摘 要：圖形計算器是一種集數(shù)值計算、函數(shù)圖象顯示、編程、數(shù)據(jù)分析等功能于一身的掌上計算器，作為一種新型的數(shù)學實驗工具，它具備符號代數(shù)系統(tǒng)、幾何操作系統(tǒng)、數(shù)據(jù)分析系統(tǒng)等，可以直觀地繪制各種圖形，并進行動態(tài)演示、軌跡跟蹤. 運用圖形計算器輔助教學，建構以學生為主體的課堂教學模式，不僅能充分調動學生的積極性，激發(fā)學生的求知欲，活躍學生的思維，拓展學生的想象力，而且在提高課堂效果，優(yōu)化課堂結構等方面都起著不可估量的作用. 但是利用圖形計算器只能作為教學手段的一種補充，并不能完全替代教師的講授、板書等常規(guī)的教學方法，如若不能“恰當”使用，只會畫蛇添足、嘩眾取寵.

關鍵詞：圖形計算器；恰當使用；高中數(shù)學教學

隨著現(xiàn)代教育技術的突飛猛進以及對教育要求的不斷提高，傳統(tǒng)的教學手段——一支粉筆加一塊黑板的方式有些不適應教學的要求. 圖形計算器（Graphing Calculator，以下簡稱為GC）是一種集數(shù)值計算、函數(shù)圖象顯示、編程、數(shù)據(jù)分析等功能于一身的掌上計算器，作為一種新型的數(shù)學實驗工具，它具備符號代數(shù)系統(tǒng)、幾何操作系統(tǒng)、數(shù)據(jù)分析系統(tǒng)等，可以直觀地繪制各種圖形，并進行動態(tài)演示、軌跡跟蹤. 它為數(shù)學思想提供可視化的圖像，使組織和分析數(shù)據(jù)容易實現(xiàn)，計算更有效和準確，它們可以支持學生在數(shù)學各個領域的研究，比如幾何、統(tǒng)計、代數(shù)、測量和編程. 學生可以集中精力于做出選擇、反思、推理和問題解決. 運用圖形計算器輔助教學，建構以學生為主體的課堂教學模式，不僅能充分調動學生的積極性，激發(fā)學生的求知欲，活躍學生的思維，拓展學生的想象力，而且在提高課堂效果，優(yōu)化課堂結構等方面都起著不可估量的作用. 但是利用圖形計算器只能作為教學手段的一種補充，并不能完全替代教師的講授、板書等常規(guī)的教學方法，如若不能“恰當”使用，只會畫蛇添足、嘩眾取寵. 本文就如何在數(shù)學課堂教學中合理使用圖形計算器，優(yōu)化數(shù)學課堂教學，提高教學質量等方面結合筆者的一些親身經(jīng)歷做一些探討.

[?] 恰當使用圖形計算器，激發(fā)學習興趣

托爾斯泰說：“成功的教學所需要的不是強制，而是激發(fā)學生的興趣.”數(shù)學本身比較抽象、枯燥，單一傳統(tǒng)的數(shù)學教學方式容易造成學生數(shù)學學習興趣的淡薄. 圖形計算器走進課堂，有利于激發(fā)學生的學習興趣和欲望，心理學告訴我們：“興趣是人們對事物的選擇性態(tài)度，是積極認識某種事物或參加某種活動的心理傾向.它是學生積極獲取知識形成技能的重要動力.” 興趣之根本在于它是使得學生知識的形成是主動式的，而非傳統(tǒng)的被動式形成；圖形計算器以生動、優(yōu)美的圖案直觀形象地再現(xiàn)了客觀事物，能集中學生的注意力，調動學生的積極性，提高學生的興趣，使之轉化為學習的激情.

良好的開端是成功的一半. 在每一章節(jié)的導入時，可以設法尋找相關材料，運用圖形計算器展現(xiàn)給學生，激發(fā)他們的好奇心和求知欲. 比如在講解函數(shù)時，可以給學生展示生活中我們經(jīng)常見到的著名品牌的商標：

同時我們也可以展示一個自己繪制利用圖形計算器繪制的商標：

我們還可以利用圖形計算器輸入如圖1所示的函數(shù)，可以繪制出栩栩如生的蝴蝶.

