摘 要：“多題一解”與“一題多解”對(duì)于高中數(shù)學(xué)教學(xué)而言，應(yīng)當(dāng)是需要堅(jiān)持的教學(xué)思路，因?yàn)槠淠軌蚯袑?shí)培養(yǎng)學(xué)生的思維能力，尤其是發(fā)散思維與收斂思維的能力，而且只要設(shè)計(jì)得當(dāng)，其可以與宏觀角度的自主合作等學(xué)習(xí)方式完美地結(jié)合起來(lái).

關(guān)鍵詞：高中數(shù)學(xué)，多題一解，一題多解

近年來(lái)，素質(zhì)教育和新課改觀念逐漸從一種理念變?yōu)楝F(xiàn)實(shí)，促進(jìn)了教師教學(xué)思想的轉(zhuǎn)變. 但是，應(yīng)試教育和高考仍然是擺在高中生面前的“大山”，為了幫助學(xué)生取得好的成績(jī)，在實(shí)際的教學(xué)過(guò)程中，大部分教師仍然采用填鴨式理論知識(shí)灌輸以及題海戰(zhàn)術(shù)，以期最大化提高學(xué)生的解題能力. 雖然這種方式能夠讓學(xué)生掌握大量題型，掌握數(shù)學(xué)知識(shí)、技能并靈活運(yùn)用，但是這種方法也將學(xué)生的思維禁錮在一種特定的學(xué)習(xí)方法內(nèi)，長(zhǎng)此以往，學(xué)生會(huì)對(duì)數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)產(chǎn)生厭煩感. 教師為了節(jié)省時(shí)間，每節(jié)課都是用來(lái)進(jìn)行理論傳授和習(xí)題訓(xùn)練，但是對(duì)學(xué)生的實(shí)際情況一無(wú)所知.

為了提高教學(xué)效率，發(fā)散學(xué)生思維，早就有人提出了“多題一解”和“一題多解”的教學(xué)思路，通過(guò)教師編制具有一定難度、梯度的習(xí)題，讓學(xué)生階梯性地提升自己的解題能力，同時(shí)針對(duì)一種題型進(jìn)行變換，利用一種題型鍛煉學(xué)生解決不同問(wèn)題的數(shù)學(xué)能力，進(jìn)而構(gòu)建全面、完整的數(shù)學(xué)技能體系. 每一次變換，對(duì)學(xué)生來(lái)說(shuō)都是新穎的，能夠減少學(xué)生對(duì)數(shù)學(xué)“一成不變”的感覺(jué)，提高教學(xué)效率，改善教學(xué)效果. 近年來(lái)，由于受到自主探究等教學(xué)方式改革的沖擊，這種傳統(tǒng)的教學(xué)思路往往被遮掩了光芒，事實(shí)上，筆者以為，“多題一解”與“一題多解”對(duì)于高中數(shù)學(xué)教學(xué)而言，應(yīng)當(dāng)是需要堅(jiān)持的教學(xué)思路，因?yàn)槠淠軌蚯袑?shí)培養(yǎng)學(xué)生的思維能力，尤其是發(fā)散思維與收斂思維的能力，而且只要設(shè)計(jì)得當(dāng)，其可以與宏觀角度的自主合作等學(xué)習(xí)方式完美地結(jié)合起來(lái). 下面具體論述之：

[?] 啟發(fā)探究視角下的“多題一解”和“一題多解”

在高中數(shù)學(xué)課堂教學(xué)中，如果教師能夠引導(dǎo)學(xué)生自主探究，讓學(xué)生運(yùn)用所學(xué)數(shù)學(xué)知識(shí)解決問(wèn)題，學(xué)生就能夠獲得一種成就感，激發(fā)他們的學(xué)習(xí)興趣和主動(dòng)性. 在這個(gè)方面，教師可以運(yùn)用“多題一解”和“一題多解”教學(xué)方法，但是還要注意學(xué)生的學(xué)習(xí)熱情、狀態(tài)，保持師生之間的良好互動(dòng). 例如在“集合”的講解中：

教師：如果集合A中包含n個(gè)元素，那么集合A的不同子集共有多少個(gè)呢？

學(xué)生：可以利用歸納法，當(dāng)n=3，2，1， 0時(shí)，分別有子集8，4，2，1個(gè)，因此集合A的不同子集共有2n個(gè).

教師：正確，但是這種歸納不夠嚴(yán)謹(jǐn)，因?yàn)槲覀儫o(wú)法窮舉n∈[4，+∞）的其他情況，那么現(xiàn)在我們能否嚴(yán)格證明這道題的答案呢？假設(shè)集合A中包含n個(gè)元素，那么我們?nèi)绾斡脭?shù)度量集合A的子集類(lèi)型呢？

學(xué)生：可能包含1個(gè)、2個(gè)、3個(gè)…n個(gè)元素，因而子集類(lèi)型共有n個(gè).

教師：大家仔細(xì)想一想，有沒(méi)有忽略某種特殊情形呢？

學(xué)生： 也是子集的一種，因此子集類(lèi)型共有n+1種.

