摘 要：三次函數(shù)圖象的對稱性是高考的熱點問題，任何一個三次函數(shù)f（x）=ax3+bx2+cx+d（a≠0）都有“拐點”

且“拐點”就是對稱中心；對稱中心在導函數(shù)y=f ′（x）的對稱軸上；若三次函數(shù)y=f（x）的兩個極值點為x1，x2，設P（x1，f（x1）），Q（x2，f（x2）），則三次函數(shù)f（x）的對稱中心是線段PQ的中點；通過引申更得出具有對稱中心的單調函數(shù)的重要性質. 這些性質在高考中廣泛的應用.

關鍵詞：三次函數(shù)；對稱中心

[?] 提出問題

引例：（2013年北京昌二模（14））

對于三次函數(shù)f（x）=ax3+bx2+cx+d（a≠0），給出定義：

設f ′（x）是函數(shù)y=f（x）的導數(shù)（也叫f（x）一階導數(shù)），f ″（x）是函數(shù)f ′（x）的導數(shù)（也叫f（x）二階導數(shù)），若方程f ″（x）=0有實數(shù)解x0，則稱點（x0，f（x0））為函數(shù)y=f（x）的“拐點”. 某同學經(jīng)過探究發(fā)現(xiàn)：任何一個三次函數(shù)都有“拐點”；任何一個三次函數(shù)都有對稱中心，且“拐點”就是對稱中心.

給定函數(shù)f（x）=x3-x2+3x-，請你根據(jù)上面探究結果，解答以下問題：

①函數(shù)f（x）=x3-x2+3x-的對稱中心坐標為________；

②計算f

x）=x3-x2+3x-，所以f ′（x）=x2-x+3，所以f ″（x）=2x-1=0，得x=，

所以對稱中心為

②對稱中心為

如何證明同學的發(fā)現(xiàn)：

（1）任何一個三次函數(shù)f（x）=ax3+bx2+cx+d（a≠0）都有“拐點”；

（2）任何一個三次函數(shù)f（x）=ax3+bx2+cx+d（a≠0）都有對稱中心，且“拐點”就是對稱中心.

[?] 問題探究

結論1：任何一個三次函數(shù)f（x）=ax3+bx2+cx+d（a≠0）都有“拐點”

證明：因為f（x）=ax3+bx2+cx+d（a≠0），所以f ′（x）=3ax2+2bx+c，

所以f ″（x）=6ax+2b=0，得x=-.

所以任何一個三次函數(shù)f（x）=ax3+bx2+cx+d（a≠0）都有“拐點”

結論2：任何一個三次函數(shù)f（x）=ax3+bx2+cx+d（a≠0）都有對稱中心

方法1：

證明：設三次函數(shù)f（x）=ax3+bx3+cx+d（a≠0）有對稱中心（m，n），則

f（x+m）+f（-x+m）=2n，

化簡得：（3ma+b）x2+am3+bm2+cm+d-n=0.

上式對x∈R恒成立，故3ma+b=0，am3+bm2+cm+d-n=0，

得m=-，

方法2：

引理：若函數(shù)y=f（x）在定義域D上可導，且a∈D，則函數(shù)y=f（x）的圖象關于點（a，f（a））對稱?函數(shù)y=f ′（x）的圖象關于直線x=a對稱.

證明：“?”，函數(shù)y=f（x）的圖象關于點（a，f（a））對稱?f（x）+f（2a-x）=2f（a）在x∈D時恒成立，把此式兩邊對x求導，得f ′（x）-f ′（2a-x）=0，即f ′（x）=f ′（2a-x）

因為該式在x∈D時恒成立，所以函數(shù)y=f ′（x）的圖象關于直線x=a對稱.

“?”，函數(shù)y=f ′（x）的圖象關于直線x=a對稱?f ′（x）=f ′（2a-x）?f ′（x）-f ′（2a-x）=0，

即（f（x）+f（2a-x））′=0在x∈D時恒成立，所以f（x）+f（2a-x）=常數(shù)C（x∈D）.

又a∈D，所以在該式中令x=a，得C=2f（a），所以f（x）+f（2a-x）=2f（a）在x∈D時恒成立，

即函數(shù)y=f（x）的圖象關于點（a，f（a））對稱.

結論2證明：

由引理知，只需證明拋物線y′=3ax2+2bx+c（a≠0）關于直線x=-對稱. 而這是成立的，所以欲證成立.

