吳建忠

【摘 要】一些數(shù)學知識之間存在著實質性的聯(lián)系，這種聯(lián)系不僅體現(xiàn)在相同的內容領域，而且也體現(xiàn)在不同的內容領域。幫助學生理解類似的實質性聯(lián)系，是數(shù)學教學的重要任務。

【關鍵詞】平面直角坐標系;數(shù)形結合;認知結構;知識與方法

人教版課標教材九年級下冊“26.3實際問題與二次函數(shù)”25頁的探究3有這樣一個問題：圖中的拋物線形拱橋，當水面在l時，拱頂離水面2m。水面寬4m。水面下降1m，水面寬度增加多少？

本題學生根據(jù)自身的知識基礎、能力水平和解題習慣，自主地建立不同的平面直角坐標系。

根據(jù)學生直角坐標系建立的不同以及解釋方法的不同，將學生整體的思維活動直觀化，展現(xiàn)了學生真實的、獨特的思維方式，學生的數(shù)學思想方法水平和數(shù)學能力結構層次得以充分體現(xiàn)，展示了學生真實的數(shù)學能力結構。

現(xiàn)實生活中的實際問題在二次函數(shù)這一章中占有相當?shù)谋壤滩牧η笞寣W生明白“函數(shù)來源于現(xiàn)實生活，而又服務于現(xiàn)實生活”這樣一個道理。在研究“二次函數(shù)”這一數(shù)學模型時，一直滲透著“數(shù)形結合”的思想和方法。探究3被安排在本章內容最后一節(jié)的最后一個探究，足見其價值，充分體現(xiàn)了初中函數(shù)教學“螺旋上升”的最高境界！

為進一步完善學生的認知結構，提高學生的數(shù)學素養(yǎng)，培養(yǎng)學生的問題意識、應用意識和創(chuàng)新意識，我們常進行如下類似鞏固練習：

例：如圖，公園要建造圓形的噴水池，在水池中央垂直于水面處安裝一個柱子OA，O恰在水面中心，OA=1.25m。水流在各個方向沿形狀相同的拋物線路線落下，為使水流形狀較為漂亮，要求設計成水流在離OA距離為1m處達到距水面最大高度2.25m。

（1）若不計其他因素，那么水池的半徑至少要多少米，才能使噴出的水流不致落到池外？

（2）若水流噴出的拋物線形狀與（1）相同，水池的半徑為3.5m，要使水流不落到池外，此時水流最大高度應達多少米？（精確到0.1m）

學生經過慎思后往往選擇建立如圖所示的平面直角坐標系，如下圖所示：

簡解：（1）由于拋物線的頂點為（1，2.25），因此設y=a（x-1）2+2.25，又圖象過點（0，1.25），所以a=-1，

所以y=-（x-1）2+2.25。令y=0，得x1=-0.5（舍去），x2=2.5。 所以水池的半徑至少要2.5m。

（2）因為拋物線形狀與（1）相同，所以設y=-（x-h）2+k，將點（0，1.25）、（3.5，0）代入，解方程組得h= ，k=3 ≈3.7。 所以此時水流最大高度達3.7m。

恰當?shù)刈寣W生經歷這樣的過程，對于他們理解數(shù)學知識與方法，形成良好的數(shù)學思維習慣、增強應用意識、提高解決問題的能力有著重要的作用。選用這些素材，不僅有利于學生理解所學知識的內涵，還能更好地揭示相關數(shù)學知識之間的內在關聯(lián)，有利于學生從整體上理解數(shù)學，構建數(shù)學認知結構。

止步于此，筆者認為對于發(fā)展學生思維的廣闊性和靈活性還不夠，上述一系列數(shù)學問題的解決只是關注了平面直角坐標法在二次函數(shù)中的應用。但我們更應注意到一些數(shù)學知識之間存在著實質性的聯(lián)系，這種聯(lián)系不僅體現(xiàn)在相同的內容領域，而且也體現(xiàn)在不同的內容領域。幫助學生理解類似的實質性聯(lián)系，是數(shù)學教學的重要任務。

后續(xù)教學中，拓展類似的問題是很有必要的。例：（2013年福建·龍巖卷，第9題）如圖，邊長分別為4和8的兩個正方形ABCD和CEFG并排放在一起，連結BD并延長交EG于點T，交FG于點P，則GT=（ ?）

（A）. ?（B）.2 ?（C）.2 ?（D）.1

本題運用正方形的性質，等腰直角三角形的性質和判定可以求解;運用相似三角形的有關知識也可以求解。筆者認為運用平面直角坐標系法也是一個不錯的選擇。如圖，可根據(jù)點的坐標求出直線BP與直線GE的函數(shù)解析式，然后求出交點T的坐標，再用兩點間的距離公式求出GT的長。

又例：（2014年黑龍江·農墾卷，第28題）如圖，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，AC=8，BC=6，CD⊥AB于點D。點P從點D出發(fā)，沿線段DC向點C運動，點Q從點C出發(fā)，沿線段CA向點A運動，兩點同時出發(fā)，速度都為每秒1個單位長度，當點P運動到C時，兩點都停止.設運動時間為t秒。

（1）求線段CD的長;

（2）設△CPQ的面積為S，求S與t之間的函數(shù)關系式，并確定在運動過程中是否存在某一時刻t，使得S△CPQ：S△ABC=9：100？若存在，求出t的值;若不存在，說明理由。

（3）當t為何值時，△CPQ為等腰三角形？

分析：（1）利用勾股定理可求出AB長，再用等積法就可求出線段CD的長。

（2）過點P作PH⊥AC，垂足為H，通過三角形相似即可用t的代數(shù)式表示PH，從而可以求出S與t之間的函數(shù)關系式;利用S△CPQ：S△ABC=9：100建立t的方程，解方程即可解決問題。

（3）可分三種情況進行討論：由CQ=CP可建立關于t的方程，從而求出t;由PQ=PC或QC=QP不能直接得到關于t的方程，可借助于等腰三角形的三線合一及三角形相似，即可建立關于t的方程，從而求出t。

對于（2）、（3）兩個問題，筆者認為建立如圖所示的平面直角坐標系，可得Q（0，t）。過點P作PH⊥CB，垂足為H（作y軸的垂線也可），利用相似三角形的知識可以求出PH=0.6（4.8-t），CH=0.8（4.8-t），所以P（0.8（4.8-t），0.6（4.8-t））。問題（2）：利用S△CPQ：S△ABC=9：100建立t的方程迎刃而解。問題（3）：CQ=t，CP=4.8-t，運用兩點間的距離公式得QP2=〔0.8（4.8-t）〕2+〔0.6（4.8-t）-t〕2。然后分三種情況建立關于t的方程求解即可。這樣的解題思路很流暢，一氣呵成，可謂心曠神怡。

由此，我們可以看到：利用平面直角坐標系可以把數(shù)與圖形有機地結合起來，有利于用代數(shù)方法研究幾何問題，也有利于借助圖形直觀地探索數(shù)量關系的規(guī)律性。在義務教育階段的數(shù)學學習中，我們希望學生除了獲得必要的數(shù)學知識與技能外，還能感悟數(shù)學的基本思想，回歸數(shù)學的本質，發(fā)揮數(shù)學教學的最大價值。

【參考文獻】

[1]中華人民共和國教育部制定.義務教育數(shù)學課程標準（2011年版）.北京師范大學出版社，2012.1

[2]馬復，凌曉牧.新版課程標準解析與教學指導（初中數(shù)學）.北京師范大學出版社，2012.7

（作者單位：江蘇省海門市常樂初級中學）