梁強(qiáng)升 李 璇 徐瑞華

（1.廣州市地下鐵道總公司，510380，廣州；2.寧波大學(xué)海運(yùn)學(xué)院，315211，寧波；3.同濟(jì)大學(xué)交通運(yùn)輸工程學(xué)院，201804，上?！蔚谝蛔髡撸呒?jí)工程師）

隨著城市軌道交通網(wǎng)絡(luò)規(guī)模的擴(kuò)大，網(wǎng)絡(luò)換乘節(jié)點(diǎn)數(shù)量大幅增加，面對(duì)網(wǎng)絡(luò)化運(yùn)營(yíng)條件下的大量換乘需求，需要在網(wǎng)絡(luò)層面協(xié)調(diào)各線路的列車運(yùn)行計(jì)劃，實(shí)現(xiàn)不同線路方向的列車在換乘站的良好銜接，從而縮短乘客的換乘等待時(shí)間，提高換乘服務(wù)水平。換乘等待時(shí)間與換乘前后的列車在換乘站的到發(fā)時(shí)刻直接相關(guān)，如何安排列車對(duì)在換乘站的到達(dá)時(shí)間間隔（以下稱“列車銜接時(shí)間”）是網(wǎng)絡(luò)列車運(yùn)行計(jì)劃協(xié)調(diào)優(yōu)化的關(guān)鍵。

換乘站的列車銜接時(shí)間受到乘客走行與列車運(yùn)行兩個(gè)動(dòng)態(tài)過(guò)程的影響。乘客換乘走行時(shí)間具有隨機(jī)性的特點(diǎn)，其大小與換乘環(huán)境、乘客個(gè)體屬性等相關(guān)，可通過(guò)對(duì)客流調(diào)查的結(jié)果進(jìn)行統(tǒng)計(jì)確定。由于受到乘客乘降、設(shè)備故障及突發(fā)事件等因素的影響，列車運(yùn)行可能會(huì)發(fā)生隨機(jī)延誤，因此列車到站時(shí)刻也具有隨機(jī)性的特點(diǎn)。合理的列車銜接時(shí)間應(yīng)在滿足乘客換乘走行時(shí)間的基礎(chǔ)上加入緩沖時(shí)間，以彌補(bǔ)列車運(yùn)行延誤的不良影響。本文基于乘客換乘走行及舒適等待的需求，考慮列車運(yùn)行延誤的影響，建立了列車銜接時(shí)間的計(jì)算模型，為網(wǎng)絡(luò)列車運(yùn)行計(jì)劃的協(xié)調(diào)優(yōu)化提供指導(dǎo)。

1 換乘站列車銜接時(shí)間的組成

設(shè)列車Train1屬于線路Line1的下行方向，列車Train2屬于線路Line2的下行方向，Line1與Line2相交于換乘站a。對(duì)于列車對(duì)Train1和Train2，設(shè)計(jì)劃中欲促成的銜接關(guān)系是在a站實(shí)現(xiàn)Train1→Train2，那么，在a站自Train1下車換乘Line2下行方向的乘客可以換乘到Train2。此時(shí)Train1為輸送列車，Trian2為接續(xù)列車。下面分析如何安排列車銜接時(shí)間，使這部分換乘乘客的換乘等待時(shí)間得到優(yōu)化。

圖1 列車對(duì)銜接圖示

圖2 列車銜接時(shí)間圖示

當(dāng) tC，1下→2下，a滿 足 tW，1下→2下，a＜tC，1下→2下，a ＋tD，2，a＜tW，1下→2下，a＋h2時(shí)，由該計(jì)劃所確定的輸送列車Train1與接續(xù)列車Train2構(gòu)成計(jì)劃層面的銜接關(guān)系。如圖1所示，實(shí)際運(yùn)營(yíng)中，在輸送列車不發(fā)生運(yùn)行延誤的條件下，D2，a－A1，a＞tW，1下→2下，a，換乘乘客可換乘到計(jì)劃中安排的接續(xù)列車，則該協(xié)調(diào)列車對(duì)銜接成功；反之，若輸送列車發(fā)生延誤，D2，a－A1，a′＜tW，1下→2下，a，換乘乘客無(wú)法換乘至計(jì)劃中安排的接續(xù)列車，需等待后行列車，則該協(xié)調(diào)列車對(duì)銜接失敗。列車對(duì)銜接失敗，將會(huì)增加乘客的換乘等待時(shí)間，延長(zhǎng)乘客的出行時(shí)間，降低服務(wù)水平。因此，在確定換乘站的列車銜接時(shí)間時(shí)，考慮列車運(yùn)行延誤對(duì)銜接成功率的影響是十分必要的。