教師：正確，那么每種類(lèi)型分別對(duì)應(yīng)幾個(gè)A的子集呢？

學(xué)生：分別有C，C，…，C個(gè)，因此共有子集C+C+…+C=2n個(gè).

教師：這個(gè)結(jié)論是正確的，那么我們來(lái)看一道題，同學(xué)們能夠用所學(xué)結(jié)論得到這道題的答案嗎？（運(yùn)用“一題多解”引導(dǎo)學(xué)生自主得出結(jié)論，并運(yùn)用到其他題目中，讓學(xué)生感受到所學(xué)知識(shí)的用處.）

教師：一個(gè)房間內(nèi)共有5個(gè)開(kāi)關(guān)，分別控制5盞燈，假設(shè)必須至少開(kāi)一盞燈，那么共有幾種開(kāi)關(guān)控制方法？

學(xué)生：共有C+C+…+C=31種.

教師：很好，那么如果有n個(gè)開(kāi)關(guān)控制n盞燈，共有多少種情況呢？

學(xué)生：共有2n-1種.

通過(guò)上述教學(xué)過(guò)程，可以體會(huì)到教師如何通過(guò)“多題一解”“一題多解”來(lái)進(jìn)行變式探究，讓學(xué)生學(xué)習(xí)到解決問(wèn)題的技巧并直接運(yùn)用到解題過(guò)程中，讓學(xué)生感受成功的快樂(lè)，提高了教學(xué)效率.

[?] 問(wèn)題解決視角下的“多題一解”和“一題多解”

問(wèn)題解決視角下，教師通過(guò)設(shè)置例題，讓學(xué)生掌握基本的解題方法和思路，教師要根據(jù)所學(xué)內(nèi)容和學(xué)生的實(shí)際情況，選擇合適的例題并進(jìn)行變換，學(xué)生運(yùn)用所學(xué)知識(shí)難以解答教師給出的問(wèn)題，因而有迫切的學(xué)習(xí)欲望，教師講解例題，讓學(xué)生掌握解題技巧，然后給出變式，讓學(xué)生運(yùn)用所學(xué)技巧自主探究. 例如如下教學(xué)內(nèi)容：

教師：現(xiàn)在給出三道小題：（1）y=sinx如何通過(guò)變換得到y(tǒng)=2sinx，y=sin（x+1），y=sin2x？（2）y=sin2x如何通過(guò)變換得到y(tǒng)=sin（2x-1）？（3）y=sinx如何通過(guò)變換得到y(tǒng)=2sin（2x-1）？（學(xué)生很快得到第一小題的答案. ）

教師：同學(xué)們對(duì)第一小題比較熟悉，是我們常見(jiàn)的題型，但是同學(xué)們?cè)鯓咏鉀Q第二題呢？

學(xué)生甲：y=sin2x向右平移個(gè)單位可以得到y(tǒng)=sin（2x-1）的圖像.

學(xué)生乙：應(yīng)該是向右平移1個(gè)單位吧.

教師：兩位同學(xué)的意見(jiàn)產(chǎn)生了分歧，那么同學(xué)們判斷一下，這兩位同學(xué)誰(shuí)的答案是正確的呢？

學(xué)生：假設(shè)令sin2x=f（x），那么sin（2x-1）=f

x-

，所以甲是正確的.

學(xué)生：運(yùn)用五點(diǎn)作圖法，可以證明甲的答案正確.

教師：很好，我們解決了第二題，那么對(duì)于第三題，同學(xué)們有什么想法呢？

學(xué)生：可以按照如下步驟變換：平移—周期變換—振幅變換—周期變換—平移，最后進(jìn)行振幅變換即可.

教師：看來(lái)同學(xué)們掌握了函數(shù)圖像的變換規(guī)律和方法，下面兩道題留給同學(xué)們思考：（1）y=sinx如何通過(guò)變換得到y(tǒng)=sin（ωx+φ）？（2）y=sinωx如何通過(guò)變換得到y(tǒng)=sin（ωx+φ）？

[?] 思維發(fā)展視角下的“多題一解”和“一題多解”

與數(shù)學(xué)解題方法不同，數(shù)學(xué)解題思維一般具有模式化的特征，而培養(yǎng)學(xué)生的數(shù)學(xué)思維，能夠讓學(xué)生在解題時(shí)理解題目并直接調(diào)用已經(jīng)掌握的知識(shí)解題，這就是我們說(shuō)的一種解題“感覺(jué)”. 同樣，教師可以通過(guò)“多題一解”和“一題多解”培養(yǎng)學(xué)生的數(shù)學(xué)思維. 例如在“三角函數(shù)”的教學(xué)中：

教師：我們學(xué)習(xí)了弦切轉(zhuǎn)化的方法，那么同學(xué)們能夠解決這個(gè)問(wèn)題嗎？設(shè)tanα=2，則的值為多少？

學(xué)生：已知tanα=2，因此=2，同時(shí)cos2α+sin2α=1，根據(jù)上述兩式能夠求出cosα和sinα，代入原式就能夠得到答案.

