魏含玉

（周口師范學(xué)院 數(shù)學(xué)與統(tǒng)計(jì)學(xué)院，河南 周口466001）

“實(shí)變函數(shù)論”是數(shù)學(xué)專(zhuān)業(yè)最重要的基礎(chǔ)課之一，它既是數(shù)學(xué)分析課程的自然延續(xù)，又是提高學(xué)生分析抽象問(wèn)題和解決實(shí)際問(wèn)題能力的核心課程.“實(shí)變函數(shù)論”是本科教學(xué)中學(xué)生普遍感到學(xué)習(xí)難度較大的課程之一［1－4］.對(duì)于授課教師，尤其是普通高等師范院校的教師來(lái)講，在新時(shí)期下如何教好這門(mén)課程是一種挑戰(zhàn)，而且目前面臨學(xué)校轉(zhuǎn)型的關(guān)鍵時(shí)期，如何適應(yīng)新形勢(shì)下的教學(xué)，如何提高轉(zhuǎn)型時(shí)期“實(shí)變函數(shù)論”的教學(xué)水平，達(dá)到理想的教學(xué)效果，是目前考慮的主要問(wèn)題.在借鑒前人經(jīng)驗(yàn)的基礎(chǔ)上［5－8］，結(jié)合這些年自己對(duì)“實(shí)變函數(shù)論”的教學(xué)實(shí)踐，嘗試對(duì)“實(shí)變函數(shù)論”的教學(xué)進(jìn)行一些改革與實(shí)踐.

1 重視基本概念和基本理論的教學(xué)

在教學(xué)過(guò)程中，要注重實(shí)際應(yīng)用背景知識(shí)，要講清楚概念的來(lái)源，抽象的概念引入時(shí)，盡量具體、生動(dòng)，努力降低學(xué)生在數(shù)學(xué)上認(rèn)知的困難.要注重采用恰當(dāng)?shù)慕虒W(xué)方法和技巧，注重思維的啟發(fā)引導(dǎo)，夯實(shí)基礎(chǔ)知識(shí)，指導(dǎo)學(xué)生解決實(shí)際問(wèn)題.教學(xué)過(guò)程中要善于運(yùn)用類(lèi)比方法，“實(shí)變函數(shù)論”中的概念比較多，而且還比較抽象.因此，在講解這些概念時(shí)，要善于運(yùn)用恰當(dāng)?shù)慕虒W(xué)方法，以便于學(xué)生接受和理解.“實(shí)變函數(shù)論”是數(shù)學(xué)分析的深化，這兩門(mén)課程之間的一些概念具有相似之處，教師在講授“實(shí)變函數(shù)論”的某些概念前，不妨先把數(shù)學(xué)分析中與之相關(guān)的概念復(fù)習(xí)一下，然后通過(guò)類(lèi)比，引出“實(shí)變函數(shù)論”中的新概念.比如，在講集合列的上極限和下極限時(shí)，如果直接給出它的定義，學(xué)生接受可能會(huì)有一定的難度，可以通過(guò)類(lèi)比的方法，先復(fù)習(xí)數(shù)學(xué)分析中數(shù)列上極限和下極限的定義，然后再給出集合列的上極限和下極限定義，這樣通過(guò)與以前知識(shí)的類(lèi)比，學(xué)生對(duì)新概念就易于接受和理解.教師再總結(jié)出集合列上極限集和下極限集的共同點(diǎn)和不同點(diǎn)，上極限集和下極限集的包含關(guān)系，加深學(xué)生對(duì)定義的理解.其次要注重學(xué)生的思維啟發(fā)，在講解書(shū)本上的定理時(shí)，要讓學(xué)生清楚，所講定理在本章節(jié)的地位及其應(yīng)用，理順定理間的邏輯結(jié)構(gòu).在講解定理證明時(shí)，先分析證明方法、理清思路，然后再詳細(xì)講解證明過(guò)程，逐步培養(yǎng)學(xué)生獨(dú)立思考和解決問(wèn)題的能力.概念與定理的教學(xué)非常關(guān)鍵，是“實(shí)變函數(shù)論”教學(xué)中的重點(diǎn)和難點(diǎn)，如果學(xué)生對(duì)一些概念不理解，定理不熟悉，他就很難掌握解題技巧，遇到問(wèn)題時(shí)就不知從何處下手，這樣會(huì)打擊學(xué)生學(xué)習(xí)的積極性，甚至失去學(xué)習(xí)本課程的信心.所以，必須高度重視基本概念和基本理論的教學(xué).

