摘 要：例題是高中數(shù)學(xué)教材的重要組成部分. 教材中的例題不僅凝結(jié)著知識要點(diǎn)，而且蘊(yùn)涵著一定的數(shù)學(xué)思想與方法. 特別是比較典型的例題，從內(nèi)容與解決問題的方法上來看具有一定代表性，是學(xué)生進(jìn)行模仿學(xué)習(xí)的起點(diǎn)，它對學(xué)生掌握基本數(shù)學(xué)知識、獲得基本技能、提煉基本數(shù)學(xué)經(jīng)驗(yàn)、掌握基本數(shù)學(xué)思想，具有非常重要的示范作用. 本從兩個方面對此做了探討.

關(guān)鍵詞：例題；教材；拓展；應(yīng)用

一年一度的高考總復(fù)習(xí)其主要任務(wù)是通過對課本內(nèi)容的深化與拓展，快速提升學(xué)生的應(yīng)試答題能力. 具體地說是對例題、習(xí)題重組，將課本、資料、高考試題有機(jī)地結(jié)合起來，從而展示知識的發(fā)生、發(fā)展過程，啟迪學(xué)生思考、頓悟、探求，促使其形成一套屬于自己的思維方法，這是提高數(shù)學(xué)復(fù)習(xí)效率的重要途徑. 我們常說高考數(shù)學(xué)題“源于課本，高于課本”，“源”即高考常以課本中的概念、公式、定理、例題、習(xí)題為雛形編擬考題；“高”即在“源”的基礎(chǔ)上有所創(chuàng)造，旨在考查學(xué)生的各種能力.

然而現(xiàn)實(shí)教學(xué)中，大多的高三課堂教學(xué)景觀變了樣. 統(tǒng)一選用某一本高三復(fù)習(xí)用書，文科與理科兩本書不僅厚度讓人吃一驚，而且內(nèi)容大多是網(wǎng)絡(luò)內(nèi)容，換湯不換藥，本以為高三復(fù)習(xí)用書中的題目是精選的，打開一看著實(shí)讓人一身冷汗. 分明是2013年的某省高考試題，在2014年書本中使用是新的，但今年題目沒有更換，而是直接將“2013改成2015”，這樣搖身一變還是新的，且不說這是有意的還是無意的. 我們只說用這樣的資料真的適合你自己的學(xué)生嗎？是呀，用現(xiàn)成的高三復(fù)習(xí)用書，每節(jié)課復(fù)習(xí)內(nèi)容不用教師再去費(fèi)神費(fèi)時(shí)編寫，每一節(jié)課都有現(xiàn)成的已經(jīng)歸納好的知識網(wǎng)絡(luò)結(jié)構(gòu)，大多類型都有例題，即省時(shí)又省力的確是好事. 然而，不少教師往往忽略了作為課程資源的主要憑借——教材.大多教師脫離甚至放棄教材，這種舍本逐末的做法必然導(dǎo)致學(xué)生對基本知識似懂非懂，雙基掌握不牢固. 在歷屆的高考結(jié)束后，我們不約而同地發(fā)現(xiàn)，與教材上例題、習(xí)題相似的題目，仍有相當(dāng)一部分學(xué)生拿不了滿分，究其原因是學(xué)生能力上不去. 如何挖掘課本例題、習(xí)題資源，彌補(bǔ)教材例題應(yīng)用的缺失，從而使學(xué)生全面、準(zhǔn)確地理解高中教材，真正提升學(xué)生的各種能力，這不僅僅是高三復(fù)習(xí)迎考中需要認(rèn)真對待的話題，也是每一位高中數(shù)學(xué)教師要認(rèn)真思考與實(shí)踐的重要課題.

例題教學(xué)的意義

例題是高中數(shù)學(xué)教材的重要組成部分. 教材中的例題不僅凝結(jié)著知識要點(diǎn)，而且蘊(yùn)涵著一定的數(shù)學(xué)思想與方法.特別是比較典型的例題，從內(nèi)容與解決問題的方法上來看具有一定代表性，是學(xué)生進(jìn)行模仿學(xué)習(xí)的起點(diǎn)，它對學(xué)生掌握基本數(shù)學(xué)知識、獲得基本技能、提煉基本數(shù)學(xué)經(jīng)驗(yàn)、掌握基本數(shù)學(xué)思想，具有非常重要的示范作用. 例題也是學(xué)生將數(shù)學(xué)理論知識與實(shí)際應(yīng)用連結(jié)起來的過渡. 從這個意義上來講，它是提升學(xué)生適應(yīng)社會能力的橋梁.

