摘 要：APOS理論是美國(guó)數(shù)學(xué)教育家杜賓斯基（Ed Dubinsky） 對(duì)于數(shù)學(xué)概念的學(xué)習(xí)所提出的理論，分為四個(gè)階段：Action，Process，Object，Schema，并用于指導(dǎo)教學(xué)實(shí)踐. 本文結(jié)合APOS理論進(jìn)行《橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程》（第一課時(shí)）的教學(xué)設(shè)計(jì)，探究其對(duì)高中數(shù)學(xué)概念教學(xué)的幫助和啟示.

關(guān)鍵詞：高中數(shù)學(xué)；APOS理論；操作階段；程序階段；對(duì)象階段；圖式階段；橢圓

普通高中《數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)》指出：學(xué)生的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)活動(dòng)不應(yīng)只限于接受、記憶、模仿和練習(xí)，高中數(shù)學(xué)課程還應(yīng)倡導(dǎo)自主探索、動(dòng)手實(shí)踐、合作交流、閱讀自學(xué)等學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的方式，這些方式有助于發(fā)揮學(xué)生學(xué)習(xí)的主動(dòng)性，使學(xué)生的學(xué)習(xí)過(guò)程成為在教師引導(dǎo)下的“再創(chuàng)造”過(guò)程. 在數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)中，要先學(xué)好數(shù)學(xué)概念，如果連最基本的數(shù)學(xué)概念都不清楚的話，學(xué)習(xí)就不可能繼續(xù)進(jìn)行下去. 我國(guó)學(xué)生在數(shù)學(xué)的學(xué)習(xí)上向來(lái)進(jìn)行大量的題海戰(zhàn)術(shù)訓(xùn)練，在國(guó)際比賽中一直獲得優(yōu)異的成績(jī)，但缺少對(duì)數(shù)學(xué)概念、基本方法和數(shù)學(xué)思想的深刻理解. 張奠宙先生曾指出，東西方數(shù)學(xué)教育區(qū)別之一是：西方人主張“理解、理解、理解”，而華人則多半主張“練習(xí)、練習(xí)、練習(xí)”. 本文根據(jù)美國(guó)的數(shù)學(xué)教育家杜賓斯基對(duì)于數(shù)學(xué)概念的學(xué)習(xí)所提出的APOS理論，運(yùn)用此理論進(jìn)行《橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程》（第一課時(shí)）的教學(xué)設(shè)計(jì).

[?] APOS理論指導(dǎo)下的教學(xué)策略

杜賓斯基覺(jué)得，一個(gè)人是不能夠直接學(xué)習(xí)到數(shù)學(xué)概念的. 更確切地說(shuō)，人們通過(guò)心智結(jié)構(gòu)，使數(shù)學(xué)概念的學(xué)習(xí)有意義. 每一個(gè)數(shù)學(xué)教育中的理論或模型都該盡力理解“學(xué)生是怎樣學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的”及“什么樣的教學(xué)計(jì)劃可以幫助這類學(xué)習(xí)”，而不只是陳述事實(shí)，正是出于這樣的考慮，杜賓斯基等人建立了APOS理論.

APOS理論包含四個(gè)基本的成分：

第一階段：操作（action）階段. “操作”是指?jìng)€(gè)體經(jīng)過(guò)一步一步的外顯性（或記憶性）指令去變換一個(gè)客觀的數(shù)學(xué)對(duì)象. 在這個(gè)階段，學(xué)生應(yīng)該通過(guò)自己的活動(dòng)和操作親身體驗(yàn)和感受到數(shù)學(xué)概念產(chǎn)生的背景，對(duì)概念有初步印象，以便加深對(duì)概念的理解. 這里的“操作”應(yīng)是廣義上的操作，而不光光是具體的感覺(jué)和感知，更要涉及內(nèi)隱的思維操作，如猜想、回憶、推理等.