將換乘站的列車銜接時(shí)間分為換乘走行時(shí)間和銜接緩 沖 時(shí) 間 兩 部 分（見(jiàn) 圖 2），即 tC，1下→2下，a＝tW，1下→2下，a＋tB，1下→2下，a。其中tB，1下→2下，a為銜接緩沖時(shí)間。若銜接緩沖時(shí)間等于零，銜接時(shí)間恰好滿足乘客換乘走行的需要，換乘等待時(shí)間為零，稱為“零換乘”。在實(shí)際中，“零換乘”并非理想的換乘狀態(tài)［1－2］，當(dāng)換乘等待時(shí)間少于30 s時(shí)，乘客對(duì)換乘的不滿意度很高。其主要原因是銜接時(shí)間過(guò)緊會(huì)給乘客帶來(lái)錯(cuò)過(guò)列車的心理危機(jī)感，這在列車發(fā)車頻率較低時(shí)表現(xiàn)尤為明顯。所以，銜接緩沖時(shí)間應(yīng)該包括一個(gè)滿足乘客心理舒適度的等待時(shí)間。由此，可將銜接緩沖時(shí)間定義為乘客等待舒適時(shí)間tR與延誤松弛時(shí)間tS的和，即tB＝tR＋tS。則列車銜接時(shí)間tC＝tW＋tR＋tS。對(duì)于換乘乘客而言，當(dāng)輸送列車與接續(xù)列車間的列車銜接時(shí)間恰好為tW＋tR時(shí)，換乘滿意度最高。

由于不同的乘客有不同的走行習(xí)慣和不同的等待心理特點(diǎn)，因此，乘客的換乘走行時(shí)間和等待舒適時(shí)間都是與乘客個(gè)體屬性相關(guān)的隨機(jī)變量，在制訂列車運(yùn)行計(jì)劃時(shí)，前者的取值可通過(guò)實(shí)際調(diào)查來(lái)確定，后者可通過(guò)意向調(diào)查結(jié)果來(lái)確定。本文將這兩個(gè)變量都看作已知參數(shù)，重點(diǎn)確定最佳的延誤松弛時(shí)間。

2 運(yùn)行延誤條件下列車銜接關(guān)系分析

針對(duì)一個(gè)換乘關(guān)系為“在換乘站a的Line1下行→Line2下行”的協(xié)調(diào)列車對(duì)Train1和Train2，確定最佳的列車銜接時(shí)間將涉及Train1和Train2的列車運(yùn)行延誤時(shí)間X1和X2。圖3表現(xiàn)了X1和X2處于不同關(guān)系下Train1和Train2的銜接狀態(tài)。圖中，b為L(zhǎng)ine1下行方向上換乘站a的前一站，c為L(zhǎng)ine2下行方向上換乘站a的前一站，斜實(shí)線表示計(jì)劃列車運(yùn)行線，斜虛線表示實(shí)際列車運(yùn)行線，表示換乘等待時(shí)間，表示令乘客焦慮的等待時(shí)間。在4種情況中，延誤松弛時(shí)間對(duì)乘客的換乘起到了不同的作用。為方便分析，僅將Train1和Train2的相對(duì)延誤表示出來(lái)，且tW＝tW，1下→2下，a，tR＝tR，1下→2下，a，tS＝tS，1下→2下，a。

圖3 輸送列車和接續(xù)列車在不同延誤關(guān)系下的銜接圖示

情況a）：當(dāng)X1－X2≤0時(shí)，列車延誤對(duì)列車對(duì)的銜接成功率沒(méi)有影響，換乘乘客的等待時(shí)間為tR＋tS＋（X2－X1），此時(shí)，延誤松弛時(shí)間給乘客增加了額外的等待時(shí)間tS，如圖3a）中所示；

情況b）：當(dāng)0＜X1－X2≤tS時(shí)，換乘等待時(shí)間為tR＋tS－（X1－X2），此時(shí)，延誤松弛時(shí)間起到了保護(hù)換乘銜接關(guān)系的作用，但仍增加了乘客的額外等待時(shí)間tS－（X1－X2），如圖3b）中所示；