[?] 恰當使用圖形計算器，突破重點難點

數(shù)學知識具有高度的抽象性，要使學生理解抽象的概念，這就需要為他們提供豐富的感性材料，使其借助具體形象進行思維，進而理解和掌握抽象的知識. 使用圖形計算器能直觀、形象、動態(tài)地展示知識的形成過程，在解決某些數(shù)學問題時，有利于啟迪學生的思維，讓學生去尋找解決問題的途徑和方法. 利用圖形計算器能更充分地發(fā)揮各種媒體深刻的表現(xiàn)力和良好的重現(xiàn)力，它所展現(xiàn)的信息既能看得見，又能自己動手操作，親身體驗，這種多層次的表現(xiàn)力和多樣性，有利于啟發(fā)和培養(yǎng)學生的思維能力，有利于學生對知識的獲取和保持.

片段：研究函數(shù)y=x+（a>0）的圖象及性質.

在函數(shù)的教學中，遇到函數(shù)y=x+的時候，老師會直接給出它的圖象和關鍵點，并讓學生牢記，以便運用. 學生可利用圖形計算器作出它的圖象，總結出它的性質，和以前老師講解的進行驗證比對.

①利用圖形計算器作出函數(shù)y=x+的圖象.

②畫出函數(shù)圖象后，利用坐標跟蹤功能可度量出函數(shù)圖象在第一象限和第三象限的最低點的橫坐標是1和-1.

③歸納性質：函數(shù)的單調遞增區(qū)間是（-∞，-1）和（1，+∞），單調遞減區(qū)間是（-1，0）和（0，1），圖象關于原點對稱，是一個奇函數(shù).

④拓展延伸：由此，我們又畫出了y=x+的圖象，發(fā)現(xiàn)了圖象在第一象限和第三象限的最低點的橫坐標分別是和-.

可知：圖象在第一象限和第三象限的最低點的橫坐標是和-，并且函數(shù)的單調遞增區(qū)間是（-∞，-）和（，+∞），單調遞減區(qū)間是（-，0）和（0，），圖象關于原點對稱，是奇函數(shù).

學生可以通過更多的操作，感知和體會知識的發(fā)生過程及數(shù)學問題的本質，方便學生對規(guī)律的探究和結果的驗證. 這樣的學習不僅僅使學生獲取知識更具有實踐性、主動性，同時也有助于學生形成一種良好的學習習慣和學習觀念，讓學生認識到：數(shù)學的學習不能只是被動地接受，而是需要自己主動地建構.

[?] 恰當使用圖形計算器，提高學習效率

圖形計算器功能強大，其幾何繪圖系統(tǒng)既可進行常規(guī)作圖，還能進行動態(tài)演示、變換，便于展示知識形成過程. 它打破了單一的黑板靜態(tài)教學模式，以動態(tài)演示，可控過程及代數(shù)研究相結合的形式，直觀地表現(xiàn)出問題的數(shù)與形關系，也就是利用圖形計算器技術可創(chuàng)設精彩的教學情境，以增加教學的直觀性和學生的參與性. 更重要的是，利用圖形計算器可對實驗數(shù)據(jù)進行定性和定量分析，便于學生“做”數(shù)學，又可以從圖形變換的層次和整體中幫助學生抓住事物的本質，促進學生由形象思維向抽象思維轉化，加強對數(shù)學概念的理解.

利用GC，可以使課堂教學密度加大，教師可根據(jù)教學內容精心組織材料，擴大課堂容量，提高教學效果.

片段：在講解y=sin（x+φ）（φ≠0）的周期變換、振幅變換、相位變換時，探究φ對y=sin（x+φ）（φ≠0）的圖象的影響，傳統(tǒng)的教學模式是：先用“五點法”作幾個函數(shù)的圖象，如：y=sinx，y=sin

x+

，y=sin

x-

；

再通過圖象的比較，來發(fā)現(xiàn)結果. 這樣，在課堂上需要耗費大量的時間作圖，沖散了本節(jié)課的重點.

有了手持計算器的幫助，畫圖已不再困難，學生就可以把大量的時間放在規(guī)律的探索發(fā)現(xiàn)、歸納總結以及課堂鞏固訓練上，從而加大了課堂容量，提高了課堂效率.

課前布置復習任務：分別用“五點法”及GC作出下列函數(shù)的圖象.

在用GC作圖時，先把x軸的單位刻度設定為，以便于觀察圖象的變化特點.

提出問題：函數(shù)y=sin（x+φ）（φ≠0）的圖象與y=sinx的圖象有什么關系？

讓學生觀察y=sinx的圖象與y=sin

x+

及y=sin

x-

的圖象，說出它們的變換關系.

