柏松盛

摘 ?要：數(shù)學(xué)的探究性學(xué)習(xí)是一種以學(xué)生為主體，充分發(fā)揮學(xué)生主觀能動(dòng)性的學(xué)習(xí)方式. 為了更好地培養(yǎng)學(xué)生在數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)中的邏輯思維能力和靈活運(yùn)用能力，越來越多的教師在教學(xué)中不斷嘗試并逐漸引入了探究性學(xué)習(xí)，出現(xiàn)了趣味性的探究學(xué)習(xí)、實(shí)用性的探究學(xué)習(xí)、技術(shù)性的探究學(xué)習(xí)、求證性的探究學(xué)習(xí)和跨學(xué)科的探究學(xué)習(xí)等多種探究性學(xué)習(xí)方式.

關(guān)鍵詞：探究性學(xué)習(xí);高中數(shù)學(xué);多樣性呈現(xiàn)

數(shù)學(xué)是一門重視邏輯思維能力并強(qiáng)調(diào)靈活運(yùn)用能力的學(xué)科，為了更好地培養(yǎng)學(xué)生具備這兩樣能力，越來越多的教師在教學(xué)中不斷嘗試并逐漸引入了探究性學(xué)習(xí). 與單純的課堂聽講對比起來，數(shù)學(xué)的探究性學(xué)習(xí)是一種以學(xué)生為主體，充分發(fā)揮學(xué)生主觀能動(dòng)性的學(xué)習(xí)方式，它在以“探究”為主要目的的前提下，具備多樣性.

基于趣味性的探究學(xué)習(xí)

以趣味性為設(shè)計(jì)原則的數(shù)學(xué)探究性學(xué)習(xí)強(qiáng)調(diào)的是充分挖掘數(shù)學(xué)的潛在趣味，以幫助學(xué)生更好地認(rèn)知數(shù)學(xué)的另一面，從而激發(fā)學(xué)生學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的興趣與信心. 以《概率》《統(tǒng)計(jì)》這兩個(gè)章節(jié)為例，教師可以引入法國數(shù)學(xué)家帕斯卡在之前提過的一個(gè)賭本分配的問題. “甲、乙兩個(gè)賭徒在投下賭注之后，根據(jù)設(shè)定的原則進(jìn)行賭博，并約定甲、乙誰勝一局誰就得一分，且誰先得到某個(gè)確定的分?jǐn)?shù)誰就贏得所有賭注. 但是在誰也沒有得到確定的分?jǐn)?shù)之前，甲、乙兩人的賭博因故中止了. 假如甲需再得n分才贏得所有賭注，乙需再得m分才贏得所有賭注，那么如何分這些賭注呢？”這個(gè)問題與我們在生活中常常遇到的投擲硬幣進(jìn)行比賽非常類似. 從生活實(shí)踐中不難發(fā)現(xiàn)，大部分人，尤其是好奇心強(qiáng)烈、勝負(fù)心強(qiáng)的學(xué)生都對這種博弈性活動(dòng)充滿著濃厚的興趣. 與此類似的還有，“小剛與小王兩人賭博，分別投注賭資N元，已知每局兩人各自獲勝的概率都是二分之一，并約定，誰先勝出X局，誰就能獲得全部賭資的兩倍. 當(dāng)進(jìn)行到A勝出X1局，B勝出X2局時(shí)（已知X1與X2均小于X），賭博因意外停電而中止，試問此時(shí)兩倍原始賭資應(yīng)當(dāng)如何分配給小剛與小王才顯得公平”等. 總的來講，以興趣為切入點(diǎn)的探究性學(xué)習(xí)不僅可以提高學(xué)生完成探究性學(xué)習(xí)的積極性，而且可以更好地刺激學(xué)生的思維細(xì)胞. 對于初次嘗試探究性教學(xué)的教師來講，可以通過趣味性這一原則來引導(dǎo)學(xué)生逐步適應(yīng)探究性學(xué)習(xí)的方式.

基于實(shí)用性的探究學(xué)習(xí)