情況c）：當(dāng)tS＜X1－X2≤tS＋tR時(shí)，換乘等待時(shí)間為tR＋tS－（X1－X2），此時(shí)延誤松弛時(shí)間也起到了保護(hù)換乘銜接關(guān)系的作用，由于輸送列車的到達(dá)延誤較大，乘客的等待舒適時(shí)間被占用；

對(duì)公司成立初期的財(cái)務(wù)進(jìn)行了一定的分析及相關(guān)數(shù)據(jù)的預(yù)測(cè)，從表格中，可以明顯地看出，公司成立一年后會(huì)實(shí)現(xiàn)一定的盈利，完成了公司發(fā)展戰(zhàn)略的第一步。

情況d）：當(dāng)tS＋tR＜X1－X2≤tS＋tR＋h2時(shí)，輸送列車上的乘客無(wú)法換乘至預(yù)期的接續(xù)列車，只能換乘后續(xù)列車，其換乘等待時(shí)間為tR＋tS＋h2－（X1－X2），說(shuō)明延誤松弛時(shí)間只能抵御較小的列車延誤，此在文獻(xiàn)［3－5］中也有體現(xiàn)。

綜上，在列車運(yùn)行延誤時(shí)間較小的條件下，延誤松弛時(shí)間能夠在一定程度上提高既定列車對(duì)銜接關(guān)系的兌現(xiàn)率，降低乘客錯(cuò)過(guò)銜接列車的概率，但其也可能增加乘客的額外等待時(shí)間。延誤松弛時(shí)間對(duì)協(xié)調(diào)列車對(duì)的銜接關(guān)系的影響與列車延誤時(shí)間密切相關(guān)。

3 基于隨機(jī)延誤的換乘站列車銜接時(shí)間優(yōu)化模型

在換乘走行時(shí)間和乘客等待舒適時(shí)間已知的前提下，考慮列車延誤的影響，建立換乘站列車銜接時(shí)間的優(yōu)化模型，確定最佳的延誤松弛時(shí)間，以得到最佳的列車銜接時(shí)間，為制訂網(wǎng)絡(luò)列車運(yùn)行計(jì)劃提供依據(jù)。

3.1 列車銜接時(shí)間的優(yōu)化模型

輸送列車和接續(xù)列車的運(yùn)行延誤時(shí)間X1和X2可看作相互獨(dú)立的服從指數(shù)分布的隨機(jī)變量［3－4］，其密度函數(shù)f（x）和分布函數(shù)F（X）分別為：

1／λ即為延誤的期望值?；诜植己瘮?shù)和密度函數(shù)，可得到X1和X2處于不同關(guān)系的概率，即兩者的聯(lián)合密度函數(shù)在不同區(qū)域的積分。

由于延誤松弛時(shí)間只能抵御較小的運(yùn)行延誤時(shí)間，在此考慮延誤最多讓乘客錯(cuò)過(guò)一趟列車。即乘客錯(cuò)過(guò)計(jì)劃中安排的接續(xù)列車后必能夠搭乘其后的第一班列車離開(kāi)。則X1和X2需滿足X1－X2≤h2＋tS＋tR。為使積分區(qū)域有效且閉合，考慮（X1，X2）∈S（S＝｛0≤X1≤h2＋tS＋tR，0≤X2≤h2＋tS＋tR｝）的正方形區(qū)域，如圖4所示。圖中的S1、S2、S3區(qū)域分別對(duì)應(yīng)圖3a）、b）、c）三種情況，S4和S5區(qū)域?qū)?yīng)圖3d）。圖3d）劃分成兩個(gè)區(qū)域是為了建模需要，這兩個(gè)區(qū)域的等待時(shí)間值落在懲罰值函數(shù)分界點(diǎn)的兩側(cè)，對(duì)應(yīng)的函數(shù)表達(dá)式不同。

根據(jù)圖3和圖4，換乘等待時(shí)間可表達(dá)為如下函數(shù)：

圖4 輸送列車和接續(xù)列車的運(yùn)行延誤關(guān)系圖

設(shè)換乘等待時(shí)間對(duì)應(yīng)的費(fèi)用函數(shù)為C（t），如前所述，tR所對(duì)應(yīng)的費(fèi)用應(yīng)最小，換乘等待時(shí)間大于或小于該時(shí)間對(duì)應(yīng)的費(fèi)用都將提高。其中，等待時(shí)間越趨近于0，乘客危機(jī)感越高，費(fèi)用越大；等待時(shí)間越趨近于h2－tD，2，a，乘客焦慮感越高，費(fèi)用也越大。故C（t）可采用式（4）的函數(shù)形式，函數(shù)圖像見(jiàn)圖5。

