摘 要：數(shù)學(xué)思想在數(shù)學(xué)教學(xué)中的重要性是不言而喻的，但是在現(xiàn)實(shí)的高中數(shù)學(xué)教學(xué)中數(shù)學(xué)思想?yún)s難以生根，客觀上是因?yàn)閷W(xué)生的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)更多的還在于數(shù)學(xué)知識(shí)的構(gòu)建與數(shù)學(xué)習(xí)題的解答，而主觀上則是因?yàn)閿?shù)學(xué)教師很少有數(shù)學(xué)思想教學(xué)的意識(shí). 要讓數(shù)學(xué)思想在學(xué)生的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)中生根，關(guān)鍵在于教師要能奠定數(shù)學(xué)思想生根的基礎(chǔ)，要能尋找數(shù)學(xué)思想生根的土壤，要能輸送數(shù)學(xué)思想生根的營養(yǎng). 本文以數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)中常見的化歸思想為例，逐一分析了數(shù)學(xué)思想生根的途徑.

關(guān)鍵詞：高中數(shù)學(xué)；數(shù)學(xué)思想；生根

雖然教師都明白數(shù)學(xué)思想比數(shù)學(xué)解題方法更重要，但是在實(shí)際教學(xué)中卻常常難以將數(shù)學(xué)思想從解題方法中提取出來，實(shí)施有針對(duì)性的數(shù)學(xué)思想的教學(xué). 實(shí)際教學(xué)中出現(xiàn)的情形往往是：教師只是在感性層面上認(rèn)識(shí)數(shù)學(xué)思想，沒有深刻理解，比如在講解公式、定理時(shí)，只是讓學(xué)生了解公式的定義，沒有讓學(xué)生掌握公式的成因、來源；再者，在講解習(xí)題時(shí)過于注重“模板化”的解題方式，學(xué)生只知道解題方法，實(shí)際上對(duì)于解題方法的實(shí)質(zhì)不夠了解，數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)陷入一成不變的僵局. 因此，數(shù)學(xué)思想要想真正成為高中數(shù)學(xué)教學(xué)中的一種常態(tài)，還是需要數(shù)學(xué)教師做出不懈的努力. 筆者試以化歸思想為例，談?wù)劰P者的思考與做法.

[?] 認(rèn)識(shí)化歸思想特點(diǎn)，奠定思想生根的基礎(chǔ)

化歸思想對(duì)于高中數(shù)學(xué)同行來說并不陌生，在義務(wù)教育階段的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)中已經(jīng)多次遇到過化歸思想，但在學(xué)生的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)意識(shí)中，這一思想顯得有些模糊. 這里先來認(rèn)識(shí)其兩個(gè)特點(diǎn).

其一，層次性. 運(yùn)用化歸思想，能夠調(diào)用其他學(xué)科的知識(shí)，解決數(shù)學(xué)方面的問題，這就是化歸思想的層次性.

例如：現(xiàn)有600名學(xué)生參加夏令營，將600名學(xué)生按照001，002，…，600的數(shù)字編號(hào)，運(yùn)用系統(tǒng)抽樣得到一個(gè)樣本，容量為50，隨機(jī)抽得號(hào)碼為003. 這600名學(xué)生，編號(hào)001—300在1號(hào)營區(qū)，301—495在2號(hào)營區(qū)，496—600在3號(hào)營區(qū)，那么三個(gè)營區(qū)分別抽中了多少人？從題目條件得知，本題涉及概率統(tǒng)計(jì)知識(shí)，選取樣本的方法是系統(tǒng)隨機(jī)抽樣，總體為600，樣本數(shù)量為50，因此間隔為12，第一個(gè)抽取到的號(hào)碼為003，可知號(hào)碼分別是003，015，027，…雖然知道規(guī)律，我們可以運(yùn)用窮舉的方法，但是在考場(chǎng)上顯然行不通. 由條件可知，這實(shí)際上是一個(gè)等差數(shù)列，公差為12，首項(xiàng)為3，可以求出其通項(xiàng)公式為a=12n-9，根據(jù)營區(qū)學(xué)生編號(hào)確定取值范圍，可知三個(gè)營區(qū)抽到的人數(shù)分別為25、17和8人. 因此，運(yùn)用化歸思想，我們運(yùn)用等差數(shù)列知識(shí)解決了概率統(tǒng)計(jì)問題.

其二，多向性. 在解題過程中，可以運(yùn)用化歸思想轉(zhuǎn)化題目結(jié)論或條件，還可以轉(zhuǎn)化題目外部和內(nèi)部結(jié)構(gòu)來解決問題.