2 精選教學(xué)內(nèi)容，強(qiáng)化解題意識(shí)

近年來(lái)，為了適應(yīng)新形勢(shì)下人才培養(yǎng)方案，培養(yǎng)高素質(zhì)的應(yīng)用型人才，在大學(xué)本科階段，學(xué)生需要學(xué)習(xí)的知識(shí)越來(lái)越多，開(kāi)設(shè)的實(shí)踐課程也越來(lái)越多，這就直接導(dǎo)致了許多課程學(xué)時(shí)的縮短.函數(shù)論的課時(shí)由原來(lái)的72學(xué)時(shí)壓縮到現(xiàn)在的51學(xué)時(shí)，課時(shí)的壓縮給這門(mén)課程的教學(xué)帶來(lái)了一定的困難.因此，如何在有限的學(xué)時(shí)內(nèi)，完成大綱規(guī)定的教學(xué)任務(wù)，同時(shí)又能使學(xué)生獲得較好地學(xué)習(xí)效果，確實(shí)是一項(xiàng)艱巨的任務(wù).“實(shí)變函數(shù)論”是數(shù)學(xué)家們集體智慧的結(jié)晶，但這些內(nèi)容具有一定的復(fù)雜性，高度的抽象性.由于本課程學(xué)時(shí)有限，在大綱規(guī)定的學(xué)時(shí)內(nèi)，要求學(xué)生全面理解內(nèi)容，并掌握解題技巧非常困難，所以在教學(xué)過(guò)程中，不能一味地強(qiáng)調(diào)學(xué)生全面學(xué)習(xí)，而忽視學(xué)生學(xué)習(xí)的效果和質(zhì)量，因此，要精心選擇教學(xué)內(nèi)容.在這幾年的教學(xué)實(shí)踐中，保持講授內(nèi)容精簡(jiǎn)，選擇具有代表性、啟發(fā)性的內(nèi)容，并保持與數(shù)學(xué)分析的緊密聯(lián)系，以便于更好地掌握這門(mén)課程.例如：在講授“實(shí)變函數(shù)論”第三章的測(cè)度論時(shí)，要先介紹測(cè)度論發(fā)展的過(guò)程，外測(cè)度、可測(cè)集和可測(cè)集類(lèi)的內(nèi)容要精講，而不可測(cè)集的構(gòu)造過(guò)程則比較復(fù)雜，可以不作要求，但要學(xué)生清楚確實(shí)存在不可測(cè)集，可以利用勒貝格測(cè)度的平移不變性，具體的構(gòu)造出來(lái)不可測(cè)集.要引導(dǎo)學(xué)生深入理解概念和定理，夯實(shí)基礎(chǔ)知識(shí)和基本理論，強(qiáng)化解題思路分析，提高解題意識(shí).對(duì)于有關(guān)集合可測(cè)集定理的證明，要盡可能地給予直觀(guān)的證明，以助于學(xué)生理解.通過(guò)這樣的改革設(shè)想，能夠使學(xué)生更好地理解“實(shí)變函數(shù)論”的內(nèi)涵，掌握處理問(wèn)題的能力和方法.