由前面證明過程可知，

結論3：三次函數(shù)y=f（x）圖象的對稱中心在導函數(shù)y=f ′（x）的對稱軸上；若三次函數(shù)y=f（x）的兩個極值點為x1，x2，設P（x1，f（x1）），Q（x2，f（x2）），則三次函數(shù)f（x）的對稱中心是線段PQ的中點.

[?] 問題引申

結論4：

若函數(shù)f（x）（x∈D）圖象關于點（h，k）成中心對稱，且在定義域D內(nèi)存在二階導數(shù)，則f ″（h）=0.

證明：因為函數(shù)f（x）（x∈D）圖象關于點（h，k）成中心對稱，所以f（x）+f（2h-x）=2k對一切x∈D成立，

兩邊對x求導得f ′（x）-f ′（2h-x）=0；

兩邊再對x求導得，f ″（x）+f ″（2h-x）=0. 由于此式對一切x∈D成立，

令x=h，代入即得f ″（h）=0.

說明：對函數(shù)f（x），f ″（h）=0僅是h為對稱中心橫坐標的必要條件，即對任意函數(shù)f（x）來說，方程f ″（x）=0的解h不一定就是對稱中心的橫坐標（比如f（x）=x4），還要檢驗式子f（x）+f（2h-x）是否對一切x∈D恒為常數(shù)（設為2k）. 若是，則f（x）為中心對稱函數(shù)，且對稱中心為（h，k）；若不是，說明f（x）不具有中心對稱性質.

結論5：

已知函數(shù)f（x）關于點（h，k）成中心對稱，

（1）若a+b=2h，則f（a）+f（b）=2k；

（2）若{an}是公差不為0的等差數(shù)列，且ai=nh，則必有f（ai）=nk.

證明：（1）因為若a+b=2h，則f（a）+f（b）=f（a）+f（2h-a）=2k得證.

（2）因為{an}是等差數(shù)列，由ai=nh得·n=nh（i=1，2，…，n），ai+an+1-i=2h，

故由（1）得f（ai）+f（an+1-i）=2k（i=1，2，…n）. 令T=f（ai），倒序得T=f（ai），兩式相加得2T=（f（ai）+f（an+1-i））=2nk，所以T=f（ai）=nk得證.

結論6：

已知單調函數(shù)f（x）關于點（h，k）成中心對稱，

（1）若f（a）+f（b）=2k，則a+b=2h；

（2）若{an}是公差不為0的等差數(shù)列，且f（ai）=nk，則必有ai=nh.

證明：（1）由f（a）+f（b）=2k?f（a）=2k-f（b）=f（2h-b）?f（a）=f（2h-b）. 因為f（x）單調，所以a=2h-b，即a+b=2h得證.

（2）（反證法）假設ai≠nh，不妨設ai>nh，

則·n>nh（i=1，2，…，n），即ai>2h-an+1-i.

當f（x）為增函數(shù)時，f（ai）>f（2h-an+1-i）=2k-f（an+1-i），

從而f（ai）+f（an+1-i）>2k（i=1，2，…n）.

設T=f（ai），倒序得T=f（ai），兩式相加得2T=（f（ai）+f（an+1-i））>2nk，所以T=f（ai）>nk，這與已知條件T=f（ai）=nk矛盾；

同理，當f（x）為減函數(shù)時，得T=f（ai）

[?] 應用

例1 （2013課標全國Ⅱ）已知函數(shù)f（x）=x3+ax2+bx+c，下列結論中錯誤的是（ ）

A. ?x0∈R，f（x0）=0

B. 函數(shù)y=f（x）的圖象是中心對稱圖形

C. 若x0是f（x）的極小值點，則f（x）在區(qū)間（-∞，x0）單調遞減

D. 若x0是f（x）的極值點，則f′（x0）=0

答案：C.

解析：因為x0是f（x）的極小值點，則y=f（x）的圖象大致如圖1所示，則在（-∞，x）上不單調，故選C.

評注：A、D容易判斷是正確的，B教材上沒講，需要教師補充三次函數(shù)的圖象對稱性.

例2 （2004重慶）設函數(shù)f（x）=x（x-1）（x-a）（a>1），

（1）求導數(shù)f ′（x），并證明f（x）有兩個不同的極值點x1，x2；

（2）若不等式f（x1）+f（x2）≤0成立，求a的取值范圍.

解析：

（1）f ′（x）=3x2-2（1+a）x+a.

令f ′（x）=0得方程3x2-2（1+a）x+a=0.因Δ=4（a2-a+1）>0，故方程有兩個不同實根x1，x2，

不妨設x1

當x0；當x1x2時，f ′（x）>0，

因此x1是極大值點，x2是極小值點.