例如：兩實(shí)數(shù)x，y滿足條件4≤≤9，3≤xy2≤8，求的最大值. 對(duì)于這道題，一般難以直接利用條件解決問題，因此必須將條件轉(zhuǎn)化為和問題相關(guān)的形式，根據(jù)題目條件，可得=·

≤81，綜合上述條件可得×16≤≤×81，即2≤≤27，故最大值為27.

認(rèn)識(shí)到這兩個(gè)特點(diǎn)，化歸思想在課堂上生根便滿足了前提條件. 其實(shí)，化歸既是數(shù)學(xué)解題的思想，也是數(shù)學(xué)知識(shí)建構(gòu)的思想，是一種基本的思維策略，甚至可以說是人的本能. 當(dāng)人們面臨著一個(gè)復(fù)雜的問題時(shí)，必然試圖將其化歸成簡單的問題，數(shù)學(xué)是人類認(rèn)知世界最精確的語言，化歸思想在數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)與研究中的應(yīng)用更是廣泛. 因此，以化歸思想作為本文的研究核心，其實(shí)也是符合認(rèn)知發(fā)展的基本規(guī)律的. 更重要的是，化歸思想的形成過程中又廣泛運(yùn)用到其他的數(shù)學(xué)方法，因此其可以起到牽一發(fā)而動(dòng)全身的作用.

[?] 理清化歸思想脈絡(luò)，尋找思想生根的土壤

思想其實(shí)并不是一個(gè)有形的存在，其總是伴隨著具體問題解決中的方法而存在的，可以說，數(shù)學(xué)方法是數(shù)學(xué)思想生根的土壤. 一般認(rèn)為，化歸思想賴以生根的是數(shù)學(xué)問題解決中的這樣一些方法：

一是換元法. 這是高中數(shù)學(xué)中非常常見也極為重要的一種數(shù)學(xué)方法，對(duì)于比較復(fù)雜的不等式、函數(shù)和方程等，我們可以用其他參數(shù)替換其中的某些參數(shù)，將復(fù)雜的式子變簡單，從而得到答案. 例如：如果2sinα+cosα=-，求tanα.

運(yùn)用換元法，我們假設(shè)y=sinα，x=cosα，由題可得2y+x=-，根據(jù)三角函數(shù)的知識(shí)，可知x2+y2=1，兩式聯(lián)立：

求得tanα的值為2.

二是轉(zhuǎn)換法. 顧名思義，轉(zhuǎn)化法就是將待解決問題轉(zhuǎn)化為難度較小的問題，簡單來說，就是“化繁為簡”. 高中數(shù)學(xué)中化繁為簡的常用思路就是利用已有的數(shù)學(xué)關(guān)系對(duì)較難的問題進(jìn)行解構(gòu)，從而將復(fù)雜問題轉(zhuǎn)換為簡單問題.

例如：a，b，c∈R*，試證明++≥.

證明過程中，可首先由a，b，c∈R*得出a+b>0，b+c>0，a+c>0；然后借助于柯西不等式進(jìn)行轉(zhuǎn)換，得到[（a+b）+（b+c）+（a+c）]

數(shù)學(xué)思想與數(shù)學(xué)方法的關(guān)系是十分密切的，更多的時(shí)候數(shù)學(xué)思想只是影響著學(xué)生數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)行為或教師數(shù)學(xué)教學(xué)行為的一種內(nèi)在的、不易表現(xiàn)出來的思考，而數(shù)學(xué)方法卻可以在數(shù)學(xué)知識(shí)的構(gòu)建與數(shù)學(xué)問題的解決中明確體現(xiàn)出來，這就使得數(shù)學(xué)方法在數(shù)學(xué)思想與數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)行為之間形成了一個(gè)良好的聯(lián)系. 教師在數(shù)學(xué)教學(xué)中引導(dǎo)學(xué)生通過數(shù)學(xué)方法達(dá)到對(duì)數(shù)學(xué)思想的理解，這是數(shù)學(xué)思想在學(xué)生的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)中生根的一個(gè)重要途徑. 在日常數(shù)學(xué)教學(xué)中，教師重視得更多的往往是數(shù)學(xué)方法，但忽視了數(shù)學(xué)方法的根源其實(shí)是數(shù)學(xué)思想，如果說數(shù)學(xué)方法能夠讓學(xué)生體驗(yàn)到數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的表面精彩的話，那數(shù)學(xué)思想則是精彩背后的精彩.