3 體現(xiàn)師范專(zhuān)業(yè)特色，注重教學(xué)的實(shí)用性

周口師范學(xué)院屬于普通高等師范類(lèi)本科院校，有很多數(shù)學(xué)專(zhuān)業(yè)學(xué)生畢業(yè)后，可能要從事中小學(xué)教育職業(yè).所以，筆者在教學(xué)過(guò)程中要注重提高學(xué)生的數(shù)學(xué)思維，提升學(xué)生的綜合能力，如教學(xué)能力，與學(xué)生溝通能力等.在教學(xué)過(guò)程中，應(yīng)該改變傳統(tǒng)的教師單方面講述教學(xué)模式，讓學(xué)生參與教學(xué)過(guò)程，注重教師與學(xué)生之間的交流.這樣不僅可以改變學(xué)生被動(dòng)接受學(xué)習(xí)的方式，還可以激發(fā)學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣，培養(yǎng)創(chuàng)新意識(shí).提高學(xué)生的專(zhuān)業(yè)素養(yǎng)，培育他們的教師職業(yè)素養(yǎng).“實(shí)變函數(shù)論”的內(nèi)容比較抽象，邏輯性較強(qiáng)，但是也有一部分相對(duì)比較簡(jiǎn)單的概念、定理.例如勒貝格積分的定義，它在黎曼積分定義的基礎(chǔ)上就易于理解.像非負(fù)簡(jiǎn)單函數(shù)的勒貝格積分及其性質(zhì)，這些相對(duì)簡(jiǎn)單的內(nèi)容，可以通過(guò)學(xué)生預(yù)習(xí)相互討論，學(xué)生上講臺(tái)講解，老師給予補(bǔ)充、點(diǎn)評(píng)的方式來(lái)組織教學(xué).或者，讓學(xué)生課前通過(guò)查閱相關(guān)資料，自己動(dòng)手了解相關(guān)知識(shí)的背景，激發(fā)學(xué)生對(duì)這門(mén)課的學(xué)習(xí)興趣，以專(zhuān)題研究報(bào)告的形式完成，加深學(xué)生對(duì)知識(shí)的理解.同時(shí)在教學(xué)內(nèi)容上，要加強(qiáng)與中學(xué)數(shù)學(xué)知識(shí)的聯(lián)系，例如集合論、距離、集合的測(cè)度等，像這些在中學(xué)數(shù)學(xué)中涉及的相關(guān)問(wèn)題，通過(guò)“實(shí)變函數(shù)論”的學(xué)習(xí)，可以讓學(xué)生站在新的高度，更深層次的認(rèn)識(shí)這些問(wèn)題.

4 巧設(shè)科學(xué)問(wèn)題，培養(yǎng)學(xué)生的科研能力

科研意識(shí)應(yīng)為發(fā)現(xiàn)問(wèn)題、提出問(wèn)題、分析問(wèn)題的意識(shí)以及探求未知的意識(shí).學(xué)生有了科研意識(shí)，才能去談創(chuàng)新能力、科研能力.例如講解可測(cè)函數(shù)概念：在講解概念之前，教師首先交代清楚，“實(shí)變函數(shù)論”中為什么要引入可測(cè)函數(shù)，讓學(xué)生們清楚引入的原因，有了這樣的背景知識(shí)以后，才能深刻地學(xué)習(xí)可測(cè)函數(shù)的概念.學(xué)完可測(cè)函數(shù)概念之后可啟發(fā)學(xué)生思考這樣幾個(gè)問(wèn)題：①定義中驗(yàn)證函數(shù)是否可測(cè)的有限實(shí)數(shù)a能否用具體的數(shù)或有限個(gè)數(shù)來(lái)驗(yàn)證？②要驗(yàn)證一個(gè)函數(shù)是不可測(cè)函數(shù)，那么該如何驗(yàn)證？③數(shù)分中講的區(qū)間［a，b］上單調(diào)函數(shù)是否可測(cè)？④是否存在不可測(cè)函數(shù)？又如第四章的魯津定理，可以進(jìn)行這樣的一些問(wèn)題設(shè)置：①魯津定理說(shuō)明了可測(cè)函數(shù)與連續(xù)函數(shù)什么關(guān)系？②魯津定理中的條件對(duì)于任意給出的常數(shù)δ＞0，能否將這個(gè)常數(shù)加強(qiáng)到δ＝0？在學(xué)生對(duì)這些問(wèn)題思考之后，讓學(xué)生說(shuō)出自己的想法，然后教師給予補(bǔ)充，把這些問(wèn)題全部給學(xué)生講清楚.如果在教學(xué)實(shí)施過(guò)程中，始終體現(xiàn)和遵循這樣的思維方式，讓學(xué)生掌握科學(xué)發(fā)現(xiàn)的方法和思路，無(wú)疑對(duì)學(xué)生創(chuàng)新能力和科研能力的培養(yǎng)起到重要作用.

