摘 要：數(shù)學(xué)教學(xué)進(jìn)入高中階段之后，教學(xué)重點逐漸由具體的知識內(nèi)容擴(kuò)大至解決數(shù)學(xué)問題的思想方法. 其中包括利用圖形解決數(shù)學(xué)問題. 本文結(jié)合筆者工作的實踐經(jīng)驗，簡要闡述了如何合理使用圖形，最大化地發(fā)揮其在高中數(shù)學(xué)中的教育功能.

關(guān)鍵詞：高中；數(shù)學(xué)教學(xué)；圖形；教育

在高中階段的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)當(dāng)中，知識數(shù)量較之從前顯著增加，難度提升也是十分明顯的. 很多學(xué)生反映，之所以對很多數(shù)學(xué)知識感到困惑，對問題的解決無從下手，很大一部分原因在于知識本身過于抽象. 因此，教師在進(jìn)行教學(xué)設(shè)計時，很重要的一個任務(wù)便是將抽象的內(nèi)容具體化，降低學(xué)生的接受與理解難度. 僅僅將目光聚焦于概念、公式本身是遠(yuǎn)遠(yuǎn)不夠的，筆者們可以將圖形的方式引入到教學(xué)思考范圍當(dāng)中來.

[?] 抓住時機(jī)使用圖形，適時發(fā)揮作用

圖形在數(shù)學(xué)問題解決過程當(dāng)中所具有的重要作用毋庸置疑，但并不代表圖形的方法可以應(yīng)用于任何問題類型解決之中的任意階段. 一個方法，只有被應(yīng)用于合理的時間階段，才能發(fā)揮出最為顯著的效果，圖形的使用也是如此. 因此，在向?qū)W生教學(xué)以圖形方式解決數(shù)學(xué)問題的途徑時，一定要強(qiáng)調(diào)對于使用時機(jī)的準(zhǔn)確把握.

例如，在學(xué)習(xí)一些代數(shù)屬性較強(qiáng)的內(nèi)容時，考查重點往往在于學(xué)生的邏輯能力與計算能力，無需將精力過多集中在如何將問題解答與圖形轉(zhuǎn)化相連接的過程中，而在一些幾何屬性較強(qiáng)，或是知識本身與圖形關(guān)系緊密的內(nèi)容時，圖形的使用往往能夠?qū)⑺季S過程簡化不少. 在學(xué)習(xí)三角函數(shù)及其圖形的過程當(dāng)中，筆者便尤其強(qiáng)調(diào)圖形的使用. 有這樣一道看似簡單的習(xí)題：請問，方程sin2x=sinx在區(qū)間（0，2π）上有幾個解？問題雖然簡短，卻要求學(xué)生建立起一個數(shù)形結(jié)合的思維過程. 解題關(guān)鍵在于，怎樣理解方程的解？如果學(xué)生能夠?qū)㈩}目中方程的解理解為y=f（x）=sin2x與y=g（x）=sinx兩個函數(shù)交點的橫坐標(biāo)，題目便迎刃而解. 當(dāng)然，這里的圖形使用要適時、適度. 由于題目只要求學(xué)生回答解的個數(shù)，因此，圖形無需過于精準(zhǔn)地反映出橫縱坐標(biāo)，只要體現(xiàn)出交點數(shù)量（如圖1）即可.

[x][g][y][O][f]

圖1

可以看出，抓住適當(dāng)時機(jī)使用圖形方法，對于數(shù)學(xué)問題的有效解決十分重要. 如果沒有對于時機(jī)的準(zhǔn)確把握，盲目引用圖形方式，不僅無法順利解決數(shù)學(xué)問題，還會由于增加了數(shù)學(xué)問題處理的難度，使得學(xué)生的解題思維更加混亂，甚至對于數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)喪失信心，這是筆者們不愿意看到的. 因此，教師務(wù)必要注意強(qiáng)調(diào)時機(jī)把握，保證圖形作用的發(fā)揮恰到好處.

[?] 創(chuàng)造性思維使用圖形，拓寬解題思路

如同平靜的過程中需要一個不尋常的細(xì)節(jié)來點亮一樣，在常規(guī)的數(shù)學(xué)問題解答過程中，如果能夠?qū)D形使用以一個特別的方式予以呈現(xiàn)，不僅能夠靈動整個課堂過程，更能夠大大加深學(xué)生對于這一解題方式的印象. 在實際教學(xué)過程當(dāng)中，筆者經(jīng)常采取創(chuàng)造性使用圖形的方式，在解決問題陷入僵局時提出圖形思路，為課堂注入一股新鮮動力.

