摘 要：在高中階段的數(shù)學(xué)教學(xué)中，盡量避免數(shù)學(xué)解題錯(cuò)誤，取得一個(gè)好的成績，是教學(xué)目的的重要部分. 本文通過對(duì)學(xué)生所做數(shù)學(xué)題目中的解題錯(cuò)誤進(jìn)行分析，通過與學(xué)生之間的訪談交流，將常見的解題錯(cuò)誤進(jìn)行了歸類，同時(shí)進(jìn)行了實(shí)例分析，最終提出了解題錯(cuò)誤矯正的原則和措施，為高中數(shù)學(xué)教學(xué)提供參考.

關(guān)鍵詞：解題錯(cuò)誤；問題；研究

解題錯(cuò)誤是數(shù)學(xué)教學(xué)中經(jīng)常出現(xiàn)的問題，這是最令我們頭疼的，也是從某種程度上無法避免的，我們能夠做的就是盡量地降低錯(cuò)誤的發(fā)生概率，使學(xué)生順利地掌握數(shù)學(xué)知識(shí)，并且能夠在考試中取得一個(gè)較高的分?jǐn)?shù). 因此，分析數(shù)學(xué)教學(xué)中出現(xiàn)的解題錯(cuò)誤，分析出現(xiàn)錯(cuò)誤的原因，并盡量避免錯(cuò)誤的發(fā)生，具有重要的實(shí)踐價(jià)值和理論意義. 函數(shù)作為高中數(shù)學(xué)知識(shí)的重要組成部分，尤其是高一數(shù)學(xué)，對(duì)于整個(gè)高中數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)具有重要的作用.

解題錯(cuò)誤的基本特征

1. 個(gè)體差異性

通常情況下，對(duì)于相同的問題，不同的學(xué)生所產(chǎn)生的解題錯(cuò)誤不盡相同，在表現(xiàn)形式、類型和程度上千差萬別，具有個(gè)體的差異性. 換句話說，產(chǎn)生相同錯(cuò)誤的誘因并不相同，

2. 普遍性

不管是哪個(gè)年齡階段、哪個(gè)地域，不同性別的學(xué)生和不同學(xué)段的學(xué)生，他們?cè)趯W(xué)習(xí)高中數(shù)學(xué)的過程中都會(huì)出現(xiàn)解題錯(cuò)誤的現(xiàn)象，這是普遍存在的. 它并不會(huì)因?yàn)閷W(xué)生的外部條件變化而避免.

3. 不穩(wěn)定性

學(xué)生在進(jìn)行數(shù)學(xué)解題時(shí)，會(huì)不自覺地運(yùn)用不適當(dāng)?shù)慕忸}思路來進(jìn)行解題，這些解題思路有些時(shí)候都是自己主觀臆斷的想法，這些都會(huì)導(dǎo)致解題錯(cuò)誤的發(fā)生. 但是，在面對(duì)同一解題問題時(shí)，導(dǎo)致解題錯(cuò)誤的原因并不相同，具有不穩(wěn)定性，有些時(shí)候這些錯(cuò)誤的解題思路是會(huì)隨著解題者的情況而改變的.

4. 頑固性

在數(shù)學(xué)解題過程中，這些解題錯(cuò)誤具有很強(qiáng)的頑固性，因?yàn)閷W(xué)生在解題過程中，往往認(rèn)為自己的解題思路是對(duì)的，都會(huì)本著自己原有的想法去解題. 如果在解答疑難過程中，不把錯(cuò)誤的解題思路講透徹，學(xué)生在面臨同樣的問題時(shí)，依然會(huì)自顧自地選擇自己的解題思路，從而導(dǎo)致解題錯(cuò)誤的持續(xù)發(fā)生.

5. 階段性

對(duì)于數(shù)學(xué)這一學(xué)科，即使很多數(shù)學(xué)家也曾犯過形形色色的錯(cuò)誤，現(xiàn)在看來，當(dāng)時(shí)的錯(cuò)誤顯得都有些低級(jí)，如果我們能夠正確地看待歷史上數(shù)學(xué)家犯的錯(cuò)誤，就能夠更好地走進(jìn)學(xué)生的心理. 此外，每一屆的學(xué)生所犯的解題錯(cuò)誤都有一定的相似性. 因此，數(shù)學(xué)解題錯(cuò)誤具有很強(qiáng)的階段性，在不同的階段，就會(huì)有什么樣的解題錯(cuò)誤產(chǎn)生.