例題是闡明數(shù)學(xué)概念、數(shù)學(xué)思想的載體. 我們知道對于中學(xué)生來說數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)比較困難，其中一個重要的原因是數(shù)學(xué)具有形式和內(nèi)容上的抽象性. 皮亞杰將兒童的認(rèn)知發(fā)展分為四個階段：感知運(yùn)動階段、前運(yùn)算階段、具體運(yùn)算階段和形式運(yùn)算階段（又稱命題運(yùn)算階段）. 其中，形式運(yùn)算階段的特點(diǎn)是“個體推理能力得到提高，能從多種維度對抽象的性質(zhì)進(jìn)行思維，他們的思維是以命題的形式進(jìn)行的，并能發(fā)現(xiàn)命題之間的關(guān)系；能夠進(jìn)行假設(shè)性思維，采用邏輯推理、歸納或演繹的方式來解決問題；能理解符號的意義、隱喻和直喻，能做一定的概括”. 由此可以看出兒童的認(rèn)知發(fā)展都會依次經(jīng)歷這四個階段，但不同的兒童會以不同的發(fā)展速度經(jīng)歷這幾個過程. 中學(xué)時(shí)期，對于大部分的學(xué)生來說，是難以達(dá)到成熟的形式運(yùn)算階段，因此，如果直接將各種概念、數(shù)學(xué)思想呈現(xiàn)給學(xué)生，學(xué)生是很難理解接受的. 那應(yīng)當(dāng)怎么辦呢，我們給學(xué)生呈現(xiàn)的是例題，憑借例題的教學(xué)意義，不斷地由特殊到一般再由一般到特殊的反復(fù)過程中，使學(xué)生經(jīng)歷概念、知識的產(chǎn)生、發(fā)展過程，并由此形成自己的獨(dú)特思維能力，加之教師的不斷引導(dǎo)與拓展，擴(kuò)大學(xué)生的數(shù)學(xué)視野，從而提升學(xué)生的數(shù)學(xué)能力.

例如在人教版必修4“3.1.2兩角和與差的正弦、余弦、正切公式”教學(xué)中，有如下例題：已知sinα=-，α是第四象限角，求sin

的值. 設(shè)置本例的目的是讓學(xué)生鞏固三個三角函數(shù)公式. 在教學(xué)中，我們應(yīng)當(dāng)關(guān)注例題的變式與拓展，設(shè)置情境式的變式題，引導(dǎo)學(xué)生去觀察每一個數(shù)學(xué)問題，提升解決問題的能力. 在高中階段的概念教學(xué)中，學(xué)生獲得數(shù)學(xué)概念的主要方式是概念同化. 不管是通過哪種方式讓學(xué)生獲得概念，都應(yīng)當(dāng)結(jié)合學(xué)生當(dāng)下最近發(fā)展區(qū)已經(jīng)有的知識，考慮怎樣激活到學(xué)生認(rèn)知結(jié)構(gòu)中的原有經(jīng)驗(yàn)或原有概念，也就是有效地幫助學(xué)生搭建新舊知識聯(lián)系的橋梁，否則必將造成死記硬背的機(jī)械學(xué)習(xí). 高中新課程改革對數(shù)學(xué)概念教與學(xué)提出了更高的要求，更關(guān)注數(shù)學(xué)概念的應(yīng)用過程性學(xué)習(xí)，教師的講授要圍繞“促進(jìn)學(xué)生理解概念的本質(zhì)”而展開，要求教師在概念教學(xué)中創(chuàng)造性地使用教材等. 所以在完成例3的教學(xué)后，筆者會運(yùn)用拓展例題：如圖1，D是△ABC的邊AB上一點(diǎn)，將圖形沿直線DC折疊，點(diǎn)A恰好落在BC上的點(diǎn)E處. 若AD=5，CE=8，設(shè)∠B=α，∠BED=β，則cos（α+β）=_______. 本題的設(shè)置思維起點(diǎn)低，是借助初中一年級動手折疊對稱等知識來考查兩角和的余弦公式，有利于學(xué)生思維的形成. 著名數(shù)學(xué)教育家波利亞表達(dá)過這樣的觀點(diǎn)：一個恰當(dāng)?shù)睦}勝過一打理論. 給學(xué)生提供適當(dāng)?shù)睦}，可以幫助學(xué)生更好地理解概念，抓住本質(zhì). 例如在學(xué)習(xí)“指數(shù)函數(shù)及其性質(zhì)”時(shí)，教材在闡述了指數(shù)函數(shù)圖象的特點(diǎn)后，接著就給了一個利用指數(shù)函數(shù)性質(zhì)比較兩個數(shù)值大小的例子. 該例題不僅鞏固了剛學(xué)知識點(diǎn)，更是將具有抽象意義的函數(shù)具體化，引導(dǎo)學(xué)生運(yùn)用數(shù)形結(jié)合的思想解決抽象問題，幫助學(xué)生認(rèn)識指數(shù)函數(shù)本質(zhì)特點(diǎn).

