摘要：數(shù)形結(jié)合思想是高考重點(diǎn)考查的幾種重要數(shù)學(xué)思想方法之一.函數(shù)零點(diǎn)問(wèn)題是高考常考的熱點(diǎn)題型，主要包括：函數(shù)的零點(diǎn)個(gè)數(shù)、取值范圍以及利用函數(shù)零點(diǎn)求解參數(shù)的取值范圍，數(shù)形結(jié)合思想運(yùn)用于函數(shù)零點(diǎn)問(wèn)題可使問(wèn)題變得簡(jiǎn)單、直觀、明了.

關(guān)鍵詞：數(shù)形結(jié)合；零點(diǎn)個(gè)數(shù)；參數(shù)取值范圍

數(shù)形結(jié)合思想是高考重點(diǎn)考查的兒種重要數(shù)學(xué)思想方法之一，也是高考考查的熱點(diǎn)，包含“以形助數(shù)”和“以數(shù)輔形”兩個(gè)方面.重點(diǎn)是研究“以形助數(shù)”.其實(shí)質(zhì)是抽象的數(shù)學(xué)語(yǔ)言與直觀的圖形之間的相互轉(zhuǎn)化，使代數(shù)問(wèn)題幾何化，幾何問(wèn)題代數(shù)化，運(yùn)用數(shù)形結(jié)合思想，不僅容易直觀發(fā)現(xiàn)解題途徑，而且能避免復(fù)雜的計(jì)算與推理.大大簡(jiǎn)化解題過(guò)程.尤其在解填空題時(shí)更顯其優(yōu)越性，平時(shí)要注意培養(yǎng)這種思想意識(shí)，做到心中有圖，見數(shù)想圖，不斷開拓自己的思維視野.

利用函數(shù)圖象探究函數(shù)零點(diǎn)是常見?？嫉念}型，數(shù)形結(jié)合是研究函數(shù)零點(diǎn)問(wèn)題的有效方法，其基本思想是把一個(gè)函數(shù)轉(zhuǎn)化為兩個(gè)函數(shù)，而轉(zhuǎn)化后的兩個(gè)函數(shù)圖象比較容易作出.進(jìn)而將函數(shù)零點(diǎn)問(wèn)題轉(zhuǎn)化兩個(gè)新函數(shù)圖象交點(diǎn)的問(wèn)題.

考點(diǎn)要求

1.了解函數(shù)零點(diǎn)與方程根的聯(lián)系.

2.考查函數(shù)的零點(diǎn)個(gè)數(shù)與零點(diǎn)的取值范圍.

3.利用函數(shù)零點(diǎn)求解參數(shù)的取值范圍.

4.利用二分法求方程的近似解.

命題趨勢(shì)

1.函數(shù)的零點(diǎn)個(gè)數(shù)、方程根的個(gè)數(shù)是歷年高考的重要考點(diǎn).

2.利用函數(shù)的圖形、性質(zhì)判斷函數(shù)的零點(diǎn)個(gè)數(shù)、零點(diǎn)取值范圍，以及利用函數(shù)零點(diǎn)求參數(shù)取值范圍是考查重點(diǎn)，也是難點(diǎn).

3.題型以選擇題和填空題為主，常與函數(shù)的圖象和性質(zhì)交匯命題.

4.利用函數(shù)零點(diǎn)求參數(shù)取值范圍問(wèn)題往往在大題中考查，綜合考查函數(shù)、方程、不等式等知識(shí).

