金曉江

摘 ?要：歸納、猜想、證明是獲取數(shù)學(xué)知識(shí)的一種重要途徑，可以用在一個(gè)具體問(wèn)題的解決上，也可以用在對(duì)這類問(wèn)題共性和規(guī)律的再歸納、再猜想、再證明，從而得到更一般的結(jié)論，這樣的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)會(huì)更有意義.

關(guān)鍵詞：對(duì)稱中心;對(duì)稱軸

《基于合情推理的解題教學(xué)實(shí)踐》一文摘錄

題目1 已知實(shí)數(shù)a，b滿足a3-3a2+5a=1，b3-3b2+5b=5，求a+b的值.

設(shè)f（x）=x3-3x2+5x-3，f（-1）=-12，f（0）=-3，f（1）=0，f（2）=3，f（3）=12，師生共同發(fā)現(xiàn)函數(shù)f（x）關(guān)于點(diǎn)（1，0）中心對(duì)稱.

題目2 已知f（x）=2x-cosx，{an}是公差為 ?的等差數(shù)列，f（a1）+f（a2）+…+f（a5）=5π，則[f（a3）]2-a1a5等于（ ?）

A.？搖0 B.？搖 ? C.？搖 ? D.？搖

解：因?yàn)閒（-π）=-2π+1，f- ?= -π，f（0）=-1，

f ?=π，f（π）=2π+1，f ?=3π，f（2π）=4π-1，由此歸納出函數(shù)f（x）關(guān)于點(diǎn) ?，π中心對(duì)稱.

應(yīng)用推廣上碰到了問(wèn)題

其實(shí)以上兩例中，如果題目設(shè)定的函數(shù)對(duì)稱中心的數(shù)值更復(fù)雜些，就不太容易得出猜想，所以從一組特殊的函數(shù)值歸納猜想函數(shù)的對(duì)稱中心并不太容易.

如f（x）=x3-x2+5x的圖象對(duì)稱中心為 ?， ?.

又如f（x）=2x-cos4x的圖象對(duì)稱中心為 ?， ?.

所以有必要尋求一種求解函數(shù)圖象對(duì)稱中心的更加方便的方法.

對(duì)稱中心的求解有法可依

定理1 ?定義在R上的可導(dǎo)函數(shù)f（x）的圖象關(guān)于點(diǎn)（h，f（h））對(duì)稱的充要條件是導(dǎo)函數(shù)f ′（x）的圖象關(guān)于直線x=h對(duì)稱.

必要性證明：若函數(shù)f（x）的圖象關(guān)于點(diǎn)（h，f（h））對(duì)稱，則對(duì)于任意的x恒有f（h+x）+f（h-x）=2f（h）.

因?yàn)楹瘮?shù)f（x）可導(dǎo)，對(duì)上式兩邊求導(dǎo)得f ′（h+x）-f ′（h-x）=0，即f ′（h+x）=f ′（h-x）.

所以函數(shù)f ′（x）的圖象關(guān)于直線x=h對(duì)稱.

充分性證明：若函數(shù)f ′（x）的圖象關(guān)于直線x=h對(duì)稱，則對(duì)于任意的x恒有f ′（h+x）=f ′（h-x）.

對(duì)上式兩邊積分得f（h+x）=-f（h-x）+λ.

令x=0，則有λ=2f（h），

所以f（h+x）+f（h-x）=2f（h），

所以函數(shù)f（x）的圖象關(guān)于點(diǎn)（h，f（h））對(duì)稱.

定理1給出了求函數(shù)對(duì)稱中心的一條路徑，即欲求函數(shù)圖象的對(duì)稱中心，可先求其導(dǎo)函數(shù)圖象的對(duì)稱軸.

對(duì)稱中心條件下的一個(gè)結(jié)論

定理2 ?定義在A上的單調(diào)函數(shù)f（x）的圖象關(guān)于點(diǎn)（a，f（a））對(duì)稱，等差數(shù)列{an}滿足an∈A，若f（a1）+f（a2）+…+f（a2n+1）=（2k+1）f（a），則an+1=a.

證明：設(shè)等差數(shù)列的公差為d，

1. 當(dāng)函數(shù)f（x）單調(diào)遞增時(shí).

若an+1>a，則f（a1）+f（a2）+…+f（a2n+1）=f（an+1-nd）+…+f（an+1）+…+f（an+1+nd）>f（a-nd）+…+f（a）+…+f（a+nd）=（2n+1）f（a），這與已知矛盾若an+1

2. 當(dāng)函數(shù)f（x）單調(diào)遞減時(shí)，同理可得an+1=a.

綜上，定理2成立.

結(jié)論的應(yīng)用舉例

題目1 已知實(shí)數(shù)a，b滿足a3-3a2+5a=1，b3-3b2+5b=5，求a+b的值.

解：設(shè)f（x）=x3-3x2+5x，

則f ′（x）=3x2-6x+5.

因?yàn)楹瘮?shù)f ′（x）的圖象關(guān)于直線x=1對(duì)稱，由定理1得函數(shù)f（x）的圖象關(guān)于點(diǎn)（1，3）對(duì)稱.

所以f（a）+f（2-a）=6？搖（1），

因?yàn)閒（a）+f（b）=6？搖（2），

（1）-（2）得f（2-a）=f（b）.

因?yàn)閒 ′（x）=3x2-6x+5=3（x-1）2+2>0，

所以f（x）在（-∞，+∞）上為增函數(shù)，

由f（2-a）=f（b）可得2-a=b，

所以a+b=2.

題目2 已知f（x）=2x-cosx，{an}是公差為 ?的等差數(shù)列，f（a1）+f（a2）+…+f（a5）=5π. 則[f（a3）]2-a1a5等于（ ?）

A.？搖0 B.？搖 ? C.？搖 ? D.？搖

解：因?yàn)閒 ′（x）=2+sinx>0，所以f（x）為增函數(shù)且f ′（x）的圖象關(guān)于直線x= ?對(duì)稱，由定理1得函數(shù)f（x）的圖象關(guān)于點(diǎn) ?，π中心對(duì)稱.

因?yàn)閒（a1）+f（a2）+…+f（a5）=5π=5f ?，由定理2得a3= ?. 所以[f（a3）]2-a1a5=π2- ?- ? ?+ ?= ?.

題目3 已知函數(shù)f（x）=（x-3）5+x-1，等差數(shù)列{an}的公差d≠0，f（a1）+f（a2）+…+f（a27）=54，若f（ak）=2，求k的值.

解：因?yàn)閒 ′（x）=5（x-3）4+1>0，所以f（x）為增函數(shù)且f ′（x）的圖象關(guān)于直線x=3對(duì)稱. 由定理1知f（x）的圖象關(guān)于點(diǎn)（3，2）對(duì)稱.

因?yàn)閒（a1）+f（a2）+…+f（a27）=27f（3），

由定理2得a14=3.

所以f（a14）=f（ak）=2，而f（x）為增函數(shù). 所以ak=a14，因?yàn)楣頳≠0，所以k=14.

歸納、猜想、證明是獲取數(shù)學(xué)知識(shí)的一種重要途徑. 可以用在一個(gè)具體問(wèn)題的解決上，也可以用在對(duì)這類問(wèn)題共性和規(guī)律的再歸納、再猜想、再證明，從而得到更有一般性的結(jié)論，這樣的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)會(huì)更有意義.