思考：對于任意φ，上述變換關系是否也成立？

學生經(jīng)過討論發(fā)現(xiàn)可以用圖形計算機中的APLET——Trig Explorer功能進行演示：

當φ>0時

當φ<0時

由此經(jīng)過討論得出一般結論：

一般地，函數(shù)y=sin（x+φ）（φ≠0）的圖象，可以看做是將y=sinx函數(shù)上所有的點向左（當φ>0時）或向右（當φ<0時）平移φ個單位長度而得到的.

[?] 恰當使用圖形計算器，培養(yǎng)探究能力

利用hp39gs能更充分地發(fā)揮各種媒體深刻的表現(xiàn)力和良好的重現(xiàn)力，它所展現(xiàn)的信息既能看得見，又能自己動手操作，親身體驗，這種多層次的表現(xiàn)力和多樣性，有利于啟發(fā)和培養(yǎng)學生的思維能力，有利于學生對知識的獲取和保持.

1. 提出問題

在課上，我們已經(jīng)掌握了：當兩圓相交時，公共弦所在的直線方程可以將兩圓方程左邊相減得到. 在后來做題過程中，又發(fā)現(xiàn)一個問題：我們還是運用這樣的辦法求兩圓的公共弦，但是兩圓不相交，當然這樣的結論不成立. 老師提出問題：當兩圓不相交時，兩圓方程左邊相減得到的方程代表什么呢？下面分圓的幾種位置關系加以研究.

2. 問題探究

（1）兩圓相切情形

（1）代數(shù)上：x2+y2=1①，

（x-2）2+y2=1②，

①-②得x=1，

兩圓圓心連線所在直線的方程：y=0.

圖象上：

（2）代數(shù)上：（x+1）2+（y+2）2=2①，

（x-2）2+（y-1）2=8②，

①-②得y=-x-1，

兩圓圓心連線所在直線的方程：y=x-1.

圖象上：

（3）代數(shù)上：x2+y2=1①，

（x-3）2+（y-4）2=36②，

①-②得y=-x-，

兩圓圓心連線所在直線的方程：y=x.

圖象上：

結論：兩圓相減以后所得方程對應的直線為兩圓的公切線.

（2）兩圓外離情形

（1）代數(shù)上：x2+y2=1①，

（x-5）2+y2=1②，

①-②得x=，

兩圓圓心連線所在直線的方程：y=0.

圖象上：

（2）代數(shù)上：x2+y2=1①，

（x-2）2+（y-3）2=1②，

①-②得y=-x+，

兩圓圓心連線所在直線的方程：y=x.

圖象上：

（3）代數(shù)上：（x-2）2+（y-2）2=1①，

（x-3）2+（y-4）2=2②，

①-②得y=-x+4，

兩圓圓心連線所在直線的方程：y=2x-2.

圖象上：

結論：當兩圓為等圓時，兩圓相減以后所得方程對應的直線為兩圓的連心線的中垂線；

當兩圓不等時，兩圓相減以后所得方程對應的直線與兩圓的連心線垂直，位置上更靠近小圓的一側.

（3）兩圓內含情形

代數(shù)上：（x-1）2+（y-1）2=2①，

（x-2）2+（y-2）2=9②，

①-②得y=-x-，

兩圓圓心連線所在直線的方程：y=x.

圖象上：

結論：兩圓相減以后所得方程對應的直線與兩圓的連心線垂直.

3. 拓展思考

在兩不等圓外離或內含情形下，從圖象上只能看出直線與兩圓連心線垂直，至于是否可以定量地確定在連心線上的位置，怎樣確定在連心線上的位置，這還應做進一步的探究.

[?] 使用圖形計算器，課堂教學中貴在恰當

1. 要充分體現(xiàn)圖形計算器的工具性與輔助性

由于GC在輔助教學上顯現(xiàn)出的強大功能和突出優(yōu)勢，因此備受廣大教師的青睞. 然而，事物總有它的另一面，我們應該清醒地認識到在數(shù)學教學中GC仍然居于輔助地位，而不是主導地位. 運用GC教學應考慮選材的科學性和針對性，并非所有的內容都適合使用GC來表現(xiàn)，GC始終只是教學輔助手段，它應該為促進教學而運用.