熱點(diǎn)問(wèn)題探究

1.如何探究函數(shù)的零點(diǎn)

函數(shù)的零點(diǎn)是高中數(shù)學(xué)的一個(gè)知識(shí)交匯點(diǎn)，它從不同角度將數(shù)與形、函數(shù)與方程有機(jī)地結(jié)合在一起.函數(shù)的零點(diǎn)、方程的根、函數(shù)圖象的交點(diǎn)可相互轉(zhuǎn)化.從定義看，函數(shù)y=f（x）的零點(diǎn)，就是方程f（x）=0的根；從圖象看，函數(shù)y=f（x）的零點(diǎn)，就是函數(shù)y=f（x）的圖象與x軸交點(diǎn)的橫坐標(biāo)：函數(shù)y=f（x）-g（x）的零點(diǎn)就是函數(shù)f（x）與g（x）圖象交點(diǎn)的橫坐標(biāo).特別地：如果f（x）=g（x）-a，則函數(shù)y=f（x）的零點(diǎn)就是函數(shù)y=g（z）的圖象與直線y=a交點(diǎn)的橫坐標(biāo).

（1）可化為f（x）=a（a為常數(shù)）型的函數(shù)零點(diǎn)問(wèn)題

利用導(dǎo)數(shù)知識(shí)畫出h（x）的圖象：h（x）=1以及h（x）=-1各有2個(gè)實(shí)數(shù)根.所以方程| f（x）+g（x）|=l實(shí)根的個(gè)數(shù)為4.

例2已知函數(shù)y=f（x）足R上的奇函數(shù)，且當(dāng)x>O時(shí)f （x） =1，則函數(shù)y=f（x）-有兩個(gè)零點(diǎn)的充要條件是

評(píng)注：由“函數(shù)的零點(diǎn)、方程的根、圖象的交點(diǎn)”的相互轉(zhuǎn)化關(guān)系可知.函數(shù)零點(diǎn)問(wèn)題、方程根的問(wèn)題.大多可通過(guò)圖象加以解決.圖象法是解決函數(shù)零點(diǎn)問(wèn)題的最常用方法.

（2）可化為f（x）=g（x）型的函數(shù)零點(diǎn)問(wèn)題

評(píng)注：本題主要利用奇函數(shù)的圖象關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱這一性質(zhì)，當(dāng)x<0時(shí)，f（x）有一零點(diǎn)；x>0時(shí)，f（x）必還有一零點(diǎn).

（4）與周期性有關(guān)的函數(shù)零點(diǎn)問(wèn)題

例5 定義在R上的函數(shù)f（x）滿足f（x）+f（x+5）=16，當(dāng)x∈（-1，4]時(shí)，f（x）=X2-2x.則函數(shù)f（x）在[o，2013]上的零點(diǎn)個(gè)數(shù)是____.

解析：由f（x）+f（x+5） =16，可知f（x-5）+f（x）=16，則f（x+5）-f（x-5）=0，所以fx）是以10為周期的周期函數(shù).在一個(gè)周期（-1，9]上，函數(shù)f（x）=x2-2x在x∈（一1，4]區(qū)間內(nèi)有3個(gè)零點(diǎn)，在x e（4，9]區(qū)間內(nèi)無(wú)零點(diǎn)，故f（x）在一個(gè)周期上僅有3個(gè)零點(diǎn).由于區(qū)間（3，2013]中包含201個(gè)周期，又x∈[0，3]時(shí)也存在一個(gè)零點(diǎn)x=2，故f（x）在[0，2013]上的零點(diǎn)個(gè)數(shù)為3x201+1=604。

評(píng)注：對(duì)于區(qū)間長(zhǎng)度較長(zhǎng)、零點(diǎn)個(gè)數(shù)較多的問(wèn)題.往往從函數(shù)的周期性入手考慮.

（5）與對(duì)稱性有關(guān)的函數(shù)零點(diǎn)問(wèn)題

例6 已知函數(shù)f（x）=程f（x）=m的五個(gè)不等的實(shí)數(shù)根，則x1+x2+x3+x4+x5的取值范圍是____.

解析：函數(shù)f（x）的圖象如圖3所示，結(jié)合圖象可得x1+x2=-π，x3+x4π，

若f（x）=m有5個(gè)不等的實(shí)數(shù)根，需lgπ

又由函f（x）在[-π，π]上對(duì)稱，所以X1+X2+X3+X4=0，

故z1 +X2+X3+X4+X5的取值范圍為（π，10）.

