué)中的各類概念是一大關(guān)鍵. 從目前學(xué)生的學(xué)習(xí)情況來看，大多數(shù)學(xué)生能熟練而正確地將課本中的概念、定理、定義背誦出來，但真正能理解并熟練應(yīng)用這些概念的學(xué)生卻很少. 也正是因?yàn)閷W(xué)生在解題過程中，對相應(yīng)知識的一知半解、考慮不周全，才導(dǎo)致了錯(cuò)誤的產(chǎn)生.

例1 下列說法正確的是（ ）

A. 正數(shù)的相反數(shù)一定是負(fù)數(shù)，正數(shù)與負(fù)數(shù)互為相反數(shù)

B. 因?yàn)檎龜?shù)和零的絕對值是它本身，所以絕對值等于本身的數(shù)是正數(shù)和零

C. 從直線外一點(diǎn)到已知直線的垂線段叫做這一點(diǎn)到已知直線的距離

D. 角是軸對稱圖形，角平分線是它的對稱軸.

錯(cuò)解 A或C或D. 對于A，相反數(shù)不僅要符號相反，還要絕對值相等. 正數(shù)與負(fù)數(shù)雖然符號相反，但不一定能保證絕對值相等. 對于C，距離是指某條線段的長度，垂線段是幾何圖形，它不能作為距離. 對于D，對稱軸是直線，而角平分線是射線，故錯(cuò)誤.

正解 B

反思 在概念教學(xué)中，可通過具體例子使學(xué)生對抽象的概念有一個(gè)具體的感性認(rèn)識. 在此基礎(chǔ)之上，可再舉一些反例，通過暴露錯(cuò)誤，糾正學(xué)生頭腦中的錯(cuò)誤信息，從而得以加深對數(shù)學(xué)概念內(nèi)涵和外延的理解.

2. 題意把握不準(zhǔn)確

很多學(xué)生在學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)時(shí)都會有這樣一種困惑，各種各樣的練習(xí)題做了不少，但是遇到“沒見過”的題目總感覺無從下手，這究竟是什么原因？“沒見過”只是學(xué)生的主觀感覺而已，其實(shí)這些題目在日常訓(xùn)練題中出現(xiàn)過，之所以會感覺無從下手，主要是因?yàn)閷W(xué)生審題不清，對題設(shè)條件理解得不夠深刻，因而無法將題設(shè)條件與曾經(jīng)做過的題目快速有效地聯(lián)系起來，以至于題目稍作修改學(xué)生便感覺無從下手. 可以說，審題就是解題的基礎(chǔ)，是快速而正確解題的前提.

例2 △ABC的兩個(gè)角是70°和60°，而△DEF的兩個(gè)角是70°和50°，問：這兩個(gè)三角形相似嗎？

錯(cuò)解 這兩個(gè)三角形不相似. 學(xué)生乍一看，這兩個(gè)三角形中并沒有對應(yīng)相等的兩個(gè)角，就匆忙定下兩個(gè)三角形不相似的結(jié)論.

正解 這兩個(gè)三角形相似.

反思 正確答案應(yīng)該是兩個(gè)三角形相似，因?yàn)樵谶@個(gè)題目中存在一個(gè)隱含條件“三角形的內(nèi)角和等于180°”，根據(jù)這個(gè)條件我們可以得出△ABC的第三個(gè)角是50°，如此就能得出這兩個(gè)三角形中有兩個(gè)角是對應(yīng)且相等的，因而最后的答案就是這兩個(gè)三角形相似.

3. 新舊知識相互攝制

隨著數(shù)學(xué)知識的展開和深入，學(xué)習(xí)難度會逐漸加大，且數(shù)學(xué)有些新舊知識本身就存在相互干擾的特點(diǎn). 例如，在學(xué)習(xí)有理數(shù)減法這一知識點(diǎn)時(shí)，學(xué)生需要明白的是“減去一個(gè)數(shù)等于加上這個(gè)數(shù)的相反數(shù)”這一定理，所以“2-8”中的“-”代表的是減號，學(xué)生很容易先入為主地將“-”標(biāo)志當(dāng)成減號. 而當(dāng)學(xué)到“代數(shù)和”這一知識點(diǎn)時(shí)，麻煩就來了，“2-8”應(yīng)該被看成是2與負(fù)8之間的總和，在這個(gè)條件下，“-”代表的是負(fù)號. 學(xué)生容易犯錯(cuò)的點(diǎn)，往往就出現(xiàn)在這些看似簡單但細(xì)微的條件變化中. 學(xué)生一旦對“-”所代表的符號產(chǎn)生疑惑，就很容易在計(jì)算中出現(xiàn)運(yùn)算錯(cuò)誤.