圖5 換乘等待時(shí)間對(duì)應(yīng)的費(fèi)用函數(shù)圖像

參數(shù)C1和C2的取值可以參考乘客出行時(shí)間價(jià)值來(lái)確定。等待時(shí)間為0表示乘客到達(dá)接續(xù)線路站臺(tái)時(shí)，接續(xù)列車已經(jīng)進(jìn)站開(kāi)始上客，這種情況將給乘客帶來(lái)一定的心理危機(jī)感，等效于產(chǎn)生了一定的時(shí)間費(fèi)用。由于乘客登上接續(xù)列車后需等待列車出發(fā)，這里考慮使用乘客在車上等待的單位時(shí)間價(jià)值來(lái)確定參數(shù)C1。參數(shù)C2描述乘客恰好錯(cuò)過(guò)預(yù)期的接續(xù)列車時(shí)的等待時(shí)間費(fèi)用。

根據(jù)文獻(xiàn)［3］，公共交通出行時(shí)間中的等待時(shí)間價(jià)值通常是相對(duì)于乘車時(shí)間價(jià)值來(lái)確定的。乘客的乘車單位時(shí)間價(jià)值取1，它表示乘客在運(yùn)行的列車上的單位時(shí)間價(jià)值；相對(duì)地，乘客在站臺(tái)上等待列車的單位時(shí)間價(jià)值取2.5，它表示乘客乘車2.5min的時(shí)間費(fèi)用相當(dāng)于其在車外等待1min的時(shí)間費(fèi)用。若乘客到達(dá)接續(xù)線路方向的站臺(tái)時(shí)預(yù)期換乘的接續(xù)列車恰好離站，其等待時(shí)間接近于h2－tD，2，a，這種等待的心理焦慮感更高，其時(shí)間價(jià)值也更大，參考文獻(xiàn)［3］可定為2.7。與乘客在站臺(tái)上等候相比，乘客在車內(nèi)等待列車開(kāi)行的舒適性較好，故乘客在車內(nèi)的單位等待時(shí)間價(jià)值取2。由此，取C1＝2tD，2，a且C2＝2.7（h2－tD，2，a）。

乘客步行到達(dá)接續(xù)線路方向的站臺(tái)時(shí)，接續(xù)列車恰好將要進(jìn)站是較為理想的換乘狀態(tài)。列車從進(jìn)站到停車需要經(jīng)過(guò)一段時(shí)間，此作業(yè)時(shí)間一般為40s，因此tR的建議取值為tR＝0.67min。

以延誤松弛時(shí)間tS為決策變量，以換乘等待時(shí)間費(fèi)用值最小為目標(biāo)函數(shù)，建立模型：

圖4中的S3和S5區(qū)域?qū)?yīng)的換乘等待時(shí)間小于tR，應(yīng)采用懲罰值函數(shù)的前一段，而S1、S2和S4區(qū)域?qū)?yīng)的等待時(shí)間大于tR，應(yīng)采用懲罰值函數(shù)的后一段。約束條件是保證列車對(duì)的銜接對(duì)應(yīng)關(guān)系。

針對(duì)一個(gè)特定的換乘關(guān)系，在C（t）、tW、tR、h2、λ1、λ2、tD，2，a已知的條件下，求解延誤松弛時(shí)間的最優(yōu)值，屬于一元函數(shù)的最優(yōu)化問(wèn)題。目標(biāo)函數(shù)的積分公式非常復(fù)雜，可以運(yùn)用Mathematica軟件來(lái)求解［6－7］。

3.2 算例

3.2.1 基本算例

模型參數(shù)取值如表1所示?；诖藚?shù)設(shè)置，運(yùn)用Mathematica軟件進(jìn)行目標(biāo)函數(shù)的積分求解，然后求目標(biāo)函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)和極值點(diǎn)，并繪制函數(shù)圖像（見(jiàn)圖6），得到最佳的延誤松弛時(shí)間→0.4min。則該換乘關(guān)系的最佳銜接緩沖時(shí)間為min，最佳銜接時(shí)間為