評(píng)注：本題解題的關(guān)鍵是運(yùn)用函數(shù)y=|sinx|的對(duì)稱性得：X1+X2=-π，X3+X4=π，或XI+X4=0，X2+X3=0，從而X1+X2+X3+X4=0.

2.如何處理復(fù)雜函數(shù)零點(diǎn)個(gè)數(shù)求解參數(shù)取值范圍問(wèn)題

利用零點(diǎn)求參數(shù)取值范圍的問(wèn)題.有時(shí)可以利用方程，但有時(shí)不易甚至不可能解出，而轉(zhuǎn)化為構(gòu)造兩函數(shù)圖象求解，可以使得問(wèn)題簡(jiǎn)單明了.當(dāng)不是求零點(diǎn)，而是利用零點(diǎn)的個(gè)數(shù)或由零點(diǎn)求參數(shù)的取值范圍時(shí)，一般采用數(shù)形結(jié)合法求解，在數(shù)形轉(zhuǎn)化中尋求捷徑.但數(shù)形轉(zhuǎn)化中必須注意兩點(diǎn)：其一，注意數(shù)與形轉(zhuǎn)化的等價(jià)性，轉(zhuǎn)化前后的問(wèn)題應(yīng)是等價(jià)的：其二，注意利用“數(shù)”的精確性和“形”的全面性，如判斷公共點(diǎn)個(gè)數(shù)問(wèn)題，轉(zhuǎn)化成圖形后要保證“數(shù)”的精確性，才能得出正確結(jié)論.

（1）與斜率有關(guān)的參數(shù)取值范同問(wèn)題

例7設(shè)函數(shù)f（x）滿足f（x）=f（3x），且當(dāng)X∈[1，3）時(shí)，f（x）=lnx.若在區(qū)間[1，9）內(nèi)，存在3個(gè)不同的實(shí)數(shù)x1，X2，X3，

評(píng)注：曲線在切點(diǎn)處的切線斜率就是對(duì)應(yīng)函數(shù)在該點(diǎn)的導(dǎo)數(shù)，平時(shí)的教學(xué)中要注意引導(dǎo)學(xué)生學(xué)會(huì)利用導(dǎo)數(shù)來(lái)研究函數(shù)的圖象和性質(zhì).借助圖象特點(diǎn).尋求解題思路，啟發(fā)思維，難題巧解.

（2）與復(fù)合函數(shù)有關(guān)的參數(shù)取值范圍問(wèn)題

例8 已知函數(shù)f（x）=若關(guān)于x的函數(shù)y=f2（x）-bf （x）+l有8個(gè)不同的零點(diǎn)，則實(shí)數(shù)6的取值范圍是____________.

解析：根據(jù)題意作出函數(shù)f（x）的簡(jiǎn)圖.

由圖可得當(dāng)f（x）∈（0，4]時(shí)，有四個(gè)不同的x與f（x）對(duì)應(yīng)，再結(jié)合題中“關(guān)于x的函數(shù)有8個(gè)不同的零點(diǎn)”，問(wèn)題轉(zhuǎn)化為“關(guān)于t的方程t2-bt+l=0在t∈（0，4]上有兩個(gè)不同的實(shí)數(shù)根”.

評(píng)注：對(duì)于復(fù)合函數(shù)問(wèn)題，一定要弄清內(nèi)函數(shù)、外函數(shù)以及它們各自的屬性，尤其要注意內(nèi)函數(shù)的值域與外函數(shù)的定義域之間的區(qū)別與聯(lián)系.

（3）與值域有關(guān)的參數(shù)取值范圍問(wèn)題

例9 已知函f（x）=x3+2x2-ax+l.

（1）若函數(shù)f（x）在點(diǎn)（1，f（1））處的切線斜率為4.求實(shí)數(shù)a的值：

（2）若函數(shù)g（x）=f'（z）在區(qū)間（-1，1）上存在零點(diǎn).求實(shí)數(shù)a的取值范圍.