例題的內(nèi)容與解決問題的方法，具有一定的代表性與應(yīng)用性. 我們知道“數(shù)學(xué)模型”對于促進(jìn)學(xué)生的模式識別以及模型建構(gòu)技能的形成具有較強(qiáng)的參照作用. 所謂數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)中的模式識別，是一種數(shù)學(xué)結(jié)構(gòu)的相似性的再認(rèn)，關(guān)注數(shù)學(xué)問題特征及數(shù)量關(guān)系中存在的相似性，是解決問題能力提升的有效手段.例如解決函數(shù)最值一類問題時(shí)，我們常常引導(dǎo)學(xué)生運(yùn)用導(dǎo)數(shù)這一工具進(jìn)行解決. 在解決問題過程中，我們通過設(shè)置含有不同參數(shù)的“數(shù)學(xué)模型”，考查學(xué)生對分類討論思想、化歸與轉(zhuǎn)化思想、數(shù)形結(jié)合思想等的認(rèn)識.從而形成學(xué)生自己的模型建構(gòu)元，我認(rèn)為模型建構(gòu)元的形成是指學(xué)生在教師的引導(dǎo)下，通過活動解決問題，在探究中獲得解決問題的策略性知識. 在解決問題過程中不斷積累，從而形成自己解決問題的能力.隨著對例題學(xué)習(xí)的拓展與遷移，用數(shù)學(xué)的能力得到不斷提升. 也即例題的內(nèi)容方法能夠遷移到其他問題的解決中.

例題是連接理論與實(shí)際應(yīng)用的橋梁. 我們知道數(shù)學(xué)中的很多例題是數(shù)學(xué)理論知識與實(shí)際應(yīng)用的連結(jié)與過渡. 也就是理論知識的具體化. 新課程所倡導(dǎo)的基本理念之一是發(fā)展學(xué)生的數(shù)學(xué)應(yīng)用意識. 而教材中突出反映這一理念的舉措，便是新增了與實(shí)際問題相關(guān)的應(yīng)用例題. 例如高中數(shù)學(xué)必修1第97頁中的“3.2函數(shù)的模型及其應(yīng)用”一節(jié)中，就有這樣的典型例題：某公司為了實(shí)現(xiàn)1000萬元利潤的目標(biāo)，準(zhǔn)備制定一個激勵銷售人員的獎勵方案：在銷售利潤達(dá)到10萬元時(shí)，按銷售利潤進(jìn)行獎勵，且獎金y（單位：萬元）隨銷售利潤x（單位：萬元）的增加而增加，但獎金總數(shù)不超過5萬元. 同時(shí)獎金不超過利潤的25%.現(xiàn)有三個獎勵模型：y=0.25x，y=log2x+1，y=1.002x，其中哪個模型能符合公司的要求？偉大的恩格斯指出：“數(shù)和形的概念不是從其他任何地方，而是從現(xiàn)實(shí)世界中得來的.” 在數(shù)學(xué)課堂教學(xué)中，提供密切聯(lián)系數(shù)學(xué)理論的現(xiàn)實(shí)原型例題，引導(dǎo)學(xué)生分析日常生活和生產(chǎn)實(shí)際中常見的事例，通過解決與實(shí)際生活相關(guān)的問題，可以達(dá)到加深理解理論的目的.