表1 模型參數(shù)賦值表min

圖6 算例的目標(biāo)函數(shù)圖像

3.2.2 算例分析

（1）改變1／λ1和1／λ2的取值，保持其余參數(shù)與基本算例一致，觀察的變化情況，結(jié)果如表2所示。由表2可知隨1／λ1變大而變大，隨1／λ2變大而變小，當(dāng)1／λ1和1／λ2同時(shí)變大時(shí)先變大后變小。說(shuō)明當(dāng)列車運(yùn)行計(jì)劃中安排的協(xié)調(diào)列車對(duì)的兩列車延誤時(shí)間較小時(shí)，延誤松弛時(shí)間的加入有利于提高銜接成功率，而當(dāng)延誤時(shí)間較大時(shí)，加入延誤松弛時(shí)間意義不大。

表2 最佳延誤松弛時(shí)間與延誤時(shí)間均值的關(guān)系 min

（2）改變h2的取值，保持其余參數(shù)與基本算例一致，觀察的變化情況，結(jié)果如表3所示。由表3可知隨著h2的變大而變大，在h2≈3min時(shí)，已接近0。這說(shuō)明在運(yùn)營(yíng)高峰時(shí)段，乘客換乘等待時(shí)間已較小，不需要再加入延誤松弛時(shí)間。

表3 最佳延誤松弛時(shí)間與銜接列車

（3）針對(duì)一個(gè)換乘銜接關(guān)系，通過(guò)建立換乘站列車銜接時(shí)間優(yōu)化模型并求解，可得到最佳的延誤松弛時(shí)間，再根據(jù)已知的乘客換乘走行時(shí)間和等待舒適時(shí)間即得到最優(yōu)的換乘銜接時(shí)間。在進(jìn)行網(wǎng)絡(luò)列車運(yùn)行計(jì)劃協(xié)調(diào)時(shí)，需保證在協(xié)調(diào)時(shí)段內(nèi)，該銜接關(guān)系涉及的輸送線路方向的第一列車的到站時(shí)刻與接續(xù)線路方向的第一列車的到站時(shí)刻的時(shí)間差恰好等于最優(yōu)的列車銜接時(shí)間。具體方法是：首先確定輸送線路方向的第一列車的始發(fā)時(shí)刻，并根據(jù)列車區(qū)間運(yùn)行時(shí)間和停站時(shí)間得到該列車在協(xié)調(diào)換乘站的到站時(shí)刻，用此到站時(shí)刻加上最優(yōu)的換乘銜接時(shí)間即得到接續(xù)線路方向的第一列車在協(xié)調(diào)換乘站的到站時(shí)刻，繼而反推出接續(xù)列車的始發(fā)時(shí)刻。同理，以接續(xù)列車來(lái)推算輸送列車也可行。之后，根據(jù)發(fā)車間隔推算后續(xù)列車的到發(fā)時(shí)刻。為保證每個(gè)列車對(duì)在協(xié)調(diào)換乘站都能實(shí)現(xiàn)最佳的銜接狀態(tài)，建議在協(xié)調(diào)時(shí)段內(nèi)兩個(gè)線路方向采用相同的發(fā)車間隔。

4 結(jié)語(yǔ)

城市軌道交通網(wǎng)絡(luò)化運(yùn)營(yíng)條件下，要求運(yùn)營(yíng)管理部門在準(zhǔn)確把握路網(wǎng)客流分布特點(diǎn)的基礎(chǔ)上，協(xié)調(diào)優(yōu)化各線路列車運(yùn)行計(jì)劃，促成不同線路間列車到發(fā)時(shí)刻在換乘站的良好銜接匹配。合理的換乘站列車銜接時(shí)間是制訂網(wǎng)絡(luò)列車運(yùn)行計(jì)劃的基礎(chǔ)，本文考慮列車運(yùn)行隨機(jī)延誤的影響，提出了單個(gè)換乘站的列車銜接時(shí)間優(yōu)化模型，并給出了具體算例。利用該模型可以為列車銜接計(jì)劃中安排的換乘銜接關(guān)系確定最佳的列車銜接時(shí)間。該銜接時(shí)間既符合乘客的等待心理特點(diǎn)，又能夠抵御列車延誤對(duì)銜接關(guān)系的不良影響，可用于指導(dǎo)列車運(yùn)行計(jì)劃的協(xié)調(diào)編制。

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