對(duì)學(xué)生解題錯(cuò)誤的認(rèn)識(shí)

學(xué)生在數(shù)學(xué)解題過程中，主要的問題不是出現(xiàn)解題錯(cuò)誤，而是當(dāng)出現(xiàn)解題錯(cuò)誤時(shí)教師如何正確對(duì)待學(xué)生的解題錯(cuò)誤. 由于學(xué)生出現(xiàn)解題錯(cuò)誤是“自然的”，因此，教師如何處理這一解題錯(cuò)誤問題，科學(xué)地進(jìn)行糾正，使學(xué)生不再重蹈覆轍在整個(gè)數(shù)學(xué)教學(xué)中就顯得非常重要.

陳丹就曾經(jīng)提出過一些教師在看待學(xué)生學(xué)習(xí)過程中出現(xiàn)的解題錯(cuò)誤的一些誤區(qū)，他提出，有些教師在對(duì)待這一問題上會(huì)粗暴對(duì)待錯(cuò)誤，沒有足夠的耐心糾正學(xué)生的錯(cuò)誤，害怕學(xué)生出錯(cuò)，通過反復(fù)訓(xùn)練來糾正錯(cuò)誤，這些處理方式都過于簡單，沒有使學(xué)生認(rèn)識(shí)到數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)過程中一些問題出現(xiàn)的復(fù)雜性和合理性，例如，很多時(shí)候都會(huì)歸因于學(xué)習(xí)不積極、上課不認(rèn)真聽講、粗心大意等因素.

劉儒德的相關(guān)研究表明，盡管學(xué)生具有處理問題的內(nèi)驅(qū)力，會(huì)因?yàn)橐坏绬栴}想不通而難受，但是他們?nèi)狈?duì)錯(cuò)題的管理意識(shí)，沒有形成正確的錯(cuò)題價(jià)值觀，缺乏錯(cuò)題管理的策略和方法. 教師要積極引導(dǎo)學(xué)生，加強(qiáng)學(xué)生錯(cuò)題管理能力的培養(yǎng).

高中數(shù)學(xué)解題錯(cuò)誤實(shí)例分析

從學(xué)習(xí)的時(shí)限上來說，高一年級(jí)的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)具有一定的過渡性，是初中階段數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)和高中階段數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的分界點(diǎn)，通過高一的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)，促進(jìn)學(xué)生思維方式由具體形象思維向抽象邏輯思維過渡. 通過幾年的教學(xué)，筆者對(duì)學(xué)生在函數(shù)方面出現(xiàn)的解題錯(cuò)誤進(jìn)行了歸類與總結(jié)，大體上可以分為知識(shí)性錯(cuò)誤、疏忽性錯(cuò)誤，其中大多數(shù)以疏忽性錯(cuò)誤為主.

例：若f（2x+1）=4x2+8x+3，求f（x）.

第一，知識(shí)性錯(cuò)誤

錯(cuò)解例一

若2x+1=x，則f（2x+1）=4（2x+1）2+8（2x+1）+3=4（4x2+4x+1）+8（2x+1）+3=16x2+32x+15.

通過學(xué)生對(duì)這一問題的解答我們可以看出，學(xué)生對(duì)于本題的意思并沒有完全的理解，解題的方式出現(xiàn)了根本性的錯(cuò)誤，在2x+1=x的條件下，想當(dāng)然地直接用2x+1替代了4x2+8x+3中的x，與考試的目的內(nèi)容不相符. 之后對(duì)該學(xué)生進(jìn)行了交談：首先讓學(xué)生對(duì)題目和自己的答案進(jìn)行了再一遍審查，問他自己的答案是否正確，學(xué)生思索片刻后沒有給出明確的答案. 然后問學(xué)生2x+1=x的意思，學(xué)生回答“就是把2x+1換成x，來求f（x）”；最后讓學(xué)生看了一下自己的答案，并且要求回答當(dāng)時(shí)的想法，學(xué)生回答“忘記了，題目就是讓我們求f（x），我就是為了求f（x）”. 當(dāng)詢問還有沒有其他解題思路時(shí)，該生考慮很久回答說沒有了. 通過這個(gè)簡短的對(duì)話，我們可以看出，解題者對(duì)題目缺乏基本的理解和認(rèn)識(shí)，沒有解答這類問題的基本思路和方法，是典型的知識(shí)性錯(cuò)誤類型.