教師要根據(jù)學(xué)生的思維特點(diǎn)，提供典型、合適的感性材料，進(jìn)行合理的教學(xué)設(shè)計(jì)，引導(dǎo)學(xué)生主動(dòng)地參與到知識(shí)的發(fā)生與發(fā)展過(guò)程中去，以便更好地理解概念，讓學(xué)生養(yǎng)成探究和概括的能力.

第二階段：程序（process）階段. 當(dāng)“操作”經(jīng)過(guò)多次重復(fù)而被個(gè)體熟悉后，就可內(nèi)化為一種稱之為“程序”的心理操作. 此時(shí)，個(gè)體不需要通過(guò)外部的刺激，他就可以在腦海中實(shí)施這個(gè)程序，還可以將該程序和其他程序結(jié)合在一起. “程序”階段是學(xué)生對(duì)“操作”階段的描述和反思，繼而通過(guò)思維的內(nèi)化和壓縮過(guò)程，總結(jié)出概念的性質(zhì). “程序”階段是學(xué)生感知的處理、組織、頓悟，是思維的飛躍的關(guān)鍵，往往是學(xué)習(xí)概念的困難所在. 教師應(yīng)以學(xué)生的具體情況為基礎(chǔ)，設(shè)計(jì)一系列能啟發(fā)、有層次的問(wèn)題，繼續(xù)引導(dǎo)學(xué)生對(duì)“操作”階段進(jìn)行描述和反思，使學(xué)生的思考深化下去.

第三階段：對(duì)象（object）階段. 當(dāng)個(gè)體能把“程序”當(dāng)做一個(gè)整體進(jìn)行操作時(shí)，這一程序就變成了一種心理“對(duì)象”，表現(xiàn)為個(gè)體通過(guò)前面兩個(gè)階段，認(rèn)識(shí)到概念的本質(zhì)，為其形式化的定義和符號(hào)，使其精致化，成為一個(gè)具體的對(duì)象，在以后的研究中能進(jìn)行該對(duì)象的新活動(dòng).

教師要引導(dǎo)學(xué)生及時(shí)總結(jié)、提煉概念的各種屬性，從而獲得概念的嚴(yán)格定義，并進(jìn)行符號(hào)化表示. 學(xué)生也可能只是有一個(gè)初步的概念的理解，若遇到更復(fù)雜的概念，往往會(huì)返回“操作”階段，并在“操作”的基礎(chǔ)上，進(jìn)一步完善“程序”，經(jīng)過(guò)如此多個(gè)反復(fù)之后，才能形成明確而完整的“對(duì)象”，所以在教學(xué)中需要對(duì)“操作”階段和“程序”階段進(jìn)行反復(fù)循環(huán)，才能達(dá)到有意義教學(xué)，推動(dòng)學(xué)生的認(rèn)識(shí)從“對(duì)象”階段上升到“圖式”階段.

第四階段：圖式（schema）階段. 一個(gè)數(shù)學(xué)概念的“圖式”是指由相應(yīng)的“操作”、“程序”、“對(duì)象”，以及和一些一般原理與其他相關(guān)的“圖式”所構(gòu)成的一種個(gè)體頭腦中的認(rèn)知框架，它可以用來(lái)解決與此概念相關(guān)的問(wèn)題.

教師可以采用傳統(tǒng)的變式教學(xué)，用例題、變題、學(xué)生自我總結(jié)等多種方式讓學(xué)生對(duì)“對(duì)象”的理解豐富化，幫助學(xué)生的認(rèn)識(shí)上升到“圖式”的層次. “圖式階段”的不斷完善是要在長(zhǎng)時(shí)間的學(xué)習(xí)活動(dòng)后，最初的圖式包含反映概念的特例、定義和符號(hào)，通過(guò)不斷的學(xué)習(xí)，建立起與其他概念、規(guī)則、圖形等的關(guān)聯(lián)，在頭腦中構(gòu)成綜合的心智結(jié)構(gòu).

