摘 要：近年高考壓軸填空題常常出現(xiàn)多元最值問題，這類試題靈活多變，形式新穎，學生難以掌握. 事實上，此類試題源于課本的一道例題，因此本文全方位、多角度探究這道課本例題，從而破解高考難點.

關鍵詞：圓錐曲線；最值問題；一題多解；多題一解

人教版選修2-1第二章《圓錐曲線與方程》第47頁例7是：已知橢圓+=1，直線l：4x-5y+40=0，橢圓上是否存在一點，它到直線l的距離最?。孔钚【嚯x是多少？最大距離又是多少？

[?] 一題多解、精彩紛呈

解法一（數(shù)形結(jié)合法）：

如圖1所示，設直線m∥l且與橢圓相切，并設其直線方程是4x-5y+k=0. 聯(lián)立方程4x-5y+k=0和+=1，消去y得25x2+8kx+k2-225=0，關于x的方程僅有一個實數(shù)根，令Δ=64k2-4×25（k2-225）=0，解得k1=25或k2=-25. 由圖可知，當k=25時，兩平行線間的距離即是橢圓上點到直線l的最短距離且dmin=；當k=-25時，兩平行線間的距離即是橢圓上點到直線l的最長距離且dmax=.

解法二（導數(shù)法）：

由+=1解得y=±3，當y=3時，y′=，令y′=解得x=-4，此時y=，則橢圓上的點-4

，到直線l的距離最短，根據(jù)點到直線的距離公式可得dmin=. 當y=-3時，y′=，令y′=解得x=4，此時y=-，則橢圓上的點4，

-到直線l的距離最長，可得dmax=.

解法三（參數(shù)方程法）：

因為+=1，所以x=5sinθ，y=3cosθ，θ∈[0，2π），從而橢圓上點（5sinθ，3cosθ）到直線l：4x-5y+40=0的距離d==，其中tanφ=.

顯然當sin（θ-φ）=-1時，dmin=；

當sin（θ-φ）=1時，d=.

解法四（判別式法）：

設P（x，y）滿足橢圓方程+=1，則P點到直線l：4x-5y+40=0的距離d=，因此此題轉(zhuǎn)化為求4x-5y的最值問題. 令t=4x-5y，則y=x-代入+=1，化簡得25x2-8tx+t2-225=0，關于x的一元二次方程有實數(shù)根，所以Δ≥0，解得t≤25.

當t=25時，dmax=；當t=-25時，dmin=.

解法五（向量法）：

設P（x，y）滿足橢圓方程+=1，則P到直線l：4x-5y+40=0的距離d=，因此此題轉(zhuǎn)化為求4x-5y的最值問題.

構(gòu)造向量m=

，，n=（20，-15），則m=1，n=25，m·n=4x-5y. 根據(jù)向量數(shù)量積性質(zhì)不等式m·n≤mn，所以4x-5y≤25，當且僅當9x=-20y時取等號，此時x=4，y=-或x=-4，y=，所以dmax=，dmin=.

[?] 抽絲剝繭、探究本質(zhì)

從有效解題的角度，探究試題的本質(zhì)，能讓我們收獲更多. 上述課本例題可以歸結(jié)為如下題型：以二元二次方程為限制條件，求二元一次式的最值，如：設x，y∈R，滿足ax2+by2=c，求mx+ny的最值（其中a，b，c∈R+，m，n∈R）.

波利亞曾說過：“一個專心的認真?zhèn)湔n的教師能夠拿出一個有意義但不太負載的題目，幫助學生發(fā)掘問題的各個方面，把學生引入一個完整的理論領域. ”上述例題恰恰就是這樣一道“有意義但不太負載的題目”，它可分別使用解析幾何、導數(shù)、三角、向量、函數(shù)等高中核心知識解決，體現(xiàn)了知識的橫向聯(lián)系，作為教師，要對典型例題深入挖掘，揭示例題背后的思想方法，注重一題多解，力求使學生對所學知識融會貫通.

[?] 題型推廣、更上一層

波利亞說：“當你找到第一個蘑菇或做出第一個發(fā)現(xiàn)后，再四處看看，它們總是成群生長的. ”本人通過探究近年高考試題，得到更具一般性的結(jié)論.

