摘要：圓錐曲線有很多優(yōu)美和諧的性質(zhì)，幾何畫板在探究圓錐曲線性質(zhì)方面有很大優(yōu)勢.選擇圓錐曲線中合適的題目開展研究性學(xué)習(xí)可以提高學(xué)生學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的興趣，發(fā)散能力，創(chuàng)新意識.

關(guān)鍵詞：類比；實驗探究；幾何畫板；圓錐曲線：應(yīng)用

筆者在和高三學(xué)生一起借助幾何㈣板塒一道橢圓模擬題進(jìn)行研究性學(xué)習(xí)時，探究得到網(wǎng)錐曲線的又一組優(yōu)美性質(zhì)，現(xiàn)整理出來，以供同行和高三學(xué)生參考.

題目

特殊化

由（2）知，兩條切線相互垂直，我們知道.圓可以看做是長短軸相等的特殊的橢圓.通過類比，很容易發(fā)現(xiàn)在圓中有如下結(jié)論.

已知圓O1：x2+y2=r2，過圓O2：x2+y2=2r2

推廣

圓的上述結(jié)論能否進(jìn)一步在橢圓、雙曲線、拋物線中推廣呢？經(jīng)過一番實驗探究，獲得以下性質(zhì).

評注：定理l有以下變式：設(shè)橢圓C2的任意一條切線交橢圓C1于T1，T2兩點，則橢圓C1在T1，T2處的切線互相垂直且它們的交點的軌跡是圓O.（仿此可寫出定理3、定理5的類似變式，本文略）

評注：定理2也有以下變式：圓O的任意一條切線交橢圓C1于T1，T2兩點，橢圓c1在T1，T2處的切線交于點P，則有（1）以T，T2為直徑的圓過點O；（2）若兩切線斜率存在，則它們的乘積為；（3）點P的軌跡是橢圓C1.（仿此可寫出定理4、定理6的類似變式，本文略）

拋物線可以看做是一個焦點在無窮遠(yuǎn)處的橢圓.定理1中的圓O和定理2中橢圓C2都變成了直線，定理l中的橢圓C2退化為一點

證明：（l）顯然過點P作拋物線的切線斜率存在，故設(shè)切線ι的方程為y-yo=

由題意知，兩切線的斜率kl，k2是方程⑨的兩相異實根.由根與系數(shù)的關(guān)系得kI·k2=-l，所以PT1⊥PT2

定理6 已知拋物線y2=2px（p>0）.過直線x=-2p上任一點P（-2p，yo）作拋物線的兩條切線，兩切點分別為T1，T2（如圖7），則有

（1）兩切線的斜率分別記為k1，k2，那么k1·k2=-1/4；

（2）OT1⊥OT2；

（3）點O在切點弦T1T2上的射影H的軌跡是圓（x-p）2+y2=p2（除去原點）.

證明：（1）顯然過點P（-2p，yo）作拋物線的切線斜率存在.故設(shè)切線方程為

（1）求雙曲線C的方程：

（2）設(shè)直線ι是圓O：x2+y2=2 上動點P（xo，Yo） （xoyo≠0）處的切線，ι與雙曲線C交于不同的兩點A，B，證明：∠AOB的大小為定值.

（1）求橢圓E的方程：

（2）是否存在圓心在原點的圓，使得該圓的任意一條切線與橢圓E恒有兩個交點A，B，目若存在，寫出該圓的方程，并求|AB|的取值范圍，若小存在說明理由.

反思

現(xiàn)行人教版《普通高中課程標(biāo)準(zhǔn)實驗教科書·數(shù)學(xué)（A版）》教材的一個突出特點是：“科學(xué)性”與“思想性”統(tǒng)一.具體說就是利用數(shù)學(xué)內(nèi)容的內(nèi)在聯(lián)系.使不同的數(shù)學(xué)內(nèi)容相互溝通，提高學(xué)生對數(shù)學(xué)的整體認(rèn)識水平.特別地，在教科書中強(qiáng)調(diào)類比、推廣、特殊化、化歸等思想方法.盡最大可能展示以下常用的邏輯思考方法：

以使學(xué)生體會數(shù)學(xué)探索活動的基本規(guī)律，逐步學(xué)會借助數(shù)學(xué)符號和邏輯關(guān)系進(jìn)行數(shù)學(xué)推理和探究，推求新的事實和論證猜想，從而發(fā)展學(xué)生認(rèn)識事物的“數(shù)”“形”屬性和規(guī)律、處理相應(yīng)的邏輯關(guān)系的悟性和潛能，養(yǎng)成邏輯思維的習(xí)慣，能夠有條理地、符合邏輯地進(jìn)行思考、推理、表達(dá)與交流，章建躍博士稱其為數(shù)學(xué)教學(xué)的“基本套路”，如果我們在平時教學(xué)中一有機(jī)會就對學(xué)生進(jìn)行這方面的訓(xùn)練，久而久之，學(xué)生提出問題、解決問題的能力就會大幅提高，激發(fā)學(xué)生探究欲望.提高學(xué)生的創(chuàng)新意識也就不是空談了.

在高考復(fù)習(xí)中，在課堂上適當(dāng)引入一些高考真題或有一定價值的模擬題，對它進(jìn)行一番探索是一件非常有意義的事情.或一題多解，從考查學(xué)生知識與能力的角度.開發(fā)試題的教學(xué)功效：或追根溯源，尋找命題的背景材料，追蹤命題人思想的足跡：或變式推廣，從特殊到一般、從一題到一類，發(fā)掘藏在試題中的更多優(yōu)美性質(zhì)，這樣不僅可以提高學(xué)生的探究能力和創(chuàng)新意識，還能激發(fā)學(xué)生學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的興趣.