在APOS理論的前三個(gè)階段可以作為數(shù)學(xué)知識(shí)的三種狀態(tài)，而“圖式” 則是由這三種知識(shí)形成的一種認(rèn)知結(jié)構(gòu). 雖然這四者具有層次結(jié)構(gòu)，但個(gè)體對(duì)數(shù)學(xué)概念的理解并不只是線性的，而是反復(fù)的. 只有通過(guò)這四個(gè)階段，才能完成和構(gòu)建數(shù)學(xué)概念.

[?] 基于APOS理論的橢圓標(biāo)準(zhǔn)方程的教學(xué)設(shè)計(jì)

橢圓是生活中常見(jiàn)的圖形，學(xué)生對(duì)橢圓已有了基本的感性認(rèn)識(shí)，可是如何畫出橢圓，橢圓是如何定義的，橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程是什么還有待我們共同探討下去. 以下是根據(jù)APOS理論進(jìn)行的橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程的教學(xué)設(shè)計(jì).

1. 操作階段：感知橢圓

大部分?jǐn)?shù)學(xué)概念的構(gòu)成都經(jīng)歷了一個(gè)反思的過(guò)程，有了操作活動(dòng)，才能形成反思. 讓學(xué)生通過(guò)熟悉和感興趣的材料所提供的外部刺激，讓他們感知轉(zhuǎn)換和反思.

情境1 看幾張生活中的橢圓圖片

情境2 讓學(xué)生自己動(dòng)手畫橢圓

情境3 根據(jù)初中時(shí)圓的定義，拿一根細(xì)繩，將繩子的一端固定在黑板上，在另一端系上一支粉筆，把繩子繃緊并用粉筆繞定點(diǎn)一圈便可畫出一個(gè)圓. 然后將繩子的兩端固定在兩個(gè)定點(diǎn)上，注意兩定點(diǎn)間的距離要比繩長(zhǎng)短，用粉筆繃緊繩子繞一圈，可畫出什么圖形？

學(xué)生自己用繩子作圖，教師用多媒體演示.

結(jié)合學(xué)生已有的知識(shí)結(jié)構(gòu)，讓學(xué)生通過(guò)動(dòng)手操作，形成感性認(rèn)識(shí)，激發(fā)學(xué)生學(xué)習(xí)的求知欲.

2. 過(guò)程階段：體驗(yàn)橢圓概念形成的過(guò)程

通過(guò)前期活動(dòng)，一個(gè)穩(wěn)定的心理結(jié)構(gòu)，在學(xué)生的大腦中形成，學(xué)生意識(shí)到橢圓可以由兩個(gè)點(diǎn)和一個(gè)固定長(zhǎng)度來(lái)確定，但仍需不斷引導(dǎo)，進(jìn)一步激發(fā)學(xué)生的思維內(nèi)化和壓縮，于是設(shè)計(jì)如下問(wèn)題：

問(wèn)題1 橢圓上所有的點(diǎn)有什么共同特點(diǎn)？

問(wèn)題2 這個(gè)常數(shù)（繩長(zhǎng)）有什么限制？

問(wèn)題3 若常數(shù)=

F1F2

或常數(shù)<

F1F2

，會(huì)怎樣？

共同談?wù)摵?，教師給出一個(gè)完整的橢圓定義，并介紹焦點(diǎn)、焦距.

通過(guò)不斷引導(dǎo)，讓學(xué)生在橢圓概念的生成和不斷完善的過(guò)程中，提高總結(jié)的能力，加深對(duì)橢圓的本質(zhì)認(rèn)識(shí). 通過(guò)一系列問(wèn)題的提出，讓學(xué)生形成新的認(rèn)知結(jié)構(gòu)，這是對(duì)象操作內(nèi)化的過(guò)程.

3. 對(duì)象階段：構(gòu)建對(duì)象實(shí)體，通過(guò)橢圓的定義推導(dǎo)出橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程

回憶用坐標(biāo)法求動(dòng)點(diǎn)軌跡方程的步驟，引導(dǎo)學(xué)生建立焦點(diǎn)在x軸上的橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程. 學(xué)生分組探索，教師點(diǎn)撥其中幾個(gè)注意點(diǎn)：（1）如何建立直角坐標(biāo)系；（2）如何簡(jiǎn)化方程；（3）焦點(diǎn)在y軸上的橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程是什么；（4）焦點(diǎn)在x，y軸上的橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程都出來(lái)后，注意它們之間的聯(lián)系和不同.