題1 （2011浙江文）若實數(shù)x，y滿足x2+y2+xy=1，則x+y的最大值是________.

題2 （2011浙江理）若實數(shù)x，y滿足4x2+y2+xy=1，則2x+y的最大值是______.

題3 （2011新課標）在△ABC中，B=60°，AC=，則AB+2BC的最大值為________.

分析：由余弦定理可知a2+c2-ac=3，求2a+c的最大值.

題4 （2014浙江文）已知實數(shù)a，b，c滿足a+b+c=0，a2+b2+c2=1，則a的最大值是________.

分析：由c=-a-b代入a2+b2+c2=1得a2+b2+ab=，求a的最大值.

題5 （2014年遼寧文）對于c>0，當非零實數(shù)a，b滿足4a2-2ab+b2-c=0，且使2a+b最大時，++的最小值為________.

分析：此題可以轉(zhuǎn)化為：已知4a2-2ab+b2=c，求2a+b取最大值時a，b，c的等式關系.

由以上分析可知，上述五道最值問題本質(zhì)上可歸結(jié)于如下類型：設x，y∈R，滿足ax2+bxy+cy2=d，求mx+ny的最值（其中a，c，d∈R+，b，m，n∈R）. 事實上，二元二次方程Ax2+Bxy+Cy2+Dx+Ey+F=0所表示的是圓錐曲線（包括退化的圓錐曲線），經(jīng)左右、上下平移變換總能得到形如ax2+bxy+cy2=d的式子. 因此，上述五道高考試題本質(zhì)上是圓錐曲線上的點到直線距離的最值問題，從而人教版選修2-1第二章《圓錐曲線與方程》第47頁例7可以認為是上述高考試題的“題根”，因篇幅有限，以題5為例探究“非標準的圓錐曲線”到直線距離最值問題的解法.

解法一（數(shù)形結(jié)合法）：

令2a=x+y，b=x-y，代入方程4a2-2ab+b2=c，化簡得x2+3y2=c，標準的橢圓方程，顯然xmax=. 因為b+2a=2x，所以2a+b取得最大值2，并且x取得最大值時y=0，所以2a=，b=. 從而++最小值是-1.

解法二（三角換元法）：

因為（b-a）2+3a2=c，令b-a=·cosθ，a=sinθ，所以b=·cosθ+sinθ，

a=sinθ，所以b+2a=cosθ+sinθ=2sinθ

+.

當θ=時，2a+b取得最大值2，此時a=，b=.

解法三（判別式法）：

令t=2a+b，則b=t-2a，代入4a2-2ab+b2-c=0，得12a2-6ta+t2-c=0，關于a的一元二次方程有實數(shù)解，則應滿足Δ=（6t）2-48（t2-c）≥0，即t≤2，所以2a+b≤2，從而2a+b取得最大值2，此時c=4a2，b=2a.

解法四（向量法）：

由題意得（b-a）2+3a2=c，構(gòu)造向量m=（b-a，a），n=（1，），所以m=，n=2，m·n=b+2a.

因為m·n≤mn，

所以2a+b≤2，當且僅當m，n方向相同或相反時取等號，此時c=4a2，b=2a.

上述課本例題與高考試題在解法上有著異曲同工之妙，可見透析數(shù)學問題背后的本質(zhì)是破除題海最有力、最有效的武器，因此在教與學的過程中，必須切實加強回顧與反思，以達到“一題可破萬題山”的境界.

[?] 反思回顧、把握根本

著名數(shù)學家華羅庚提到：“善于退，足夠的退，退到最原始而不失重要性的地方，是學好數(shù)學的一個訣竅. ”所謂“退”，就是把一個較復雜的問題“退”到最原始、最簡單的問題，再以這些問題為出發(fā)點，去解決問題，接受新知. 張奠宙先生也提出“在堅實的基礎上有所發(fā)展”的教學理念，因此作為教師，要幫助學生注重基礎，全方位多角度探析課本例習題，力求使學生對基礎知識融會貫通，洞悉來龍去脈，實現(xiàn)做一題，會一片的效果！