金映麗，劉 賀

（沈陽工業(yè)大學 機械工程學院，遼寧 沈陽 110870）

0 引言

螺旋錐齒輪是一種較為復雜的齒輪，它能夠?qū)崿F(xiàn)兩相交軸或交錯軸之間的傳動，是現(xiàn)代機械動力傳動系統(tǒng)中用來傳遞動力和運動的重要裝置。由于螺旋錐齒輪具有傳動平穩(wěn)、噪聲小、承載能力強等優(yōu)點，被廣泛地應用到各種高速重載的相交軸傳動中，特別是航空、航海、汽車和各種精密機床等行業(yè)。本文基于VC＋＋和OpenGL環(huán)境編制了螺旋錐齒輪測量軟件系統(tǒng)，應用該軟件系統(tǒng)對螺旋錐齒輪進行檢測，可以更好地指導螺旋錐齒輪的加工，縮短加工的輔助時間、降低費用、提高生產(chǎn)效率。

1 螺旋錐齒輪測量軟件系統(tǒng)設計

螺旋錐齒輪測量軟件系統(tǒng)主要完成以下幾方面的工作：齒輪設計參數(shù)的輸入、理論齒面計算、齒面重構(gòu)、齒輪誤差分析、輸出數(shù)據(jù)文件。圖1為螺旋錐齒輪測量軟件系統(tǒng)結(jié)構(gòu)框圖。

圖1 螺旋錐齒輪測量軟件系統(tǒng)結(jié)構(gòu)框圖

1.1 輸入模塊

輸入模塊主要輸入測量螺旋錐齒輪的設計參數(shù)、測頭參數(shù)、齒面網(wǎng)格數(shù)等。其中螺旋錐齒輪理論數(shù)據(jù)可以通過直接輸入齒輪的設計參數(shù)得到，也可以由其他程序計算得到齒面離散化數(shù)據(jù)；齒面網(wǎng)格數(shù)可以按照具體齒輪齒面的大小確定網(wǎng)格數(shù)，即根據(jù)齒高和齒長方向確定測量數(shù)據(jù)點的數(shù)量。

1.2 測量路徑規(guī)劃模塊

螺旋錐齒輪測量路徑規(guī)劃包括測量網(wǎng)格的劃分、測量坐標系的確定、測頭半徑的補償?shù)取?/p>

1.2.1 測量網(wǎng)格的劃分

根據(jù)螺旋錐齒輪的齒面數(shù)學模型進行理論齒面模型離散化，即在螺旋錐齒輪齒面上劃分一系列的網(wǎng)格，并以網(wǎng)格交叉節(jié)點作為測量參考點。劃分網(wǎng)格時可以對理論齒面在軸截面上的投影進行網(wǎng)格劃分，同時為了保證測量的精度，一般需要對建立離散模型的網(wǎng)格進行收縮，然后獲得一系列網(wǎng)格交叉點作為測量點［1］。

1.2.2 測量坐標系的確定

測量坐標系與齒輪坐標系的關系如圖2所示，其中，O2為齒輪設計交叉點，作為齒輪坐標系的原點；O3為旋轉(zhuǎn)工作臺平面與工件軸心線的交點，為工件坐標系的原點；O1為機床坐標系的原點，在這里也是測量坐標系的原點。

1.2.3 測頭半徑補償

由于測頭測量時受半徑的影響，得到的坐標數(shù)據(jù)并不是測頭觸及的被測齒面上點的坐標，因此，必須對測頭半徑進行補償來獲得接觸點的坐標值。

測頭半徑的補償方法有很多［2］，由于螺旋錐齒輪齒面比較復雜，系統(tǒng)選擇等距面法實現(xiàn)對螺旋錐齒輪齒面測量點的補償。等距面法是利用測頭球心的運動軌跡曲面與被測曲面為等距面的性質(zhì)，通過測得的測頭球心坐標擬合出一個曲面，然后求出距離為測頭半徑的等距面即為被測曲面。

圖2 測量坐標系與齒輪坐標系的關系

1.3 測量數(shù)據(jù)處理模塊

1.3.1 齒面重構(gòu)方法

由于三次B樣條曲線在節(jié)點處可達到二階連續(xù)，其構(gòu)造曲線逼近控制多邊形，能夠滿足螺旋錐齒輪齒面的重構(gòu)要求，因此本系統(tǒng)選擇三次非均勻B樣條曲線算法對螺旋錐齒輪進行齒面重構(gòu)［3］。

一張d×l次NURBS曲面［4］表達式為：

其中：Vi，j為控制頂 點；Wi，j為 與控制 頂點聯(lián)系的權(quán) 因子；Bi，d（u）為沿u向的d次B樣條基函數(shù)；Bj，l（v）為沿v向的l次B樣條基函數(shù)。

