摘 要：2014重慶數(shù)學(xué)高考題壓軸題有著深刻的高等數(shù)學(xué)背景，試題要求學(xué)生用初等數(shù)學(xué)的方法解決數(shù)列問題，能很好地考查學(xué)生的數(shù)學(xué)能力，而這些能力在繼續(xù)學(xué)習(xí)高等數(shù)學(xué)知識時也是很重要的.

關(guān)鍵詞：重慶高考；壓軸題；數(shù)列；單調(diào)有界原理；極限

[?] 問題的提出

（2014重慶·理·22） 設(shè)a1=1，an+1=+b（n∈N*）.

（1）若b=1，求a2，a3及數(shù)列{an}的通項公式；

（2）若b=-1，問：是否存在實數(shù)c使得a2n

[?] 背景解讀

該題的第（2）問是以高等數(shù)學(xué)知識為背景命制的，這類試題立意高遠(yuǎn)、內(nèi)涵豐富. 但這種試題所提供的“參考答案”是初等數(shù)學(xué)的解法，通常是思維量大，計算復(fù)雜，教師很難理解. 對于本題的第（2）問，如果運(yùn)用數(shù)學(xué)分析中的單調(diào)有界原理去解答，有助于我們洞悉問題的本質(zhì)，甚至可以讓本題的結(jié)果更具有一般性.

單調(diào)有界原理的內(nèi)容如下：

（1）單調(diào)遞增有上界的數(shù)列必有極限，且它的極限等于數(shù)列的上確界；

（2）單調(diào)遞減有下界的數(shù)列必有極限，且它的極限等于數(shù)列的下確界.

利用單調(diào)有界定理只能用于證明數(shù)列極限的存在性，如何求極限需用其他方法.

[?] 證明過程

證明：（1）略.

（2）考察函數(shù)f（x）=-1，

易知f（x）在區(qū)間[0，1]上單調(diào)遞減，且當(dāng)x∈[0，1]時，有f（x）∈[0，1]成立.

因為a1=1∈[0，1]，由數(shù)學(xué)歸納法可知an∈[0，1].

由計算知，a2=f（a1）=0，a3=f（a2）=-1.

即有a1>a3成立.

又因為f（x）在區(qū)間[0，1]上單調(diào)遞減，所以a2=f（a1）

同理可知，a3=f（a2）>f（a4）=a5.

一直下去，可得：

a1>a3>…>a2n-1>a2n+1（n∈N），

a2

即{a2n-1}，{a2n}（n∈N）分別是兩個單調(diào)有界數(shù)列，利用單調(diào)有界原理可得：

a2n=A，a2n+1=B，

a2nB（n∈N*）.

下證A=B=.

因為a2n+1=-1，a2n+2=-1，

對上式兩邊取極限可得B=-1，A=-1，

解得A=B=.

所以存在常數(shù)c=，使得a2n

[?] 改進(jìn)與延伸

由以上證明可知，是數(shù)列{a2n-1}的下確界，是數(shù)列{a2n}的上確界，所以有更一般的結(jié)論：a2n<

實際上，當(dāng)?shù)冢?）問中的b<0時，仍有類似的結(jié)論成立.

（1）當(dāng)b<0時，有a1=1，a2=1+b，a3=+b，a1∈[1+b，1]，a2∈[1+b，1]，a3∈[1+b，1]成立.

當(dāng)x∈[1+b，1]時，f（x）∈[1+b，1].

因此，an∈[1+b，1].

當(dāng)b<0時，有a1>a3成立.

類似地可以證明：a1>a3>…>a2n-1>a2n+1（n∈N），a2

即{a2n-1}，{a2n}（n∈N）分別是兩個單調(diào)有界數(shù)列，利用單調(diào)有界原理可得：

a2n=A，a2n+1=B，a2nB（n∈N*） .

因為a2n+1=+b，a2n+2=+b，

對上式兩邊取極限可得B=+b①，A=+b②.

由①2-②2得（B-A）（B+A-b-1）=0，

若B+A-b-1=0，代入①式得-A+b+1=+b，

化簡得1=2矛盾.

所以有A=B成立.

將A=B代入①式解得A=B=，

所以存在常數(shù)c=A=B=，此時a2n

（2）當(dāng)b=0時，an=1. 所以此時數(shù)列{an}沒有類似第（2）問的性質(zhì).

（3）當(dāng)b>0時，{an}是一個遞增的數(shù)列，所以此時沒有類似第（Ⅱ）問的性質(zhì).

我們還可以對題目中的遞推公式一般化，來編制類似的題目，這里就不再贅述.