作為一門工具性學(xué)科，數(shù)學(xué)在生活中處處可見，因此，教師可以設(shè)計(jì)一個(gè)基于實(shí)用性原則的探究性學(xué)習(xí)課題. 以《函數(shù)》為例，該章節(jié)中的指數(shù)函數(shù)、對數(shù)函數(shù)、冪函數(shù)等均在生活中有非常大的實(shí)用價(jià)值，特別是函數(shù)模型及其應(yīng)用章節(jié)所講述的利率問題與增長率問題. 教師可以結(jié)合當(dāng)前保險(xiǎn)問題，設(shè)計(jì)一個(gè)以養(yǎng)老保險(xiǎn)險(xiǎn)種及分紅為主題的探究性學(xué)習(xí). 例如“王大爺在40歲時(shí)參與購買了養(yǎng)老保險(xiǎn)，而他的朋友李大爺則選擇每年將應(yīng)繳納的保險(xiǎn)金額逐年依次存入到銀行之中. 根據(jù)35年的投保時(shí)限，問王大爺與李大爺在75歲各自可以分別拿到多少錢，這兩種投資方式的收益性哪個(gè)比較大”. 與此類似的探究性課題還有“曾阿姨與潘叔叔在同一天各自到銀行存入了2000元，曾阿姨選擇的是定存五年期，潘叔叔選擇的是一年期并且在每年到期時(shí)領(lǐng)取本金與利息后一并存入到又一個(gè)一年期中，以此類推，而且每次領(lǐng)取時(shí)需要向銀行繳納20%的利息稅，問五年后，曾阿姨與潘叔叔哪一個(gè)人的受益比較大而且各自的本息合計(jì)金額差是多少”. 對于此類與生活關(guān)聯(lián)度比較大的探究性課題，對于教師來講，可以更為游刃自如地設(shè)計(jì)探究性學(xué)習(xí)課題，對于學(xué)生來講，因其與生活的高關(guān)聯(lián)度而可以更容易地通過調(diào)查取證或搜集相關(guān)人的信息來順利完成學(xué)習(xí)任務(wù). 因此，從操作度與完成度上看，基于實(shí)用性的探究性學(xué)習(xí)在整個(gè)數(shù)學(xué)的探究性學(xué)習(xí)中將占據(jù)比較大的比例.

基于技術(shù)性的探究學(xué)習(xí)

基于技術(shù)性的探究學(xué)習(xí)指的是探究過程及最終的探究結(jié)果完全與學(xué)生的個(gè)人數(shù)學(xué)能力有關(guān)，比如關(guān)于數(shù)學(xué)中的最優(yōu)化問題、關(guān)于黃金分割在實(shí)際生活中的應(yīng)用、關(guān)于數(shù)學(xué)中的證券投資、關(guān)于某種決策的設(shè)計(jì)等. 技術(shù)性探究學(xué)習(xí)的核心在于縝密的邏輯思維與嫻熟的數(shù)學(xué)能力，這對學(xué)生來講是一個(gè)不小的挑戰(zhàn).在實(shí)際教學(xué)中，一般不單獨(dú)由學(xué)生個(gè)人來完成，而是多以團(tuán)隊(duì)的形式，特別是將學(xué)習(xí)能力高低有別的學(xué)生融合在一起進(jìn)行探究性學(xué)習(xí). 這有助于學(xué)生之間進(jìn)行互補(bǔ)與分工，同時(shí)也有利于學(xué)習(xí)能力較差的學(xué)生在探究性學(xué)習(xí)的同時(shí)，還能夠?qū)W習(xí)模仿學(xué)習(xí)能力較強(qiáng)的同學(xué)的學(xué)習(xí)方法、思維方式等學(xué)習(xí)習(xí)慣，從而在無形中漸漸地提高個(gè)人能力.在設(shè)計(jì)基于技術(shù)性的探究學(xué)習(xí)時(shí)，教師需要把握以下幾個(gè)原則，一是探究的時(shí)間不宜過長. 假如時(shí)間過長，計(jì)算過于煩瑣，則容易占據(jù)學(xué)生過多的時(shí)間并分散學(xué)生的注意力，從而最終降低學(xué)習(xí)效果.二是要與學(xué)生共同進(jìn)行并在探究過程中通過提供資料、指明方向、建議方法等來適當(dāng)予以協(xié)助. 這既可以避免學(xué)生單打獨(dú)斗而影響最終的探究效果，同時(shí)也可以讓學(xué)生感覺到自己在學(xué)習(xí)中的主體地位，教師在教學(xué)中的引導(dǎo)地位，從而進(jìn)一步增強(qiáng)學(xué)習(xí)的自覺性與主動(dòng)性.

基于求證性的探究學(xué)習(xí)