1.3.2 齒面誤差分析

首先應使測量齒面的某一測量點通過平移和旋轉(zhuǎn)變換與理論齒面相對應點重合，然后將理論齒面重構(gòu)函數(shù)與測量齒面重構(gòu)函數(shù)進行比較，獲得各個測量點處的法向齒面誤差。

齒面法向誤差通過計算齒面測量點法向直線與理論齒面重構(gòu)函數(shù)的交點與測量點的距離獲得。假設齒面測量點坐標為P（x0，y0，z0），其法向量為（m，n，p），則過測量齒面點的法向空間直線L（t）的表達式為：

（1）確定合適的初始搜索步長h、精度ε及搜索方向。首先反求當t＝t0時齒面測量點（x0，y0，z0）在理論重構(gòu)齒面函數(shù)對應點（x0，y0，z′0），根據(jù)z′0－z0的值確定搜索方向，大于零則按正方向搜索，小于零則按負方向搜索。

（2）計算t1＝t0＋h時的直線L（t1），得到點（x1，y1，z1），在x1，y1不變的情況下求得與之對應的理論齒面上的點（x1，y1，z′1）。

（3）若z′1＜z1，搜索成功，下一次搜索就大步前進，用t1代替t0，2h代替h，繼續(xù)進行搜索。若z′1≥z1，搜索失敗，下一次搜索就小步后退。判斷是否有｜h｜＜ε，若｜h｜＜ε，則取t＊≈t0（t＊為最優(yōu)解），計算結(jié)束；否則，用－h(huán)／4代替h，返回第（2）步，繼續(xù)進行搜索。經(jīng)過多次迭代計算，在精度ε的范圍內(nèi)使｜z′i－zi｜趨近于零的點即為所求的點。

1.3.3 齒距誤差分析

齒距誤差包括單個齒距誤差fpt、齒距累積總誤差Fp和齒距累積誤差Fpk。本系統(tǒng)選擇對齒距累積誤差Fpk進行分析。

選擇齒面上的設計參考點M為檢測點（如圖2所示），因為M點的z向分量對螺旋錐齒輪的齒距累積誤差Fpk影響非常小，因此可以忽略，所以齒距累積誤差計算可以簡化為由M點的x和y坐標作為計算參量。齒距累積誤差Fpk計算公式為：

其中：k為間隔的齒距個數(shù)；Δ＝2π／Z，為相鄰輪齒同側(cè)齒面相位角，Z為齒數(shù)；r2為節(jié)圓半徑；pt為螺旋錐齒輪的單個理論齒距。

2 舉例

某螺旋錐齒輪的基本參數(shù)如下：齒數(shù)為35、節(jié)錐角為37.557°、軸交角為90°、模數(shù)為4.57mm、偏置距為26mm。測頭測球半徑為3.0mm。齒面網(wǎng)格數(shù)按齒高和齒長方向劃分，共取5×9＝45個測量點。利用等距面法，得到了半徑補償后的實際測量齒面，如圖3所示。將被測齒面與理論齒面進行比較，得到了齒面的法向誤差，如圖4所示，其中誤差單位為μm。對螺旋錐齒輪進行齒距誤差指標的檢測，凸面和凹面的齒距累積總誤差Fpk分別為60μm和52μm，對比國標準可知，此螺旋錐齒輪的精度等級為8級。

圖3 測球中心軌跡齒面與實際齒面

3 結(jié)語

本文針對螺旋錐齒輪齒面的特點和使用精度要求，開發(fā)了螺旋錐齒輪測量軟件系統(tǒng)，實現(xiàn)了對螺旋錐齒輪的檢測和精度評定。通過對螺旋錐齒輪的檢測，表明了該軟件具有方便實用、操作簡單的優(yōu)點，可以更好地指導對螺旋錐齒輪的加工。

圖4 齒面的法向誤差

［1］ 陳海燕，陳祥熙，路淳豪.三維坐標中測量曲面的定位［J］.光學儀器，2000，22（6）：3－7.

［2］ 王增強，藺小軍，任軍學.CMM測量曲面測頭半徑補償與路徑規(guī)劃研究［J］.機床與液壓，2006（3）：75－77.

［3］ 姜嬌.螺旋錐齒輪在機檢測精度分析與研究［D］.沈陽：沈陽工業(yè)大學，2011：25－26.

［4］ 朱心雄.自由曲線曲面造型技術(shù)［M］.北京：科學出版社，2000.

［5］ 唐煥文，秦學志.實用最優(yōu)化方法［M］.大連：大連理工大學出版社，2004.