例如，在學(xué)習(xí)基本不等式的內(nèi)容時，筆者曾要求學(xué)生解答這樣一道習(xí)題：已知，x，y滿足以下條件3x-y-6≤0，

x-y+2≥0，

x≥0，y≥0， 現(xiàn)有函數(shù)z=ax+by，其中a>0且b>0，該函數(shù)能夠取到的最大值為12，那么，+的最小值是多少？在這道習(xí)題的解答過程當(dāng)中，單單采用傳統(tǒng)的代數(shù)方法并不是不能解決，但是，過程十分復(fù)雜，也非常容易出現(xiàn)錯誤，對于學(xué)生的推導(dǎo)、討論能力之要求極高. 于是，筆者向?qū)W生們展示了一種利用圖形解決問題的方法. 首先，根據(jù)已知條件作出圖象. 雖然目標(biāo)函數(shù)的系數(shù)未知，卻能夠根據(jù)a，b均為正值大致得到函數(shù)圖象的走向（如圖2）. 將運動的圖象與已知最大值相結(jié)合，結(jié)論的得出簡單了不少.

如果只是一味平淡地把使用圖形解決問題的內(nèi)容向?qū)W生平鋪直敘，那么很難引起學(xué)生的特別注意，對其應(yīng)用上的重視程度自然得不到提升. 巧妙選擇時間節(jié)點引入圖形方法，以創(chuàng)造性的方式點亮學(xué)生思維，能夠有效提升這一解題方式在學(xué)生數(shù)學(xué)思想體系當(dāng)中的關(guān)注度，并且時常在問題處理當(dāng)中進(jìn)行應(yīng)用，從而拓寬其數(shù)學(xué)問題的解題思路.

[?] 持久自主使用圖形，形成思考習(xí)慣

當(dāng)然，方法的使用是一個習(xí)慣，想要實現(xiàn)對一個方法的切實掌握，僅靠偶爾幾次的成功應(yīng)用經(jīng)驗是遠(yuǎn)遠(yuǎn)不夠的，使用圖形解決數(shù)學(xué)問題也是一樣. 抓住幾次適當(dāng)?shù)臅r機(jī)向?qū)W生展現(xiàn)這種解題思路，雖然能夠開闊學(xué)生眼界，更新學(xué)生思維，但卻很難在短時間內(nèi)讓學(xué)生將這種方法為己所用. 因此，長時間不間斷地使用圖形方法解決問題，對于學(xué)生數(shù)學(xué)思想習(xí)慣的形成至關(guān)重要.

例如，在學(xué)生剛剛開始接受函數(shù)的相關(guān)知識時，很多學(xué)生表示，函數(shù)的基本概念理解起來有些困難. 單從教材中所給出的函數(shù)定義上來看，很難明確知曉何為函數(shù)，函數(shù)應(yīng)當(dāng)滿足哪些條件. 于是，筆者想到了借助圖形的方式幫助學(xué)生理解函數(shù)概念. 筆者給出了四個圖象（如圖3），要求學(xué)生結(jié)合教材中的定義判斷哪個是函數(shù)圖象，哪個不是. 在圖形的幫助之下，學(xué)生馬上將概念中的文字在圖形當(dāng)中對號入座，原本晦澀難懂的內(nèi)容在圖形的闡釋之下生動了許多. 也正是由此，學(xué)生發(fā)現(xiàn)，原來圖形并不僅僅能夠應(yīng)用于具體數(shù)學(xué)習(xí)題的解答過程中，在概念理解等理論領(lǐng)域也是可以廣泛應(yīng)用的. 可見，將圖形的使用養(yǎng)成習(xí)慣，對于數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)來講何等重要.

數(shù)學(xué)思考習(xí)慣的形成不能一蹴而就，而是需要在較長一段時間之內(nèi)反復(fù)強(qiáng)調(diào)與使用. 因此，教師在制訂教學(xué)計劃時，應(yīng)當(dāng)首先將圖形解題方式作為一種數(shù)學(xué)思想方法進(jìn)行安排，樹立起數(shù)形結(jié)合的培養(yǎng)意識，在日常教學(xué)過程當(dāng)中盡可能多地對這一解題方式進(jìn)行實踐，讓這一思維習(xí)慣在學(xué)生頭腦中慢慢扎根. 長此以往，使用圖形解決問題自然會成為學(xué)生的一個習(xí)慣性行為，對于日后數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)過程中的主動應(yīng)用也是很有幫助的.

[?] 貼近生活使用圖形，降低接受難度

任何知識如果只是停留在課本之上，難免都會存在一些同學(xué)生之間的距離感. 使得知識內(nèi)容被學(xué)生高效接受的最好方式就是理論聯(lián)系實際，盡可能多地在學(xué)生的生活細(xì)節(jié)當(dāng)中找到與數(shù)學(xué)之間的對接點. 這樣一來，高中數(shù)學(xué)知識便得以由束之高閣轉(zhuǎn)為腳踏實地. 讓學(xué)生看得見摸得著了，知識的接受難度自然隨之大大降低. 因此，貼近生活使用圖形，是教師在采用數(shù)形結(jié)合方式時應(yīng)當(dāng)特別注意和重視的.