引申教材例題，防止教材例題應(yīng)用缺失

在高中數(shù)學(xué)教學(xué)中，緊緊抓住教材例題，提煉方法、引申改造、變形推廣意義深遠(yuǎn). 它不僅僅可以開拓學(xué)生解題思路，更重要的是激發(fā)學(xué)生的求知欲，培養(yǎng)學(xué)生駕馭課本知識的能力. 同時(shí)也成為我們克服亂用資料、盲目題海戰(zhàn)術(shù)的利器.

在日常課堂教學(xué)工作中，就題論題沒有真正把握例題教學(xué)意義的現(xiàn)象到底如何呢？經(jīng)過多年的課堂聽課跟蹤，筆者發(fā)現(xiàn)部分優(yōu)秀教師基本能把握教材設(shè)置例題的教學(xué)意義，能有效拓展教材的應(yīng)用價(jià)值. 也有相當(dāng)一部分教師對于教材例題應(yīng)用存在著這樣或那樣的缺失. 2015年9月8日，筆者所在學(xué)校教研室組織聽取一名高一年級數(shù)學(xué)教師的常態(tài)課，此課進(jìn)一步印證了筆者的想法. 教師上課內(nèi)容是人教版高中數(shù)學(xué)必修1中的“1.1.2集合間的基本關(guān)系”. 教師運(yùn)用教材中上節(jié)課的練習(xí)題作為引例引入新課. “試選擇適當(dāng)?shù)姆椒ū硎疽韵录希海?）由方程x2-9=0的所有實(shí)數(shù)根組成的集合；（2）由函數(shù)y=的自變量x的取值范圍組成的集合”. 教師點(diǎn)評：（1）符合題意的集合是{3，-3}，（2）符合題意的集合是{x

x≠0}. 教師只是簡單地寫出答案，沒有進(jìn)行有效的引導(dǎo)與拓展，也沒有深入想一想設(shè)置引例的目的是什么. 筆者猜想這位教師設(shè)置引例的目的也許是讓學(xué)生回顧上節(jié)所學(xué)集合表示法，起到一個承上啟下的作用. 在這里，筆者建議這位教師對上一節(jié)課的內(nèi)容進(jìn)行如下點(diǎn)評：同學(xué)們，我們知道集合語言是現(xiàn)代數(shù)學(xué)的基本語言，使用集合語言，可以簡潔、準(zhǔn)確地表達(dá)數(shù)學(xué)內(nèi)容. 本章中只將集合作為一種語言來學(xué)習(xí)，要求我們學(xué)會使用最基本的集合語言去表示有關(guān)的數(shù)學(xué)對象，提升與發(fā)展我們運(yùn)用數(shù)學(xué)語言進(jìn)行交流的能力. 另外，對于第一個集合，我們不僅僅會用列舉法，還可以用描述法等來表示，請同學(xué)們思考如何用描述法來表示呢？教師引導(dǎo)小組交流并寫出正確答案為{x

這樣做的目的有三個，其一是讓學(xué)生明白學(xué)習(xí)集合的意義，其二是讓學(xué)生進(jìn)一步鞏固上一節(jié)課所學(xué)的知識，其三是為了讓學(xué)生初步了解“或”，“且”的數(shù)學(xué)意義，為下一接課的教學(xué)打下一個基礎(chǔ). 筆者認(rèn)為在教學(xué)中，如果教師按照教材的內(nèi)容和順序，平鋪直敘地講開去，也算是一節(jié)完整的課，如果只停在例題的呈現(xiàn)的表面意義上，那么它的有效性將打個問號. 但怎樣有效實(shí)現(xiàn)教材所選例題的教學(xué)意義，拓展其應(yīng)用價(jià)值，并使其最大化，值得我們在每一節(jié)課教學(xué)中不斷探索.