2. 課堂教學要體現(xiàn)圖形計算器教學的適度性

教學過程是教與學的過程，是以教材為媒介的師生雙方的共同認識的活動，這一認識活動的主體既是教師，也是學生. 教學手段現(xiàn)代化并不排斥傳統(tǒng)的教學手段，數(shù)學學習必須通過數(shù)學思維活動、學習數(shù)學思維活動的成果來發(fā)展數(shù)學思維. 因此，數(shù)學教學中必須為學生展示數(shù)學知識的形成過程. 在利用GC畫圖時，雖然節(jié)省了時間，但是學生不了解思考的過程，學生就不能獨立畫出符合要求的圖形. 如：在“五點法作圖”教學中，老師必須在黑板上一步一步地作圖，學生一步一步地作圖，這樣學生才會掌握作圖的基本方法，而通過手持計算器直接畫出，再展示給學生看，收效不是很大. 下表是筆者所教實驗班和對照班的實驗結果：

[＼班級

人數(shù)＼教學

手段＼掌握作圖

方法人數(shù)

所占比例＼高一（2）＼37＼計算器展示＼43.2%＼高一（6）＼36＼板書演示＼72.2%＼]

我們在數(shù)學教學過程中，不能過分注重直觀教學，要注意學生形象思維的培養(yǎng). 如果過分依賴直觀形象材料，則不利于學生的思維從具體到抽象、從感性到理性，勢必會延緩這個過渡，阻礙學生抽象思維能力的發(fā)展.

任何一種工具，都有其優(yōu)勢和不足. 教師要根據(jù)數(shù)學學科特點、教學內容特點，恰當?shù)乩肎C，充分發(fā)揮GC的長處，才能產(chǎn)生最佳的教學效果. 現(xiàn)代教育手段在數(shù)學教學中，通過變抽象為形象的方法，會使學生有效地掌握知識. 然而，數(shù)學教學的重要目標之一就是培養(yǎng)學生的抽象思維能力，過多地把抽象數(shù)學用具體形象的媒體進行教學，會影響學生抽象思維的發(fā)展，造成學生對具體形象思維方式的依賴. 為了避免其可能造成的負面影響，這里應考慮一個“量”與“度”的問題.

3. 課堂教學要體現(xiàn)探究性、趣味性、生成性

近幾年來，我國新的基礎教育課程改革，把探究性學習放在了突出地位，強調在學科領域，要為學生創(chuàng)設探究性學習的空間. GC就是一個很好的探究工具！有了圖形計算器的幫助，我們可以轉變我們的傳統(tǒng)的教學方式，得到新的數(shù)學學習方法：提出問題→實驗→觀察→猜想→證明. 這樣才能使數(shù)學教學在培養(yǎng)學生“創(chuàng)造、歸納、演繹、數(shù)學建?！彼姆N能力方面真正起作用.

數(shù)學本身比較抽象、枯燥，單一傳統(tǒng)的數(shù)學教學方式容易造成學生數(shù)學學習興趣的淡薄. GC走進課堂，在很大程度上解決了傳統(tǒng)教學中的枯燥乏味. 它以生動、優(yōu)美的圖案直觀形象地再現(xiàn)了客觀事物，能集中學生的注意力，調動學生的積極性，提高學生的興趣，使之轉化為學習的激情.

應該充分認識到，運用GC直觀形象地進行數(shù)學教學，使思維活動積極化，形成感性形象，幫助學生從形象思維向抽象思維過渡只是一種手段，而不是目的. 當學生積累了一定的感性認識后，要從形象思維與抽象思維和諧發(fā)展的高度，不失時機地引導學生進行抽象和概括，把認識提高到理性階段.

總之，圖形計算器的恰當運用不僅能夠提高課堂教學效率，而且還能使學生的學習活動不受時間和空間的限制，改變傳統(tǒng)封閉式、被動接受、統(tǒng)一的教學方式，逐漸形成富有啟發(fā)性的、探究式的、開放式的、個性化的學習局面，有利于自主探究學習方式的形成，有利于創(chuàng)新型人才的培養(yǎng)，更為終身教育奠定了基石. 作為一種新技術，圖形計算器將幫助學生更好地研究、探索數(shù)學奧秘，給學生的學習帶來無窮的樂趣和激情. 同時將圖形計算器應用于數(shù)學教學，必須從實際出發(fā)，注重實效. 這當中很多問題有待于我們去研究. 新事物的出現(xiàn)需要有一個不斷完善的過程. 教育手段現(xiàn)代化的關鍵在于教師，有教育思想現(xiàn)代化的教師，才有可能實現(xiàn)教育的現(xiàn)代化.