（2）由結論3，三次函數(shù)f（x）的兩個極值點為x1，x2，設P（x1，f（x1）），Q（x2，f（x2）），則三次函數(shù)f（x）的對稱中心

是線段PQ的中點，所以，=f

因為f（x1）+f（x2）≤0，故得不等式f

解不等式得a≥2或a≤（舍去），

因此，當a≥2時，不等式f（x1）+f（x2）≤0成立.

評注：熟悉三次函數(shù)的對稱性，就能看出命題者的意圖，從而思路自然.

例3 （2009福建）已知函數(shù)，且f ′（-1）=0，

（1）試用含a的代數(shù)式表示b，f（x）=x3+ax2+bx；

（2）略；

（3）令a=-1，設函數(shù)f（x）在x1，x2（x1

證明：線段MN與曲線f（x）存在異于M，N的公共點.

解析：（1）依題意，得f ′（x）=x2+2ax+b，

由f ′（-1）=1-2a+b=0得b=2a-1.

（3）當a=-1時，得f（x）=x3-x2-3x.

由f ′（x）=x2-2x-3=0，得x1=-1，x2=3.

由（2）得f（x）的單調增區(qū)間為（-∞，-1）和（3，+∞），單調減區(qū)間為（-1，3），

所以函數(shù)f（x）在x=-1，x=3處取得極值.

故M

-1，

，N（3，-9），所以直線MN的方程為y=-x-1.

由

y=x3-x2-3x，

y=-x-1得x3-3x2-x+3=0.

令F（x）=x3-3x2-x+3，

易得F（0）=3>0，F(xiàn)（2）=-3<0，而F（x）的圖象在（0，2）內(nèi)是一條連續(xù)不斷的曲線，

故F（x）在（0，2）內(nèi)存在零點x0，這表明線段MN與曲線f（x）有異于M，N的公共點

評注：該題的第（3）問，由結論3，根據(jù)三次函數(shù)的對稱性，不難理解存在該點即對稱中心，于是可直接求出對稱中心

1，-

，即為MN的中點.

例4 （2012四川）設函數(shù)f（x）=（x-3）3+x-1，{an}是公差不為0的等差數(shù)列，f（a1）+f（a2）+…+f（a7）=14，則a1+a2+…+a7等于（ ）

A. 0 B. 7 C. 14 D. 21

解析：因為函數(shù)f（x）=（x-3）3+x-1，其導函數(shù)f ′（x）=3（x-3）2+1，所以f（x）在R上單調遞增，二階求導得f ″（x）=6（x-3）. 令f ″（x）=0得x=3，且f（3）=2，

所以f（x）的對稱中心為（3，2），由于f（a1）+f（a2）+…+f（a7）=14=7×2.

所以由結論6，即得a1+a2+…+a7=7×3=21，故選D.

評注：知道f（x）的對稱中心為（3，2），并注意到f（a1）+f（a2）+…+f（a7）=14，14是中心對稱縱坐標的整數(shù)倍是解決問題的關鍵.

例5 （2007湖南）已知函數(shù)f（x）=x3+ax2+bx在區(qū)間[-1，1），（1，3]內(nèi)各有一個極值點.

（1）求a2-4b的最大值；

（2）當a2-4b=8時，設函數(shù)y=f（x）在點A（1，f（1））處的切線為l，若l在點A處穿過函數(shù)y=f（x）的圖象（即動點在點A附近沿曲線y=f（x）運動，經(jīng)過點A時，從l的一側進入另一側），求函數(shù)f（x）的表達式.

解析：（1）略.

（2）由f ′（1）=1+a+b知f（x）在點（1，f（1））處的切線l的方程是

y-f（1）=f ′（1）（x-1），即y=（1+a+b）x--a.

因為切線l在點A（1，f（x））處穿過y=f（x）的圖象，

所以g（x）=f（x）-

（1+a+b）x--a

在x=1兩邊附近的函數(shù)值異號，則x=1不是g（x）的極值點.

而g（x）=x3+ax2+bx-（1+a+b）x++a，且

g′（x）=x2+ax+b-（1+a+b）=x2+ax-a-1=（x-1）（x+1+a）.

若1≠-1-a，則x=1和x=-1-a都是g（x）的極值點.

所以1=-1-a，即a=-2，又由a2-4b=8，得b=-1，故f（x）=x3-x2-x.

評注：本題中“切線l在點A處穿過函數(shù)y=f（x）的圖象”實際上是指點A處是函數(shù)的拐點（三次函數(shù)f（x）的對稱中心）. 對稱中心橫坐標-=1，得a=-2.