以本為本，緊扣課本例題、習(xí)題教學(xué)意義，引申改造、變形推廣，可以克服亂用資料、盲目搞題海戰(zhàn)的通病，是提高數(shù)學(xué)教學(xué)質(zhì)量的有效舉措. 2015年9月10日，筆者聽了一節(jié)高三年級文科班的數(shù)學(xué)復(fù)習(xí)課，師生運(yùn)用的教材中有這一樣一道例題：已知函數(shù)f（x）=x3+ax2+bx+c在x=1，x=-處都取得極值，（1）求a，b的值，（2）若f（-1）=，求f（x）的單調(diào)區(qū)間和極值. 教師指導(dǎo)學(xué)生對題目進(jìn)行自主閱讀，提煉有效信息，一步步引導(dǎo)學(xué)生理清例題的要義，并對每一個信息進(jìn)行聯(lián)想式的反問與思考. 難能可貴的是該教師緊扣例題的教學(xué)意義，不斷反問學(xué)生，本題考查的知識點(diǎn)是什么，其中蘊(yùn)涵什么樣的數(shù)學(xué)思想與方法，在解答書寫過程中，我們規(guī)范表達(dá)時(shí)注意什么等. 聽起來例題講解很成功，但仔細(xì)想一想，如何以本為本，充分結(jié)合例題，引申改造，舉一反三，變形推廣，這不正是我們高三課堂要做的必修課嗎？課后與這位教師的交流中，筆者建議他在下一節(jié)課的教學(xué)中，能從函數(shù)取得極值的整體性與局部性兩個方面入手，引導(dǎo)學(xué)生，對例題進(jìn)行改造，結(jié)合不等式或結(jié)合求參數(shù)的取值范圍，甚至拓展到抽象函數(shù)，結(jié)合數(shù)列等構(gòu)造新的例題，有效克服亂用資料題海戰(zhàn)術(shù)的通病. 在課堂上，鼓勵學(xué)生通過適時(shí)交流與合作，體會解決問題成功的喜悅，從而養(yǎng)成良好的學(xué)習(xí)習(xí)慣，樹立信心. 通過例題的變式與拓展，例題也許沒有了原本的面目，但增加了學(xué)生感受知識的橫向聯(lián)系與縱向聯(lián)系，幫助學(xué)生洞悉知識的本質(zhì)、問題的根源，從而形成深刻的印象，提升了學(xué)生掌握知識的熟練度及運(yùn)用知識的能力.

“數(shù)學(xué)教學(xué)的核心目標(biāo)是讓學(xué)生理解數(shù)學(xué)知識，培養(yǎng)思維能力、學(xué)會思考進(jìn)而成為善于認(rèn)識和解決問題的人才”. 學(xué)生是學(xué)習(xí)的主體，教師只是引導(dǎo)者. 教師教學(xué)的過程就是讓學(xué)生對知識、經(jīng)驗(yàn)、方法、技能等逐步內(nèi)化，體會數(shù)學(xué)運(yùn)算的意義，應(yīng)用運(yùn)算、推理等探索并發(fā)現(xiàn)數(shù)學(xué)結(jié)論，最終建立起完整的數(shù)學(xué)知識體系，提升自己的數(shù)學(xué)素養(yǎng). 在這個過程中，典型例題的訓(xùn)練與分析有助于提升學(xué)生對數(shù)學(xué)概念的掌握，對方法技能的理解，對知識的靈活應(yīng)用. 把握例題教學(xué)的意義，強(qiáng)調(diào)動手、反思和感悟，培養(yǎng)渴求知識的感覺.通過對例題變式拓展的教學(xué)，關(guān)注每一道例題應(yīng)用價(jià)值的缺失，真正使學(xué)生在學(xué)習(xí)過程中，經(jīng)歷“感知—感悟—知識—方法—思想”的過程. 讓思維活動成為數(shù)學(xué)課堂的主角，使其在學(xué)習(xí)中不斷反思，豐富思維的批判性和想象力，提升其發(fā)現(xiàn)和鑒別數(shù)學(xué)事實(shí)及運(yùn)用數(shù)學(xué)解決問題的能力.