張雪娟

[摘 要] 在初中數(shù)學(xué)教學(xué)過程中，學(xué)生因?yàn)槔斫馄疃鴮?dǎo)致的解題失誤時(shí)有發(fā)生，而將錯(cuò)誤的解題方法運(yùn)用到接下來的課堂，就是本文所要探討的反例教學(xué). 這種教學(xué)方法可以運(yùn)用“錯(cuò)誤”對比的形式使學(xué)生增強(qiáng)問題的認(rèn)識(shí)度，提高課堂效率. 本文在提出反例教學(xué)實(shí)施要點(diǎn)的前提下，舉出了其在概念掌握、解題速度提升等方面發(fā)揮的作用.

[關(guān)鍵詞] 初中數(shù)學(xué)；反例；教學(xué)方法

中國古代哲學(xué)中有以虛補(bǔ)實(shí)、以實(shí)反虛的觀點(diǎn)，認(rèn)為正反兩個(gè)方面的統(tǒng)一性遠(yuǎn)大于對立性，這給我們的初中教學(xué)帶來很好的啟示. 在數(shù)學(xué)教學(xué)過程中，加入反例教學(xué)，實(shí)際上就是用同一事物本來屬性相左的方法，啟迪學(xué)生進(jìn)行深入思考，從而加深正確知識(shí)在頭腦中的印象.

反例教學(xué)實(shí)施要點(diǎn)

任何教學(xué)方法的應(yīng)用都應(yīng)注意其要點(diǎn)，以避免出現(xiàn)空有其名而失其實(shí)的尷尬狀態(tài). 就反例教學(xué)來說，首先要注意引入的合理性，要按照學(xué)生年齡、心理等特點(diǎn)，針對學(xué)生知識(shí)結(jié)構(gòu)體系不健全、思維局限等現(xiàn)狀，選擇那些切實(shí)可行的內(nèi)容進(jìn)行研究. 其次，反例教學(xué)的構(gòu)建尤為關(guān)鍵，在很多時(shí)候，反例構(gòu)建方法并不唯一，教師有責(zé)任調(diào)動(dòng)學(xué)生的數(shù)學(xué)功底，使其充分展開想象. 比如，當(dāng)講解到與實(shí)數(shù)有關(guān)的內(nèi)容時(shí)，教師可以給出思考問題：兩個(gè)無理數(shù)之和肯定是無理數(shù)嗎？此時(shí)，學(xué)生容易舉出反例：像π與-π的和是零，為有理數(shù). 通過對類似這樣的問題進(jìn)行深入探討，不但能培養(yǎng)學(xué)生的發(fā)散思維，還能促進(jìn)其理解具體的知識(shí)點(diǎn). 第三，反例教學(xué)需逐層深入而非一蹴而就，教師應(yīng)按照學(xué)生的認(rèn)知發(fā)展逐層構(gòu)建反例，將難題分級化解. 比如進(jìn)行三角形全等判定定理教學(xué)時(shí)，當(dāng)學(xué)生了解SSS，ASA，SAS，AAS等基本判定定理之后，教師可給出如下判斷題：三個(gè)角分別相等的兩個(gè)三角形全等；兩邊相等、其中一邊的對角相等的兩個(gè)三角形全等. 第一個(gè)問題相對容易，但是第二個(gè)問題卻不太容易構(gòu)建反例. 為了處理好該問題，教師可以先給出簡易梯度問題，即先將某些邊、某些角的相等條件固定下來，再給學(xué)生構(gòu)建反例的思考機(jī)會(huì). 比如可以先將∠A與∠A′相等、AC與A′C′固定下來，在此前提下讓學(xué)生接下來思考：如BC與B′C′同時(shí)等于a，則BC或者是B′C′能夠用接下來的作圖法畫出，用C（也可以是C′）當(dāng)作圓心，a當(dāng)作半徑畫弧，只要a可以滿足必要條件，那么該弧就非常有可能同AB（A′B′）所在的直線存在兩個(gè)交點(diǎn)，此時(shí)，再次構(gòu)造不全等三角形的難度就大為降低.