解析：由題意得g（x）=f'（x）=3x2+4x-a，

（l）f'（1）=3+4-a=4，所以a=3；

（2）方法一：函數(shù)g（x）=f'（x）在區(qū)間（-1，1）上存在零點(diǎn)等價(jià)于求函數(shù)a=3x2+4x在x∈（一1，1）上的值域，而a=3x2+4x=

方法二：g（x）=f'（z）在區(qū)間（-1，1）上存在零點(diǎn)，等價(jià)于3x2+4x=a在區(qū)間（一1，1）上有解，也等價(jià)于直線y=a與曲線y=3x2+4x，z∈（一1，1）有公共點(diǎn)，作圖

評(píng)注：形如a=f（x）的函數(shù)在已知區(qū)間上的零點(diǎn)問(wèn)題，本質(zhì)就是求函數(shù)y=f（x）在給定區(qū)間的值域，借助圖象再求值域.當(dāng)然也可研究直線y=a與函數(shù)y=f（x）的圖象的交點(diǎn)個(gè)數(shù).

歸納提煉

對(duì)于函數(shù)零點(diǎn)個(gè)數(shù)的考查主要是利用數(shù)形結(jié)合思想與轉(zhuǎn)化思想，將問(wèn)題轉(zhuǎn)化為對(duì)應(yīng)方程的根的個(gè)數(shù)或?qū)?yīng)函數(shù)圖象與x軸的交點(diǎn)個(gè)數(shù)或兩個(gè)函數(shù)圖象交點(diǎn)的個(gè)數(shù)來(lái)研究.一般函數(shù)零點(diǎn)個(gè)數(shù)的判斷問(wèn)題，不僅要在閉區(qū)間[a，b]是連續(xù)函數(shù)且f（a）·f（b）<0，還必須結(jié)合函數(shù)的圖象與性質(zhì)才能確定.對(duì)于字母取值范圍問(wèn)題的考查主要包括：①根據(jù)平移理論，結(jié)合零點(diǎn)個(gè)數(shù)平移直線，進(jìn)而確定字母的取值范圍：②賦予字母參數(shù)一定的意義，結(jié)合圖象加以解決：③轉(zhuǎn)化為函數(shù)的值域來(lái)加以研究.

平時(shí)教學(xué)中要緊緊抓住數(shù)形轉(zhuǎn)化的策略，溝通知識(shí)的聯(lián)系，激發(fā)學(xué)生學(xué)習(xí)興趣.提高學(xué)生的思維能力，只有這樣，學(xué)生對(duì)數(shù)形結(jié)合思想的認(rèn)識(shí)才能不斷深化提高.要讓學(xué)生真正掌握各種函數(shù)的圖象特點(diǎn)，理解各種幾何圖形的性質(zhì).引導(dǎo)學(xué)生根據(jù)問(wèn)題的具體情況，注意改變觀察和理解問(wèn)題的角度，揭示問(wèn)題的本質(zhì)，用“數(shù)”的準(zhǔn)確澄清“形”的模糊.用“形”的直觀啟迪“數(shù)”的計(jì)算，從而使問(wèn)題得到解決.

本文僅從數(shù)形結(jié)合思想出發(fā)探究關(guān)于函數(shù)零點(diǎn)的一些典型問(wèn)題，只是數(shù)形結(jié)合思想應(yīng)用的一個(gè)方面.要真正掌握數(shù)形結(jié)合思想的精髓，必須要有雄厚的基礎(chǔ)知識(shí)和熟練的解題技巧.數(shù)形結(jié)合實(shí)質(zhì)就是相互轉(zhuǎn)化.在解決函數(shù)問(wèn)題，尤其是較為煩瑣的求參數(shù)取值范圍問(wèn)題時(shí)要充分發(fā)揮圖象的直觀作用.