摘 要：在數(shù)學(xué)解決問題的過程中，每道題都有突破口，或明或暗或隱或現(xiàn).如何及時捕捉到解題的突破口？關(guān)鍵點是什么？這些都是總讓我們困惑的問題. 筆者通過幾個具體的案例來加以闡述.

關(guān)鍵詞：解題教學(xué)；關(guān)鍵點；心得

在平時的教學(xué)與練習(xí)中，我們經(jīng)常會遇到一類看似平常而又無法詮釋的問題，其實這并不是真的無法詮釋，而是在沒有找到突破口之前的一種暫時的困惑而已. 那么這類問題的背后到底隱藏著怎樣的玄機呢？這就需要我們能夠擁有一雙慧眼，及時地捕捉到那個牽一發(fā)而能動全身的關(guān)鍵點所在. 實際上，往往找到準(zhǔn)確的切入點，就可以實現(xiàn)“一點突破，全線貫通”的奇效. 下面，筆者通過幾個具體的案例來加以闡述.

問渠哪得清如許，為有源頭活水來

案例1 求tan15°與tan7.5°的值.

分析與解答：對于已經(jīng)學(xué)習(xí)兩角和與差的三角函數(shù)公式的學(xué)生而言，解決此題絕沒有任何問題，但如果將此題放給還沒有學(xué)習(xí)兩角和與差公式的高一學(xué)生來做，其情況又會如何呢？我想多數(shù)學(xué)生會在那兒抓耳撓腮、百思不得其解，繼而抱怨老師的故意刁難. 對于一般的學(xué)生而言，此題確實有點故意刁難的成分，但卻決不能說教師無中生有.為了能夠帶領(lǐng)學(xué)生找到問題解決的突破口，教師在課堂上做了這樣的一番引導(dǎo)：

教師：初中時是怎樣定義正切函數(shù)的？

學(xué)生：直角三角形中，一個銳角的正切等于它的對邊比鄰邊.

教師：能否在三角形中求出tan30°的值？

學(xué)生：大聲地說出（有的學(xué)生這時會露出不以為然的竊笑，這些問題太簡單；也有的同學(xué)會流露出一臉的茫然，這與我們要求的數(shù)式有關(guān)系嗎？）

教師：哪位同學(xué)能夠在只用尺規(guī)的情況下作出15°與7.5°這兩個角？

有的學(xué)生會很快作出如圖1所示的平面圖形，即先畫一個Rt△ABC，使∠C=90°，∠B=30°延長CB到D，使BD=BA，連AD，則∠ADC=15°. 再一次利用“延長線、取相等、角折半”的做法，得到∠AEC=7.5°，繼而學(xué)生會在三角函數(shù)定義的引導(dǎo)下求出正確的結(jié)果.

對于沒有學(xué)過兩角和與差三角函數(shù)公式的高一學(xué)生而言，這看似有點荒唐與刁鉆的題目卻在初中學(xué)習(xí)的三角函數(shù)定義面前土崩瓦解了，這不得不說是根源的力量.不僅如此，我們還能在探究過程中感受到鍥而不舍的認(rèn)知過程中所爆發(fā)出的智慧和意志品質(zhì)，感受到數(shù)學(xué)的神奇與美妙.

數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)不僅需要聰穎的頭腦、辛勤的付出，還要擁有追根求源的意識與能力，學(xué)會聯(lián)想、追述本源，有時可以獲得意想不到的效果.

明修棧道，暗度陳倉

案例2 命題“若sinα=sinβ，則α=β”的否定是__________.

分析及解答：從表面上看這就是一個簡單的命題，從而有的學(xué)生就直接利用命題否定形式的給出原則，即條件不變只否定其結(jié)論. 所以有的學(xué)生給出的答案是：“若sinα=sinβ，則α≠β”. 事情做到這兒看似一切都順理成章，但我們?nèi)绻妹}真假性的判斷標(biāo)準(zhǔn)來檢測一下，就會很快發(fā)現(xiàn)學(xué)生給出的答案是一個錯誤的結(jié)果. 因為我們都知道原命題和其否定是一對真假性相對立一組命題，而本例中的原命題和學(xué)生給出的其否定形式都是假命題，所以學(xué)生給出的答案一定是錯誤的. 那么問題究竟出現(xiàn)在什么地方呢？其實我們只要將題目的內(nèi)容細(xì)細(xì)品味一下，就不難發(fā)現(xiàn)原命題中實際上是省略了一個全稱性量詞“任意”，從而原命題可以改寫為 “對于任意角α，β，若sinα=sinβ，則α=β”（而且我們可以判定其是一個假命題）. 繼而我們就看到了原命題實際上是一個全稱性命題，此時其否定形式就應(yīng)該是“存在角α，β，使得若sinα=sinβ，則α≠β”（而且我們也很容易判定這很明顯就是一個真命題）. 此問題中的玄機就是其省略的全稱性量詞部分，只要找到了玄機所在，那么問題也迎刃而解了，否則便會是一頭霧水.

由此可見，數(shù)學(xué)解題絕對不是生搬硬套的過程. 在沒有真正搞懂其實際意義之前，決不可輕易動筆. 解題之前需要我們審時度勢，即“選準(zhǔn)切入點、探尋突破點、關(guān)注警戒點”，這里面所說的探尋切入點就應(yīng)該包含對題目中隱含條件的挖掘和利用.

案例3 在等差數(shù)列{an}中，若am-1+ am+1-a=0，S2m-1=38，且am≠0，則m=_____.