明確概念，聚焦知識(shí)

反例教學(xué)可以幫助學(xué)生從另外一個(gè)角度對某些容易出現(xiàn)混淆的概念進(jìn)行比對，了解其中存在的不同之處，使學(xué)生全面了解概念所具有的內(nèi)涵及其相對應(yīng)的外在聯(lián)系，既知其然，又知其所以然. 實(shí)際上，在初中階段，學(xué)生在教材上、課堂中所接觸到的正面事例依然占據(jù)絕對比重，而正面事例越多，概念的相似點(diǎn)便會(huì)越多，學(xué)生則越會(huì)顯得茫然而無所適從. 這種狀態(tài)下產(chǎn)生的知識(shí)隱患是很大的，因?yàn)閷W(xué)生不易了解清楚知識(shí)的個(gè)性特點(diǎn)，不能明確把握概念本質(zhì). 反例教學(xué)則能從另外一個(gè)角度給出概念間的相異點(diǎn)，輕松加深對基本概念的理解程度.

比如，當(dāng)學(xué)生接觸函數(shù)知識(shí)時(shí)，相當(dāng)一部分學(xué)生無法準(zhǔn)確把握函數(shù)的基本概念，主觀片面地認(rèn)為只要是某一個(gè)變量跟隨另外一個(gè)變量發(fā)生變化，那么這兩個(gè)變量就是函數(shù)關(guān)系. 若教師僅僅依靠普通的正面教學(xué)方法，即便羅列出再多的實(shí)例，學(xué)生可能依然不能發(fā)現(xiàn)自身的思維錯(cuò)誤，這是因?yàn)槟切恼娼嵌冗M(jìn)行思考的事例的確符合學(xué)生意識(shí)中的“某一個(gè)變量跟隨另外一個(gè)變量發(fā)生變化”的特征. 如此一來，不但不會(huì)起到良好的正面糾錯(cuò)功能，反而可能強(qiáng)化學(xué)生的錯(cuò)誤理解. 如果引入反例教學(xué)，情況則很容易得到改觀. 教師可以首先在課堂上給學(xué)生準(zhǔn)備如下幾個(gè)問題，第一個(gè)問題：如果y=x，那么y與x是函數(shù)關(guān)系嗎？第二個(gè)問題：如果y=x，那么，y與x是函數(shù)關(guān)系嗎？第三個(gè)問題，我們大家平時(shí)的學(xué)習(xí)成績與學(xué)習(xí)時(shí)間是函數(shù)關(guān)系嗎？有了這幾個(gè)問題的對比，大家就會(huì)站在反面的角度認(rèn)識(shí)到自身的認(rèn)知局限，明白問題三，即使學(xué)習(xí)時(shí)間同成績之間會(huì)發(fā)生一定關(guān)聯(lián)，然而卻不是完全對應(yīng)的，這就與函數(shù)的概念不相符合，并不是函數(shù)關(guān)系. 通過這種反例對比方法，學(xué)生的概念認(rèn)知與思維能力將會(huì)更進(jìn)一層.

反向思維，增加速度

在初中數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)過程中，會(huì)接觸到數(shù)量眾多的問題，這些問題抽象性強(qiáng)、不易理解，如果這些問題一直得不到正確對待，那么繼而會(huì)出現(xiàn)審題錯(cuò)誤、解題過程錯(cuò)誤、結(jié)果錯(cuò)誤一系列問題. 有些數(shù)學(xué)問題按照常規(guī)思維進(jìn)行思考，通常會(huì)走到錯(cuò)誤的路徑中去，越解答情況越復(fù)雜. 而若是學(xué)生能夠利用換位思考，采取反向思維，則問題往往更容易得到解決. 尤其是對于判斷題來說，反例是提高解決問題速度的不二法門. 對于那些不容易從正面進(jìn)行斷定的選項(xiàng)內(nèi)容而言，最為直接的辦法就是舉出可以推翻它的反例.

比如要求我們判斷：?a∈N，a2-a+11必然為質(zhì)數(shù). 如果教師一味帶領(lǐng)學(xué)生站在正面思維角度去考慮問題，并不容易給出答案；若此時(shí)恰當(dāng)?shù)匾敕蠢?，要求學(xué)生主動(dòng)列舉出一些特殊數(shù)字，學(xué)生不難想到11這個(gè)數(shù)字，將11帶入式子中予以計(jì)算，可以得出a2-a+11并不完全是質(zhì)數(shù)的結(jié)論，問題就此迎刃而解：該題的判斷結(jié)果是錯(cuò)誤的.