在這個(gè)階段，讓學(xué)生利用橢圓的定義自己推導(dǎo)出橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程，深化學(xué)生的理性認(rèn)識(shí)，提高計(jì)算能力，培養(yǎng)不怕困難的精神，感受數(shù)學(xué)的簡(jiǎn)單對(duì)稱美.

4. 圖式階段：建立綜合心理圖式

此時(shí)教師需要幫助學(xué)生辨析概念的本質(zhì)屬性，明確當(dāng)中的知識(shí)、技能和方法，讓學(xué)生在頭腦中形成一個(gè)完整的心理圖式. 在上述的基礎(chǔ)上，通過(guò)例題的教學(xué)，變式的訓(xùn)練進(jìn)一步深化其對(duì)知識(shí)的認(rèn)識(shí)，形成對(duì)橢圓定義及標(biāo)準(zhǔn)方程的整體認(rèn)識(shí)，構(gòu)建心理圖式.

例1 判斷滿足以下條件的動(dòng)點(diǎn)M的軌跡是不是橢圓：

（1）到點(diǎn)F1（-2，0）和點(diǎn)F2（2，0）的距離之和為6的點(diǎn)的軌跡；

（2）到點(diǎn)F1（-2，0）和點(diǎn)F2（2，0）的距離之和為4的點(diǎn)的軌跡；

（3）到點(diǎn)F1（0，-2）和點(diǎn)F2（0，2）的距離之和為6的點(diǎn)的軌跡；

（4）到點(diǎn)F1（0，-2）和點(diǎn)F2（0，2）的距離之和為4的點(diǎn)的軌跡.

變式：判斷下列橢圓的焦點(diǎn)在哪里，求出焦距和焦點(diǎn)坐標(biāo).

（1）+=1；（2）+=1；

（3）4x2+5y2=20；（4）+=1.

例2 若橢圓的兩個(gè)焦點(diǎn)的坐標(biāo)分別是F1（-2，0），F(xiàn)2（2，0），橢圓上有一點(diǎn)M到F1，F(xiàn)2的距離之和為10，求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程.

變式1：若橢圓的兩個(gè)焦點(diǎn)的坐標(biāo)分別是F1（0，-2），F(xiàn)2（0，2），橢圓上有一點(diǎn)M到F1，F(xiàn)2的距離之和為10，求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程.

變式2：若橢圓的兩個(gè)焦點(diǎn)的坐標(biāo)分別是F1（-2，0），F(xiàn)2（2，0），橢圓經(jīng)過(guò)點(diǎn)M

，-

，求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程.

變式3：若橢圓經(jīng)過(guò)點(diǎn)P（-2，0）和Q（0，-3），求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程.

例題和變式的設(shè)計(jì)是為了鞏固橢圓的定義，讓學(xué)生知道在具體解題的過(guò)程中，橢圓的定義有著重要的作用，還要學(xué)會(huì)求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程的基本方法：待定系數(shù)法.

[?] 教學(xué)反思

APOS 理論強(qiáng)調(diào)學(xué)習(xí)是需要學(xué)生主動(dòng)構(gòu)建的，要引導(dǎo)學(xué)生進(jìn)入知識(shí)的情景中去，感受到學(xué)習(xí)橢圓的重要性，調(diào)動(dòng)原有的認(rèn)知結(jié)構(gòu)，激發(fā)學(xué)生的求知欲. 數(shù)學(xué)概念的學(xué)習(xí)不能流于表面，要上升到抽象層面，使概念形成的“操作”、“程序”向“對(duì)象”階段轉(zhuǎn)化，最后到達(dá)“圖式”階段，這樣才能掌握數(shù)學(xué)知識(shí)的本質(zhì)與內(nèi)在.