摘 要：動(dòng)點(diǎn)的軌跡問題是中學(xué)幾何研究的基本問題之一. 求曲線的軌跡和利用軌跡方程研究曲線的性質(zhì)是解析幾何研究的兩大基本問題. 近年來高考試題中頻繁出現(xiàn)軌跡問題，有些看似與軌跡無(wú)關(guān)，但挖掘問題的本質(zhì)確是曲線的“另類”定義，借助“另類”定義求出相關(guān)的軌跡曲線，往往能拓寬解題思路，提高解題效率. 本文就是對(duì)一道高考試題的本質(zhì)挖掘及其推廣與應(yīng)用.

關(guān)鍵詞：另類定義；拓展提升

試題呈現(xiàn)：如圖1，斜線段ΑΒ與平面α所成的角為60°，Β為斜足，平面α上的動(dòng)點(diǎn)Ρ滿足∠ΡΑΒ=30°，則點(diǎn)Ρ的軌跡是（ ）

A. 直線 B. 拋物線

C. 橢圓 D. 雙曲線的一支

數(shù)學(xué)思想指引下的解法探究與拓展提升

數(shù)學(xué)思想是人們對(duì)數(shù)學(xué)事實(shí)與理論經(jīng)過高度提煉概括后產(chǎn)生的本質(zhì)認(rèn)識(shí)，是數(shù)學(xué)知識(shí)和方法產(chǎn)生的根本源泉，是解決數(shù)學(xué)問題過程中的指路明燈. 一道好的試題，不在于華麗的“包裝”，而在于本身所蘊(yùn)涵的思想方法. 高考試題中蘊(yùn)涵了豐富的數(shù)學(xué)思想，只有挖掘其中的思想，才能深入認(rèn)識(shí)試題，透徹分析試題，順利解答試題. 在教學(xué)中教師要展現(xiàn)在數(shù)學(xué)思想指導(dǎo)下尋找解決問題的多種解法的思維歷程.

視角一、坐標(biāo)思想：代數(shù)方法解決幾何問題

平面解析幾何的基本思想有兩個(gè)要點(diǎn)：第一，在平面建立坐標(biāo)系，一點(diǎn)的坐標(biāo)與一組有序的實(shí)數(shù)對(duì)相對(duì)應(yīng)；第二，在平面上建立了坐標(biāo)系后，平面上的一條曲線就可由帶兩個(gè)變量的一個(gè)代數(shù)方程來表示了. 從這里可以看到，運(yùn)用坐標(biāo)法不僅可以把幾何問題通過代數(shù)方法解決，而且還把變量、函數(shù)以及數(shù)和形等重要概念密切聯(lián)系了起來.

視角二、由特殊到一般的思想將問題拓展提升

愛因斯坦曾說過：“解決一個(gè)問題好比是在草堆中尋針，別人往往尋找到一根針時(shí)即停止不再費(fèi)力去做了，但我卻會(huì)尋遍草堆中的所有藏針，不達(dá)目的絕不罷手.” 因此教師要善于引導(dǎo)學(xué)生從不同方向、不同角度、不同方位進(jìn)行思考，激活學(xué)生的思維能力，幫助學(xué)生訓(xùn)練基本技能、基本方法，更重要的是開闊學(xué)生的思維，提升學(xué)生思維的靈活性、發(fā)散性、廣闊性和深刻性.

本試題中給出了兩個(gè)角：線線角與線面角，那么軌跡的形狀與這兩個(gè)角有什么樣的聯(lián)系呢？如果是圓錐曲線，那么離心率與兩個(gè)角有什么關(guān)系呢？

視角三、化歸思想，挖掘本質(zhì)，回歸本源

化歸思想是數(shù)學(xué)思想之一，是把未知的問題轉(zhuǎn)化為在已知的知識(shí)內(nèi)可解的問題的一種重要的思想方法. 本題的實(shí)質(zhì)是平面截圓錐面的問題，體現(xiàn)了圓錐曲線的“另類定義”即“生成性”定義.