分析及解答：大多數(shù)學(xué)生初次看到此題都會有被電擊一樣的感覺，因為他們會被題目的表象所迷惑，不能夠立刻看到解題的思路. 但如果學(xué)生能夠看到它們下標(biāo)的關(guān)系，即（m-1）+（m+1）=2m，他們就應(yīng)該自然地想到等差中項的知識，從而得到am-1+am+11=2am，然后再利用等差數(shù)列的求和公式就能將問題輕易解決了. 其解題過程如下：

因為am-1+am+1-a=0且數(shù)列{an}是等差數(shù)列，

所以2am-a=0. 因為am≠0，所以am=2.

因為S2m-1=（2m-1）am且S2m-1=38，所以m=10.

此例中的最大玄機是沒有明顯的條件可以使用，即條件中沒有首相、公差，而學(xué)生往往又會直接想到其常規(guī)解法，即將條件中的所有量都轉(zhuǎn)化成首相及公差的關(guān)系式，但條件中卻出現(xiàn)了三個未知數(shù)，而且只有兩個方程，顯然是無法求解的，這也許正是學(xué)生感到困惑與迷茫的地方. 平時的教學(xué)我們都會強調(diào)解題思路的靈動性、可變性，這也正是新課標(biāo)所極力倡導(dǎo)的素質(zhì)教育原則，即“要培養(yǎng)學(xué)生分析問題及解決問題的能力”.

山重水復(fù)疑無路，柳暗花明又一村

案例4 （蘇教版高中數(shù)學(xué)選修2-1第67頁第8題）設(shè)拋物線y2=2px（p>0）的焦點為F，經(jīng)過點F的直線交拋物線于A，B兩點，點C在拋物線的準(zhǔn)線上，且BC∥x軸，證明：直線AC經(jīng)過原點O.

分析及解答：按照證明點共線的常規(guī)思路，我們自然會想到利用①幾何法即任意兩點連線的斜率相等；②向量法即任意兩點為端點的向量共線. 無論利用哪種思路都要將點的坐標(biāo)刻畫出來，為此需要將直線的方程和曲線的方程聯(lián)立. 其解題過程如下：

因為kOA=，kOC==-（到此處時，我們就要面臨著新的問題了，即怎樣來證明其相等呢？為此就應(yīng)該靜下心來慢慢思考，盡可能快地在迷途中找到方向.這時我們會看到直線OC的斜率里只含有一個變量，而直線OA的斜率中卻含有兩個變量. 為了能夠快速捕捉到我們需要的信息，我們要將其化繁為簡，自然而然地想到將直線OA的斜率中的兩個變量化簡為一個變量. 又因為y=2px1，所以kOA==，至此我們是不是看到了一個嶄新的局面呢？問題也就在不經(jīng)意間被解決了.

忍一時風(fēng)平浪靜，退一步海闊天空

“忍一時風(fēng)平浪靜，退一步海闊天空”這本來說的是一種對待生活的從容而又豁達(dá)的心境. 俗話說得好“謙受益，滿招損”，“皎皎者易污，峣峣者易折”，對待生活如此，其實在我們的習(xí)題教學(xué)中也要有這樣的指導(dǎo)思想. 要求我們的學(xué)生絕不能守著一條小道走到黑，而要學(xué)會忍一時、退一步的良好心態(tài). 我們所說的“忍一時、退一步”絕不是隨意的避讓與退縮，而是要在忍、退的環(huán)節(jié)中靜心思考，努力做到全盤論證，繼而才能迎來“云開霧散終有時，守得清心待明月”的美好境界.

案例5 （2008年江蘇高考13題）在△ABC中，若AB=2，AC=BC，則S△ABC的最大值是__________.

分析及解題：此題的解題思路應(yīng)該說是相當(dāng)?shù)拿黠@，即利用三角形的面積公式S△ABC=AB·ACsinA，但其中的未知因素過多，繼而就想到了要設(shè)AC或BC的長度，從而將三角形的面積表示為邊的函數(shù). 這種解題思路自然順暢，但真正操作起來卻是相當(dāng)?shù)穆闊? 這時就需要學(xué)生有一顆沉靜的心態(tài)，有一種退一步思考問題的意志品質(zhì). 其實由題目的條件學(xué)生應(yīng)該能夠發(fā)現(xiàn)三角形的頂點C的軌跡，從而也就能輕而易舉地獲得本題的正確答案了. 略解如下，設(shè)AB所在的直線為x軸，其中垂線為y軸建立平面直角坐標(biāo)系，如圖2所示.

或許有人會指出本題的這種解法確實相當(dāng)?shù)暮唵?，但是怎樣才能由題意快速地聯(lián)想到利用解析幾何的方法的呢？這當(dāng)然與我們平時的知識積累有著密不可分的聯(lián)系，其實這道題是可以在教材中找到其原型的（見蘇教版必修二第100頁，已知點M（x，y）與兩個定點O（0，0），A（3，0）的距離之比為，那么點M的軌跡方程是什么？并畫出其所在的曲線），滿足題中條件的點的軌跡實際上就是我們常說的阿波羅尼茲圓. 解題中能夠產(chǎn)生“忍一時、退一步”的良好的心態(tài)是應(yīng)該建立在扎實的基礎(chǔ)之上的. 沒有扎實的基礎(chǔ)、豐富的積累，數(shù)學(xué)習(xí)題的求解就成了典型的“無源之水、無本之木”了.

要想在數(shù)學(xué)解題中沒有迷茫、困惑，必須在平時的學(xué)習(xí)中練就一身堅實的本領(lǐng)，既要有堅實的基礎(chǔ)、敏銳的洞察力、靈活的思維，還要有以不變應(yīng)萬變的通性通法做堅強后盾. 當(dāng)然，學(xué)生解題的受阻乃至失敗，這不僅歸因于學(xué)生實際掌握知識的多少有關(guān)，還與學(xué)生的意志品質(zhì)有著不可或缺的聯(lián)系.