4. 運(yùn)算過程不規(guī)范

要想學(xué)好數(shù)學(xué)，離不開精確的計(jì)算，而要想達(dá)到精確的計(jì)算要求，學(xué)生就必須具備良好的運(yùn)算能力. 整式運(yùn)算屬于初中數(shù)學(xué)的一個(gè)重要基礎(chǔ)部分，倘若沒有扎實(shí)的數(shù)學(xué)運(yùn)算能力，就算思維能力再強(qiáng)，數(shù)學(xué)想得高分也十分困難. 導(dǎo)致運(yùn)算不正確的原因有很多，如數(shù)學(xué)基礎(chǔ)知識掌握不夠、不能將所學(xué)知識靈活運(yùn)用到實(shí)際問題中、思維過程不嚴(yán)謹(jǐn)?shù)?，這就會直接影響學(xué)生的學(xué)習(xí)質(zhì)量.

如何通過問題解決培植學(xué)生的

反思能力

1. 善于反思和總結(jié)解題規(guī)律

相同類型的題目，其往往具備一定的解題規(guī)律，當(dāng)教師為學(xué)生講解完一個(gè)問題之后，應(yīng)不失時(shí)機(jī)地引導(dǎo)學(xué)生去反思其解題方法，總結(jié)其中的規(guī)律所在. 這樣一來，在面對相同問題時(shí)就可以采取以往總結(jié)的經(jīng)驗(yàn)來進(jìn)行解答，起到事半功倍的效果，大大提高學(xué)生的解題能力.

例3 觀察下列數(shù)字：0，3，8，15，24…按照這種規(guī)律，請寫出第108個(gè)數(shù).

解答這一題，我們首先應(yīng)找出一般規(guī)律，再依照這個(gè)規(guī)律，計(jì)算出第108個(gè)數(shù). 我們將“0，3，8，15，24…”當(dāng)成“1，2，3，4，5…”序列號來對比分析，很快就會發(fā)現(xiàn)“0，3，8，15，24…”中的每一項(xiàng)等于其“相應(yīng)序號的平分減1”，根據(jù)這個(gè)規(guī)律我們就能得出一個(gè)結(jié)論——“第n項(xiàng)就是n2-1”，而第108項(xiàng)則是1082-1.

2. 掌握“一題多解”的解題技能

一題多解就是從多個(gè)角度和多個(gè)層次上來思考問題的解決. 隨著數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的深入、數(shù)學(xué)知識的積累，解答同一問題的方法也會越來越多. 就拿數(shù)學(xué)公式來說，在理解基本公式內(nèi)涵的基礎(chǔ)上，還可以對公式進(jìn)行適當(dāng)變形，通常一個(gè)公式的等價(jià)變形會有多種形式，學(xué)生在解題時(shí)選擇適合的變形方式后便可提高應(yīng)用公式的效能. 通過增強(qiáng)學(xué)生對多種解題方法的反思意識，能讓學(xué)生的思維觸角擴(kuò)大到更多的方向和層次上，發(fā)散學(xué)生的思維能力，增強(qiáng)學(xué)生靈活運(yùn)用所學(xué)知識解決實(shí)際問題的能力.

例4 一種洗衣機(jī)，現(xiàn)在每臺的價(jià)格是2288元，相比原來，價(jià)格降低了15%. 提問：冰箱原來的價(jià)格是多少？ 假設(shè)每臺洗衣機(jī)的原價(jià)為x.

解法1 可以根據(jù)“原來每臺冰箱的價(jià)格減去每臺降低的價(jià)錢就等于現(xiàn)在每臺的價(jià)錢”來列方程，即x-15%x=2288.

解法2 可以根據(jù)“每臺冰箱降低的價(jià)格除以降低的百分比等于每臺冰箱的原價(jià)”來列方程，即（x-2288）÷15%=x.

解法3 可以根據(jù)“現(xiàn)在每臺冰箱降低的價(jià)格除以原來每臺冰箱的價(jià)格等于降低的百分比”來列方程，即（x-2288）÷x=15%.

解法4 可以根據(jù)“現(xiàn)在每臺冰箱的價(jià)錢等于原來每臺冰箱的價(jià)錢乘以現(xiàn)價(jià)所占原價(jià)的百分比”來列方程，即x×（1-15%）=2288.