教師：很好，但是同學(xué)們還能夠想到其他方法嗎？（引導(dǎo)學(xué)生“一題多解”.）

學(xué)生：原式的分母和分子可以同時(shí)乘，得到=.

學(xué)生：也可以根據(jù)2cosα=sinα，代入原式可以得到答案.

教師：那么同學(xué)們能夠根據(jù)得到的規(guī)律和結(jié)論解決這個(gè)問(wèn)題嗎？設(shè)tanα=2，則2sin2α-cosαsinα的值為多少？（引導(dǎo)學(xué)生運(yùn)用“多題一解”解決問(wèn)題.）

學(xué)生：可以運(yùn)用平方關(guān)系解決，將原式轉(zhuǎn)化為，得到結(jié)果為.

[?] 課堂教學(xué)視角下的“多題一解”和一“題多解”

課堂是教學(xué)的主陣地，也是“多題一解”和“一題多解”教學(xué)意識(shí)滲透的主要場(chǎng)合. 下面主要談新授課中的“多題一解”和“一題多解”.

新授課和傳統(tǒng)教學(xué)模式不同，新課改環(huán)境下的教學(xué)模式為情境創(chuàng)設(shè)—問(wèn)題探究—構(gòu)建知識(shí)—應(yīng)用知識(shí)—?dú)w納總結(jié). 下面以問(wèn)題探究為例，探討“多題一解”和“一題多解”的應(yīng)用. 在“等比數(shù)列求和”一節(jié)的講解中，可以這樣設(shè)計(jì)教學(xué)：

教師：大家都知道國(guó)際象棋，國(guó)際象棋發(fā)明后，古印度宰相想要獎(jiǎng)勵(lì)發(fā)明者，就問(wèn)他想要什么，他說(shuō)：“我要在我發(fā)明的國(guó)際象棋棋盤(pán)的第一個(gè)格子放一粒小麥，第二個(gè)格子放兩粒，以此類(lèi)推，每一個(gè)格子麥子數(shù)量是上一個(gè)格子的兩倍.”同學(xué)們，這個(gè)要求看起來(lái)很簡(jiǎn)單，那么你們能夠計(jì)算出共需要多少麥子嗎？

學(xué)生：根據(jù)求和公式得S=1+2+...+263.

教師：可以用什么方法得到這個(gè)式子的結(jié)果呢？（引導(dǎo)“一題多解”.）

學(xué)生：可以提取公比q，原式可化為q（Sn-a1qn-1），解得a1-a1qn=Sn（1-q）.

學(xué)生：還可以運(yùn)用錯(cuò)位相減的方法，可以得到兩個(gè)式子：

Snq=a1qn+a1qn-1+…+a1q；

Sn=a1qn-1+a1qn-2+...+a1.

相減可得a1-a1qn=Sn（1-q）.

教師：那么能不能說(shuō)結(jié)論就是a1-a1qn=Sn（1-q）呢？

學(xué)生：不能，因?yàn)閝不能等于1.

教師：那么等比數(shù)列的求和公式是什么？

學(xué)生：當(dāng)q=1時(shí)，Sn=na1；當(dāng)q≠1時(shí)，Sn=.

可以看到，教師利用“一題多解”培養(yǎng)學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣，讓學(xué)生在教學(xué)過(guò)程中自然地接受知識(shí)，培養(yǎng)解題技能.

當(dāng)然，討論這一話題也不能回避復(fù)習(xí)課. 復(fù)習(xí)課重要但這兩種思路的運(yùn)用卻相對(duì)比較常規(guī)，此處不贅述，只舉一個(gè)例子來(lái)展示如何應(yīng)用“一題多解”教學(xué)方法. 如：已知x，y>0，+=1，則xy的最小值是多少？

這道題可以運(yùn)用不等式，得到+≥2，得xy≥8，當(dāng)x=2且y=4時(shí)等號(hào)成立，故最小值為8；還可以運(yùn)用“1”這個(gè)數(shù)字，根據(jù)題目條件，+=1，xy=2x+y≥2，解答原式變?yōu)榻鉀Q上述不等式，可得xy≥8，當(dāng)且僅當(dāng)x=2且y=4時(shí)等號(hào)成立，故最小值為8.

“多題一解”培養(yǎng)的是學(xué)生的分析歸納能力，而“一題多解”培養(yǎng)的是學(xué)生的發(fā)散思維能力. 當(dāng)教學(xué)的目標(biāo)指向能力時(shí)，會(huì)發(fā)現(xiàn)這兩種看似常規(guī)、簡(jiǎn)單的方法，其實(shí)是高中數(shù)學(xué)教學(xué)中培養(yǎng)學(xué)生能力的不二法門(mén)，筆者以為切不能因?yàn)槟承┬率挛锏牡絹?lái)而放棄其在高中數(shù)學(xué)教學(xué)中應(yīng)有的地位.