例如，在平面解析幾何內(nèi)容的學(xué)習(xí)中，為了拉近知識與生活之間的距離，筆者曾為學(xué)生設(shè)計了這樣一道習(xí)題：已知，當(dāng)一座拱橋（形狀與拋物線相近）的頂部距離水面距離為2 m時，其間水面寬度為4 m. 那么，當(dāng)水面高度下降了1 m時，其間水面的寬度是多少呢？在該問題的解答過程中，筆者將拱橋以拋物線的圖形表示，并且適當(dāng)建立平面直角坐標(biāo)系，將水面寬度與水面距離轉(zhuǎn)化為具體坐標(biāo)（如圖4），很快得出了答案. 學(xué)生們感到十分驚訝，如此貼近生活的問題竟然也能夠轉(zhuǎn)化為解析幾何的方法進(jìn)行研究.

[O][x][y][2][4]

圖4

在圖形使用的過程當(dāng)中以貼近學(xué)生生活為前提，主要具有以下兩方面的優(yōu)勢：第一，降低數(shù)形結(jié)合解題的難度. 由于圖形的引用貼近生活，學(xué)生在對其進(jìn)行理解時能夠聯(lián)系自己的實際生活作為輔助，相比于晦澀抽象的課本圖形來說自然生動了不少. 第二，激發(fā)學(xué)生對于數(shù)學(xué)知識的學(xué)習(xí)熱情. 貼近生活的圖形選擇，讓學(xué)生發(fā)現(xiàn)，數(shù)學(xué)知識就在身邊，數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)與自己的生活聯(lián)系如此密切，對于數(shù)學(xué)知識學(xué)習(xí)的陌生感也就隨之消除了.

[?] 小組討論使用圖形，深化掌握程度

使用圖形解決數(shù)學(xué)問題，雖然是教師教學(xué)設(shè)計當(dāng)中的一個重要的數(shù)學(xué)教學(xué)要點，但卻不是依靠教師個人的力量就可以全部完成的. 這個內(nèi)容，最終是要劃歸為學(xué)生自身能夠靈活掌握的數(shù)學(xué)思想方法，因此，學(xué)生不斷嘗試使用，并且在實踐當(dāng)中深化理解的過程是十分重要的. 在實際教學(xué)過程中，筆者經(jīng)常采用鼓勵學(xué)生在小組當(dāng)中討論圖形解題的方法，實現(xiàn)學(xué)生對這一知識內(nèi)容的熟悉與掌握.

例如，在學(xué)習(xí)完直線方程的知識內(nèi)容后，為了給學(xué)生提供一個實際練習(xí)并深入探究的機(jī)會，筆者向?qū)W生展示了一道較為復(fù)雜的題目，并且將每5名學(xué)生分為一組，要求大家在小組中進(jìn)行討論. 題干并不復(fù)雜：已知點M（3，5），請在直線y=x與y軸上分別找到點N和點P，實現(xiàn)△PNM的周長達(dá)到最小. 題目一出，很多學(xué)生起初感到很茫然，不知從何入手. 漸漸有學(xué)生提出，既然憑空思考沒有結(jié)果，何不畫個圖看看呢？緊接著，又有學(xué)生根據(jù)圖形想到通過尋找對稱點轉(zhuǎn)化為三點共線情況進(jìn)行最小值求解的途徑. 隨著圖形的越發(fā)完整（如圖5），解題思路也逐漸清晰了. 在學(xué)生間思維火花的碰撞下，圖形的使用走向了靈活.

一個新的數(shù)學(xué)知識，如果只靠教師一人教授，缺少學(xué)生的親身體驗，知識內(nèi)容永遠(yuǎn)無法為學(xué)生所掌握. 而如果只交給學(xué)生自己去思考應(yīng)用，又難免為個人的思維角度不廣所限制. 因此，采取小組討論的方式，既能夠讓學(xué)生真正觸摸到知識本身，又能夠讓學(xué)生在自主實踐知識的過程當(dāng)中互相啟發(fā)、激發(fā)思考，無需教師的主導(dǎo)同樣能夠?qū)崿F(xiàn)對知識的深入探究. 這對于高中數(shù)學(xué)課堂教學(xué)實效的提升是大有助益的.

綜上所述，數(shù)形結(jié)合一直是解答數(shù)學(xué)問題過程中所倡導(dǎo)的有效方式之一，卻總是得不到靈活廣泛的應(yīng)用. 因此，不斷開辟合理使用圖形的新方法，對于提升高中數(shù)學(xué)教學(xué)實效來講意義重大. 教師可以將對于圖形的合理使用劃分為使用圖形的時間、使用圖形的方法、使用圖形的頻率等幾個具體方面進(jìn)行思考，分別找到巧妙的適用方式，綜合作用推動高中數(shù)學(xué)教學(xué)發(fā)展，充分實現(xiàn)數(shù)學(xué)圖形的教育功能.