[?] 重視化歸思想運(yùn)用，輸送思想生根的營養(yǎng)

數(shù)學(xué)思想的運(yùn)用往往蘊(yùn)涵在具體的問題解決之后，在運(yùn)用的過程中如果能夠結(jié)合傳統(tǒng)的教學(xué)理念與新的教學(xué)方式，那數(shù)學(xué)思想就可以汲取到生根的營養(yǎng).

如在“直線與平面平行的判定”一節(jié)的講解中，可以運(yùn)用化歸思想實(shí)施教學(xué)：

教師（在黑板上展示圖形，如圖1）：同學(xué)們來看一下這道題，正方體ABCD-A1B1C1D1中，平面A1C1和直線AD的位置關(guān)系是什么？請(qǐng)證明或說明理由.

學(xué)生：直線AD與平面A1C1沒有公共點(diǎn)，所以直線AD與平面A1C1應(yīng)該是平行關(guān)系.

教師：為什么說平面A1C1和直線AD沒有公共點(diǎn)呢？

學(xué)生：因?yàn)橹本€AD與平面A1C1中的A1D1是平行關(guān)系.

教師：這個(gè)想法好，能夠巧妙地將直線和平面位置問題化成直線和直線之間的位置關(guān)系，這其實(shí)就是我們數(shù)學(xué)中常用的化歸思想. 那么，同學(xué)們能夠解決這個(gè)問題嗎？

出示問題：a，b為直線，α為平面，如果b?α，a?α. 試判斷：如果a和b平行，那么a∥α的結(jié)論是否成立. （在學(xué)生自主思考之后教師再講授）

教師：如何證明上面的結(jié)論呢？我們先來看一下這道題的意思：α是一個(gè)平面，a，b為兩條直線，其中b?α，a?α，同時(shí)直線a與b是平行關(guān)系，要證明的是：a∥α.

根據(jù)題意先畫出圖（可以追問學(xué)生有沒有想到畫圖），如圖2. 這里我們可以利用反證法完成證明：如圖，假設(shè)a與α不平行，那α和a必相交. 設(shè)相交于點(diǎn)A，過A作直線c，使b∥c. 由題意可知，A必定不在直線b上（因?yàn)閍∥b）. 因?yàn)閍∥b，且b∥c，所以a∥c，而這與基于假設(shè)得出的推論矛盾（a和c是相交關(guān)系），故a∥α. 而這就是我們今天要學(xué)習(xí)的平面和直線判定定理.

板書：直線和平面判定定理：平面外一條直線與平面內(nèi)一條直線平行，那該直線與平面平行.

教師：我們已經(jīng)了解了直線和平面判定定理的主要內(nèi)容. 同學(xué)們需要知道的是，一個(gè)定理的出現(xiàn)，往往意味著在實(shí)際問題解決中可以借助其使得問題變得更為簡單. 因此，數(shù)學(xué)就有多了一個(gè)化歸工具. 下面，請(qǐng)同學(xué)們嘗試解答這道題目.

出示例題：如圖3，空間四邊形ABCD，邊AD，AB的中點(diǎn)分別為F和E，證明：EF∥平面BCD. （學(xué)生先獨(dú)立思考，然后小組討論）

學(xué)生展示：連接點(diǎn)B，D，則有AF=DF，AE=BE，因此EF∥BD，又知EF?平面BDC，BD?平面BDC，因此EF∥平面BDC.

分析上述教學(xué)過程可以看出，這堂課分為了幾個(gè)環(huán)節(jié)：設(shè)置情境、給出定理并證明，最后給出題目讓學(xué)生自主探究，而這些正是新的教學(xué)方式. 同時(shí)，這一教學(xué)過程中重點(diǎn)清晰、突出，教師首先表明了教學(xué)重點(diǎn)，即直線和平面平行判定定理，學(xué)生潛意識(shí)里就會(huì)重視這部分內(nèi)容，而這些正是傳統(tǒng)數(shù)學(xué)教學(xué)的優(yōu)點(diǎn). 在此基礎(chǔ)上，教師通過例題將學(xué)生引入到定理的證明中，并運(yùn)用化歸思想，將文字問題轉(zhuǎn)化為圖形問題，最終總結(jié)出定理并讓學(xué)生在具體問題中運(yùn)用，從而增強(qiáng)學(xué)生對(duì)定理的理解和記憶. 由此，化歸思想在學(xué)生的思維中便真正生根了！