5 加強(qiáng)習(xí)題設(shè)計(jì)，注重師生間的交流與溝通

教師在講解完每一章節(jié)之后，要有針對(duì)性地設(shè)計(jì)一些能反應(yīng)“實(shí)變函數(shù)論”思想的習(xí)題來(lái)幫助理解相關(guān)內(nèi)容，以助于學(xué)生充分理解該課程的深刻內(nèi)涵.同時(shí)啟發(fā)學(xué)生在平時(shí)學(xué)習(xí)的過(guò)程中，要多思考，課下注重作業(yè)的完成質(zhì)量，可能有的學(xué)生表達(dá)能力不太強(qiáng)，解題敘述沒(méi)有條理或沒(méi)有說(shuō)清楚，教師要給予認(rèn)真的批改，并把這些問(wèn)題指出來(lái)，切不可簡(jiǎn)單了事.在對(duì)學(xué)生輔導(dǎo)答疑環(huán)節(jié)，精講一些典型習(xí)題，典型的解題方法，鼓勵(lì)學(xué)生多層次，全方位的思考.如果在學(xué)習(xí)過(guò)程中遇到困難，及時(shí)與老師、同學(xué)交流、溝通，以免積累的問(wèn)題過(guò)多，喪失對(duì)這門(mén)課程學(xué)習(xí)的信心.

6 改變考核方式，激勵(lì)學(xué)生自主學(xué)習(xí)

教與學(xué)的真實(shí)效果需要通過(guò)考核來(lái)檢驗(yàn)，考核是課程教學(xué)過(guò)程中一個(gè)必不可少的重要環(huán)節(jié).“實(shí)變函數(shù)論”傳統(tǒng)考核方式基本上以閉卷為主，更多地注重理論和知識(shí)而輕視實(shí)踐和能力，為了真實(shí)了解學(xué)習(xí)情況，激勵(lì)學(xué)生自主學(xué)習(xí)，實(shí)現(xiàn)課程的科學(xué)化管理以及教學(xué)質(zhì)量的合理化監(jiān)控，要改變傳統(tǒng)的考核方式.采用學(xué)生平時(shí)出勤占10%，作業(yè)完成情況占10%，專(zhuān)題研究報(bào)告占20%，期末考試成績(jī)占60%，通過(guò)比例方式來(lái)確定學(xué)生的綜合成績(jī)，避免了一次考試確定成績(jī)的考核方式.這樣可以把學(xué)生平時(shí)的學(xué)習(xí)積極性調(diào)動(dòng)起來(lái)，促使學(xué)生主動(dòng)地學(xué)習(xí)，促進(jìn)良好學(xué)風(fēng)的形成，學(xué)生把學(xué)習(xí)的工夫花在平時(shí)，激勵(lì)學(xué)生自主學(xué)習(xí)，而不是平時(shí)不學(xué)考前搞突擊復(fù)習(xí)，這樣會(huì)取得滿(mǎn)意的教學(xué)效果.

社會(huì)的發(fā)展日新月異，而且目前周口師范學(xué)院面臨轉(zhuǎn)型的關(guān)鍵時(shí)期，大學(xué)教育也要適應(yīng)其變化，提高“實(shí)變函數(shù)論”的教學(xué)質(zhì)量，進(jìn)行教學(xué)改革是唯一可行的出路，這就要求老師孜孜以求，付出艱苦不懈的努力.“實(shí)變函數(shù)論”的教學(xué)應(yīng)順應(yīng)時(shí)代發(fā)展需要，堅(jiān)持教學(xué)改革，不斷提高教學(xué)質(zhì)量，啟發(fā)學(xué)生去感受、體驗(yàn)“實(shí)變函數(shù)論”知識(shí)中所包含的深刻思想和豐富智慧，逐步培養(yǎng)學(xué)生科學(xué)研究和創(chuàng)新能力，全面提高學(xué)生的綜合素質(zhì)，力爭(zhēng)為國(guó)家培養(yǎng)出高素質(zhì)的應(yīng)用型人才.

［1］程其襄，張奠宇.實(shí)變函數(shù)與泛函分析基礎(chǔ)［M］.北京：高等教育出版社，2010：1－131.

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