再比如，解答某些選擇題時(shí)，同樣可以利用反例法將錯(cuò)誤選項(xiàng)排除出，熟練運(yùn)用逆向思維解決解題速度緩慢的問題. 例如，已知+=0，那么下述幾個(gè)選項(xiàng)正確的是（ ）

A. ab<0 B. ab=0

C. ab>0 D. a，b是所有實(shí)數(shù)

解題思路可以是這樣：假設(shè)a=1，b=-1，與題設(shè)相符，但是ab≠0，則可以將B，C兩個(gè)選項(xiàng)排除掉；假設(shè)a=0，b=0，則研究失去意義，可將D選項(xiàng)排除掉，所以結(jié)論只能選擇A.

縝密思維，剔除錯(cuò)誤

首先反例教學(xué)有利于縝密思維，有些題設(shè)中暗含著某些前提條件，若學(xué)生只是站在正面的角度通過公式與法則進(jìn)行處理，則往往會(huì)忽略掉一些重要前提，出現(xiàn)百密而一疏的失誤，讓最終的解答結(jié)果發(fā)生錯(cuò)誤. 比如，學(xué)生經(jīng)常會(huì)遺漏法則、定理、公式等的利用條件，而僅僅關(guān)注其結(jié)論，在不進(jìn)行分析的情況下任意套用. 因此，教師在教學(xué)過程中，一方面要講清楚法則、定理、公式等的結(jié)論及使用范圍，另一方面也要采取適當(dāng)舉反例的辦法，讓學(xué)生了解其利用條件，以便更牢固地接納所學(xué)知識(shí).

例如，已知二次函數(shù)y=mx2-3x+2同x軸存在兩個(gè)交點(diǎn)，要求m的取值范圍. 如果學(xué)生僅僅是生搬硬套現(xiàn)有公式，片面地以為Δ≥0便可，那么會(huì)給出m≤的結(jié)論. 很明顯，這樣題解是不正確的. 題目中所給的條件是二次函數(shù)，但m=0仍包含在結(jié)論中，且此時(shí)函數(shù)已經(jīng)演變?yōu)橐淮魏瘮?shù)，同題設(shè)相違背，所以必須把題解m≤這一結(jié)論中的m=0去掉. 通過這種反例列舉的辦法，同學(xué)們會(huì)對本題留下較為深刻的印象，在日后的學(xué)習(xí)過程中會(huì)更為留心隱含條件，形成縝密的思維.

其次，反例教學(xué)有利于對錯(cuò)誤推理的否定，比如我們對下述兩個(gè)推理進(jìn)行正誤判斷. 一，由于的倒數(shù)為a這個(gè)結(jié)論正確，因此b的倒數(shù)為同樣正確. 但當(dāng)b=0的情況出現(xiàn)時(shí)，沒有意義，所以該結(jié)論不成立. 二，由于ax=b（a≠0），等式兩邊同時(shí)乘a的倒數(shù)，會(huì)得到正確結(jié)論x=，因此在不等式ax≥b（a≠0）兩邊同時(shí)乘a的倒數(shù)，也會(huì)得到正確結(jié)論x≥. 而例外情況是，假設(shè)a為負(fù)數(shù)，那么不等式兩側(cè)同時(shí)除以負(fù)數(shù)，則不等號方向會(huì)出現(xiàn)變化，所以該結(jié)論不成立.

通過上述兩例顯然說明，反例能夠直接對假命題進(jìn)行否定，幫助學(xué)習(xí)者及時(shí)找到問題的突破口，避免啰嗦而未必有效果的求證過程. 另外，反例教學(xué)法還可以幫助學(xué)生增強(qiáng)必要的邏輯素養(yǎng)，使其更具探索精神與創(chuàng)新思維. 這正如英國科學(xué)家牛頓在解釋其之所以做出偉大科學(xué)成就的原因時(shí)所說：如果不進(jìn)行大膽的反向猜想，偉大的發(fā)現(xiàn)還要遲到一百年.

治理洪水，疏通勝于截堵；糾正知識(shí)錯(cuò)誤，引導(dǎo)勝于回避. 教師無論如何不能僅僅在避免錯(cuò)誤發(fā)生上下工夫，還應(yīng)當(dāng)善加利用錯(cuò)誤，使其成為教學(xué)素材，讓學(xué)生在接觸“錯(cuò)誤”時(shí)加深對知識(shí)的理解，形成積極的解題習(xí)慣，進(jìn)而預(yù)防錯(cuò)誤的再次出現(xiàn).