3. 培養(yǎng)學(xué)生“多題一解”的能力

數(shù)學(xué)題目是多種多樣、千變?nèi)f化的，加上數(shù)學(xué)本身的知識邏輯性比較強(qiáng)，知識體系之間的銜接十分緊密，所以解答時(shí)常常需要縝密地思考. 數(shù)學(xué)問題中有很多“一題多解”的題目，這種題目往往會有很多種解題方法，雖然形式上可能天差地別，但最終的結(jié)果卻是一樣. 初中數(shù)學(xué)中“一題多解”的題目還是很常見的，若我們能對這種類型的題目進(jìn)行合理反思，就能觀察到知識的內(nèi)在聯(lián)系，在通過巧妙地轉(zhuǎn)化和運(yùn)用之后，可以整理出綜合驗(yàn)證的思路和方法，也就是我們所說的“多題一解”. 相比較“一題多解”，“多題一解”更能體現(xiàn)出核心的理念規(guī)律，通過舉一反三、觸類旁通的方式對多個(gè)問題做綜合的總結(jié)與評價(jià).

切實(shí)反思問題教學(xué)中的關(guān)注點(diǎn)

1. 反思解題的思維過程

數(shù)學(xué)家喬治·波利亞曾經(jīng)針對數(shù)學(xué)解題問題指出過：“數(shù)學(xué)教學(xué)的目的在于培養(yǎng)學(xué)生的思維能力，培養(yǎng)良好思維品質(zhì)的途徑是進(jìn)行有效的訓(xùn)練. ”數(shù)學(xué)解題不僅是對知識的聯(lián)結(jié)，而且是數(shù)學(xué)思想和解題方法進(jìn)行反復(fù)指導(dǎo)與推進(jìn)的過程，所以學(xué)生不僅僅是直接參與解題，更是參與了解題的思維活動(dòng). 學(xué)生做完一道題后進(jìn)行反思，并不是簡單地檢查答案的對錯(cuò)，而應(yīng)依據(jù)題目的基本特征展開多角度、多方位的聯(lián)想，看解答過程是否有錯(cuò)，以及錯(cuò)誤的根源. 若解答正確，則反思還有沒有別的解題思路，最后找出最佳解題方案.

例5 已知關(guān)于x的一元二次方程ax2+bx+c=0，兩根的和為m，兩實(shí)根的平方和為n，提問：an +bn +2c的值是多少？

反思 通?？吹竭@種題目，很多學(xué)生腦海里并沒有一個(gè)清晰的思路. 可能最先想到的是從“根與函數(shù)的關(guān)系”角度著手，雖然最后也能解答出這道題目，但過程比較煩瑣，計(jì)算稍有偏差就會出錯(cuò). 解答這道題目最好的方法就是對題目的已知條件和所求目標(biāo)特征進(jìn)行反思. 仔細(xì)觀察不難發(fā)現(xiàn)，條件“ax2+bx+c=0”與所求目標(biāo)“an+bn+2c”中a，b，c的順序完全一致，唯一不同的一點(diǎn)是，條件中c的系數(shù)是1，而所求目標(biāo)c的系數(shù)是2，從1到2最簡單的算法就是“加法”. 思考到這一步，學(xué)生就能很快領(lǐng)悟此題完全可以從“方程根的定義”著手，這樣更加簡單、方便. 具體解題步驟就不在這里詳細(xì)解答了，總之學(xué)生的思維只要開闊，不僅能輕松學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)，而且能達(dá)到事半功倍的效果.

2. 反思題目結(jié)論，培養(yǎng)學(xué)生思維的創(chuàng)造力

培養(yǎng)學(xué)生的創(chuàng)造力是全世界教育改革的共同方向，而數(shù)學(xué)教學(xué)要想更好地開發(fā)學(xué)生的智力，還需要培養(yǎng)學(xué)生的創(chuàng)造力. 我們這里的針對題目結(jié)論培養(yǎng)創(chuàng)造力，是指在活動(dòng)中用獨(dú)特的方式來展開思維，具體做法就是在解答完一個(gè)題目后，根據(jù)題目結(jié)論，反思從不同的角度出發(fā)能否重新編制出一個(gè)新的題型. 此類題目往往對學(xué)生的綜合能力要求較高，教師可以從簡單的概念性題目著手，循序漸進(jìn)地推進(jìn)，讓學(xué)生根據(jù)課本中的例題和習(xí)題，自己新編題目并進(jìn)行反思，讓他們在體驗(yàn)問題設(shè)計(jì)的過程中感受到學(xué)習(xí)的快樂.