這里的求證性探究學(xué)習(xí)指的是對于教材中給定的或者約定成俗、經(jīng)過實(shí)踐檢驗(yàn)的、前人經(jīng)驗(yàn)總結(jié)所得的已知結(jié)論進(jìn)行一種求證，比如探求排序不等式、柯西不等式，關(guān)于某個(gè)數(shù)學(xué)公式或者某條數(shù)學(xué)定理的求證等. 除此之外，還有一種“悖論探究”，它指的是若承認(rèn)某個(gè)命題是絕對成立的，則可以推論出它的否定命題成立;反之，若承認(rèn)某個(gè)命題的否命題是成立的，則可推出這個(gè)命題成立;如果承認(rèn)該命題是真的，經(jīng)過一系列正確合理的推理之后，卻又得出它是假命題;如果承認(rèn)該命題是假的，經(jīng)過一系列正確合理的推理之后，卻又得出它是真命題. 比如“理發(fā)師悖論”，“某城鎮(zhèn)有一位理發(fā)師，他的理發(fā)原則是‘只給不自己剪頭發(fā)的人剪頭發(fā)”.這里存在著矛盾的地方，假如理發(fā)師給自己剪頭發(fā)，那么他就是自己給自己剪頭發(fā)的人;假如理發(fā)師不給自己剪頭發(fā)，那么他就是不給自己剪頭發(fā)的人. 但根據(jù)他的理發(fā)原則，他應(yīng)當(dāng)給自己剪頭發(fā). 這就存在著一定的矛盾. 與求證既定的公式、定理、結(jié)論等對比起來，悖論的探究性學(xué)習(xí)由于它“撼動(dòng)”了邏輯與數(shù)學(xué)基礎(chǔ)，因而它有利于激發(fā)學(xué)生的求知欲望與思索能力. 與此同時(shí)，它也可以給學(xué)生帶來耳目一新的感覺. 需要注意的是，與上述幾種探究性學(xué)習(xí)對比起來，基于求證性的探究學(xué)習(xí)難度更大，而且選擇的題材與設(shè)計(jì)的難度也較難把控. 假如難度過大，則不僅降低了學(xué)生的求解成功率，而且容易給學(xué)生的思維造成一定的紊亂從而影響了學(xué)生的數(shù)學(xué)能力，與此同時(shí)也有可能耗費(fèi)過多的時(shí)間. 因此，基于求證性的探究學(xué)習(xí)適合于已經(jīng)在課堂中多次踐行且可以熟練操作探究性學(xué)習(xí)的教學(xué)階段.

基于跨學(xué)科的探究學(xué)習(xí)

從知識(shí)體系上講，雖然我們?nèi)藶榈馗鶕?jù)一定原則將其劃分為不同學(xué)科，但這并不意味著學(xué)科之間是絕對獨(dú)立的，相反，它們之間是共同依存并相互促進(jìn)的，因此，教師可以跨學(xué)科為原則來設(shè)計(jì)探究性學(xué)習(xí)的主題. 以《平面向量》為例，它可以與物理學(xué)進(jìn)行有機(jī)結(jié)合，研究數(shù)量積的物理意義. 比如該圖形在數(shù)學(xué)中它可以表示向量S與F，在物理中可以表示力的角度，因此，教師可以將向量與物理學(xué)中的力進(jìn)行結(jié)合，設(shè)計(jì)該內(nèi)容主題.具體可以圍繞以下幾個(gè)問題，假如一物體在力F的作用下產(chǎn)生了位移S，則用向量的知識(shí)來說明W功是什么向量、F力是什么向量、S位移是什么向量、如何用向量來書寫F所做的功、如何用文字語言來表達(dá)功的計(jì)算公式等，總之，該課題圍繞的主題是“力與位移的大小及其夾角余弦的乘積為功”. 根據(jù)這一主題，教師還可以將題目進(jìn)行延伸，如ɑ的不同取值范圍下不同的書寫形式，ɑ介于零度與九十度之間，ɑ等于九十度等;或者將力進(jìn)一步細(xì)化，如假設(shè)某重達(dá)8千克的球體分別作水平位移5米，豎直下降5米，豎直上升5米，沿傾斜角40度的斜面向上運(yùn)動(dòng)5米等. 跨學(xué)科探究性學(xué)習(xí)的最大好處在于可以融匯多個(gè)學(xué)科的知識(shí)，這既有利于拓展學(xué)生的思維視角，又有利于培養(yǎng)學(xué)生的創(chuàng)新精神. 為了更好地實(shí)現(xiàn)這一目的，教師可以在設(shè)計(jì)時(shí)多抓住數(shù)學(xué)與其他學(xué)科的共同點(diǎn)，以找到可以締結(jié)不同學(xué)科的紐帶，從而設(shè)計(jì)出基于跨學(xué)科原則的探究性學(xué)習(xí)課題.

圖1

學(xué)以致用是學(xué)習(xí)的一項(xiàng)重要原則，也是其中一個(gè)首要目的. 在探究性學(xué)習(xí)模式下，教師可以引導(dǎo)學(xué)生從某些數(shù)學(xué)問題及某個(gè)生活問題出發(fā)，運(yùn)用所學(xué)習(xí)的數(shù)學(xué)知識(shí)去嘗試解決. 對于學(xué)生來講，這既有利于提高數(shù)學(xué)知識(shí)的掌握程度，又有利于踐行數(shù)學(xué)知識(shí)的實(shí)用意義. 基于此，為了更好地發(fā)揮探究性學(xué)習(xí)模式的價(jià)值，教師可以從趣味性、實(shí)用性、技術(shù)性、求證性、跨學(xué)科這五個(gè)方面出發(fā)，設(shè)計(jì)不同種類的探究課題，以更好地呈現(xiàn)數(shù)學(xué)探究性學(xué)習(xí)的多樣性，并借此有效培養(yǎng)學(xué)生的邏輯思維能力與靈活運(yùn)用能力.