高中解析幾何教材中給出了圓錐曲線的兩種定義，但這兩種定義卻均與“圓錐”無(wú)關(guān)，不足以揭示圓錐曲線之所以被稱為“圓錐曲線”的原因. 其實(shí)，在解析法誕生以前，很早就有了關(guān)于圓錐曲線的研究，就產(chǎn)生了“圓錐曲線”一詞，圓錐曲線來源于平面截圓錐面. 如圖3所示：平面截圓錐可以得到圓錐曲線：橢圓、雙曲線、拋物線.

挖掘命題背景、感悟命題思想

“先足夠地退，退到我們?nèi)菀卓辞宄栴}的地方，看透了，鉆深了，然后再上去.” ——華羅庚

這句話是華羅庚先生解決數(shù)學(xué)問題的心得，對(duì)于指引數(shù)學(xué)教學(xué)也有著啟發(fā)與意義，對(duì)教師理解教學(xué)有幫助. 本試題退到我們最容易看清楚的地方可以發(fā)現(xiàn)：命題的背景是平面截圓錐面，體現(xiàn)了圓錐曲線的“生成性”定義，

試題來源于人教版A版教材選修2-1的“探索與發(fā)現(xiàn)”，教材中利用過球外一點(diǎn)作球的切線，則切線長(zhǎng)都相等的結(jié)論. 證明了用一個(gè)平面去截圓錐，得到的截口是橢圓.

同類試題探究（2008年浙江高考數(shù)學(xué)理科第10題）如圖5，AB是平面α的斜線段，A是斜足，若點(diǎn)P在平面α內(nèi)運(yùn)動(dòng)，使得△ABP的面積為定值，則動(dòng)點(diǎn)P的軌跡是（ ）

A. 圓 B. 橢圓

C. 一條直線 D. 兩條平行直線

變式：已知底面半徑為2的圓柱，一平面與圓柱的母線成60°角，求截線橢圓的焦距與離心率？

解：由題可知：橢圓的長(zhǎng)半軸長(zhǎng)為a==，短半軸長(zhǎng)b=2，所以半焦距c===，焦距為2c=，離心率e===.

歸納提升：當(dāng)平面α與圓柱相交

（1）若平面α與圓柱的底面平行時(shí)截口曲線為圓；

（2）若平面α與圓柱的底面不平行時(shí)，即用與圓柱母線成β

角的平面α截圓柱時(shí)截口曲線為橢圓，且橢圓的離心率為e=cosβ.

本類試題體現(xiàn)了高考命題的主要思想：“源于教材，又不拘泥于教材”，因?yàn)槊磕甑母呖荚囶}中都有些題目或多或少涉及課本內(nèi)容，有時(shí)就是考查課本的原題或改編題. 教材編寫者在設(shè)計(jì)“探究與發(fā)現(xiàn)”、“信息技術(shù)與應(yīng)用”、“閱讀與思考”等欄目時(shí)獨(dú)具匠心，不僅希望拓展學(xué)生的知識(shí)視野，讓學(xué)生知道數(shù)學(xué)在生活中的應(yīng)用，還讓師生回歸生活本源和知識(shí)本源，探究最本質(zhì)的知識(shí)與方法，發(fā)現(xiàn)數(shù)學(xué)中一些問題的真諦和美，同時(shí)也是高考命題的重要來源.

研究高考試題的設(shè)計(jì)背景，有利于揭示問題的本質(zhì). 同時(shí)提示我們?cè)诟呷龔?fù)習(xí)時(shí)應(yīng)注意回歸課本，尤其是在一輪復(fù)習(xí)時(shí)，更是要注重回歸教材，對(duì)課本資源進(jìn)行挖掘、整合，多琢磨、多鉆研，進(jìn)行一題多變、一題多解，舉一反三.