呂磊等

摘要：采用拉格朗日方法對單級倒立擺系統(tǒng)進(jìn)行了數(shù)學(xué)建模，并進(jìn)行了穩(wěn)定性、可控性、可觀測性分析。針對單級倒立擺系統(tǒng)的控制問題，采用基于線性矩陣不等式（LMI）的H∞控制算法，并應(yīng)用matlab對該倒立擺系統(tǒng)進(jìn)行了仿真實(shí)驗(yàn)。結(jié)果表明，基于LMI的H∞控制方法考慮了被控對象中存在的各種不確定因素，抑制了擾動(dòng)對輸出的影響，系統(tǒng)的振蕩小，調(diào)節(jié)時(shí)間短，響應(yīng)速度快，使系統(tǒng)具有較強(qiáng)的魯棒性和較好的動(dòng)態(tài)性能，能夠較好地完成倒立擺的運(yùn)動(dòng)控制。

關(guān)鍵詞：單級倒立擺；H∞控制；拉格朗日；線性矩陣不等式

中圖分類號：TP273 文獻(xiàn)標(biāo)志碼：A 文章編號：1009-3044（2014）31-7488-05

Abstract： The paper applies Lagrange to single inverted pendulum，models the mathematical model and analyses its stability，controllability and observability.As for the control of a single inverted pendulum，this paper uses H∞ Control based on LMI algorithm and carries out a simulation experiment based on the inverted pendulum in MATLAB.The result shows that this control algorithm considers a lot of uncertain factors，restrains the influence of disturbance.The system has a little oscillation and accommodation time.The algorithm make the system have strong robustness and good dynamic performance，and can effectively finish the motion control of inverted pendulum systems.

Key words： single inverted pendulum； H∞ Control； Lagrange； LMI

1 概述

倒立擺系統(tǒng)結(jié)構(gòu)簡單、成本低廉、形象直觀、構(gòu)件組成參數(shù)和形狀易于改變，它是各種控制理論、控制策略的良好實(shí)驗(yàn)裝置。倒立擺系統(tǒng)是一種典型的單輸入、多輸出、強(qiáng)耦合、開環(huán)不穩(wěn)定、不確定、高階次的復(fù)雜非線性系統(tǒng)，它是控制理論中研究的常見對象。研究倒立擺系統(tǒng)以及其控制方法具有很大的理論價(jià)值和實(shí)際意義。近年來，學(xué)者們對倒立擺系統(tǒng)進(jìn)行了大量的研究，取得了許多的成果。倒立擺系統(tǒng)已由原有的直線倒立擺系統(tǒng)擴(kuò)展為平面倒立擺系統(tǒng)、環(huán)形倒立擺系統(tǒng)等，其控制方法也已經(jīng)有經(jīng)典控制理論方法、現(xiàn)代控制理論方法、智能控制理論方法等[1]。倒立擺系統(tǒng)的許多研究成果已經(jīng)廣泛應(yīng)用于機(jī)器人控制技術(shù)、衛(wèi)星姿態(tài)控制、火箭穩(wěn)定發(fā)射、工業(yè)復(fù)雜對象的控制等。

單級倒立擺系統(tǒng)主要是由小車、倒立擺、軌道和電機(jī)組成，如圖1所示。它的控制目標(biāo)是通過給小車底座施加一個(gè)控制量（如驅(qū)動(dòng)力F），使小車停留在預(yù)定的位置，并且使擺桿不超過一個(gè)預(yù)先定義好的垂直偏離角度范圍，即擺桿不會(huì)倒下。

在單級倒立擺的控制方面，眾多學(xué)者應(yīng)用了不同的控制方法。例如，劉惠超等運(yùn)用了LQR最優(yōu)控制方法對單級倒立擺系統(tǒng)進(jìn)行了仿真實(shí)驗(yàn)[2]；李振山應(yīng)用了積分滑塊的方法對倒立擺系統(tǒng)進(jìn)行了控制[3]；李明杰等運(yùn)用了分?jǐn)?shù)階[PIλDμ]控制器對單級倒立擺實(shí)現(xiàn)了仿真實(shí)驗(yàn)[4]；于春梅等應(yīng)用了MATLAB和ADAMS軟件聯(lián)合仿真，實(shí)現(xiàn)了控制平臺(tái)的設(shè)計(jì)[5]。

針對此系統(tǒng)，筆者采用拉格朗日方法建模，并對倒立擺系統(tǒng)進(jìn)行穩(wěn)定性、可控性、可觀測性分析，通過使用基于LMI的H∞控制方法，利用matlab仿真實(shí)驗(yàn)，分析仿真曲線并得出相應(yīng)結(jié)論。

5 結(jié)論

本文針對單級倒立擺的控制問題，應(yīng)用了基于 LMI的H∞控制算法，通過Lyapunov理論分析其穩(wěn)定性。仿真結(jié)果表明，基于LMI的H∞控制方法考慮了被控對象中存在的各種不確定因素，抑制了擾動(dòng)對輸出的影響，系統(tǒng)的振蕩小，調(diào)節(jié)時(shí)間短，響應(yīng)速度快，使系統(tǒng)具有較強(qiáng)的魯棒性和較好的動(dòng)態(tài)性能，能夠較好地完成倒立擺的運(yùn)動(dòng)控制。

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