錯(cuò)解例二

令t=2x+1，則x=，所以f（t）=4

2+8

+3=t2+2t，

所以f（x）=t2+2t=（2x+1）2+4x+2=4x2+8x+3.

通過答案就可以看出，該學(xué)生正在試圖使用換元法來解答這一問題，在解出f（t）=t2+2t后，并沒有發(fā)現(xiàn)與f（x）=x2+2x之間的本質(zhì)差異，將f（x）=t2+2t看成了正確答案，進(jìn)而錯(cuò)誤地得出了f（x）=t2+2t=（2x+1）2+4x+2=4x2+8x+3的結(jié)論. 在整個(gè)解題過程中犯了疏忽性和知識(shí)性的錯(cuò)誤，主要錯(cuò)誤還是在知識(shí)性錯(cuò)誤上，該學(xué)生對(duì)于換元法的運(yùn)用和意義并不能夠很好的理解和掌握，同時(shí)對(duì)于函數(shù)分析式的理解也并不到位.

第二，疏忽性錯(cuò)誤

錯(cuò)解例一

有些學(xué)生具有換元的思想，通過正確的使用得出了f（t）=t2+2t的結(jié)論，但是卻又錯(cuò)誤地寫成f（x）=x2+2t，整個(gè)的解題過程是正確的，最后卻因?yàn)樽约旱氖韬鍪沟谜麄€(gè)解題功虧一簣，這類問題是在教學(xué)過程中經(jīng)常碰見的.

錯(cuò)解例二

令t=2x+1，x=，所以f（t）=4

2+8

+3=（t-1）2+4t-1=t2-6t，所以f（x）=x2-6x.

錯(cuò)解例三

令t=2x+1，2x=t-1，所以f（t）=（t-1）2+4（t-1）+3=t2-2t，所以f（x）=x2-2x.

最后這兩位學(xué)生，都運(yùn)用了換元的解題方法，思路也基本正確，但是在解答的過程中出現(xiàn)了小的錯(cuò)誤，從而導(dǎo)致答案出現(xiàn)問題.

錯(cuò)解例四

f（2x+1）=4x2+8x+3=（2x+1）2+4x+3=（2x+1）2+2（2x+1）+1，

f（x）=x2+2x+1.

這位學(xué)生運(yùn)用了整體代換的解題思路，但是在代換過程中，第一步的變形出了問題，從而導(dǎo)致了后期的整體代換出了問題，這些都屬于因疏忽而犯的錯(cuò)誤.

例：已知函數(shù)f（x）=x2-2ax+3（-2≤x≤4），求f（x）最大值與最小值的表達(dá)式（用a表示）.

這個(gè)問題，在一般的數(shù)學(xué)教學(xué)課堂上都會(huì)有所涉及，甚至還為有些學(xué)生做了單獨(dú)的輔導(dǎo)，但是對(duì)于這一易錯(cuò)點(diǎn)，還是有學(xué)生容易犯錯(cuò). 以下是學(xué)生的解題過程.

（1）當(dāng)a≤2或a≥4時(shí)，f（2）+f（4）=26-4a；

（2）當(dāng)-2≤a≤0時(shí)，f（a）+f（4）=3-a2+16-8a+3=22-a2-8a；

（3）當(dāng)0≤a≤4時(shí)，f（2）+f（a）=4-4a+3+a2-4ax+3=a2-4ax+10-4a.

這些錯(cuò)誤大多是因?yàn)槭韬鲈斐傻?，在進(jìn)行錯(cuò)誤校正時(shí)，要采用即時(shí)矯正的方法，每次完成一次正解的解答，都留出一定的時(shí)間給學(xué)生思考，讓學(xué)生自己整理，再講解. 例如在第一步中的f（2）+f（4）計(jì)算部分，通過與學(xué)生的交流得知學(xué)生的目的在于計(jì)算f（-2）+f（4），因此，要著重聯(lián)練習(xí)學(xué)生的審題準(zhǔn)確度的能力. 后邊的兩步是因?yàn)閷W(xué)生認(rèn)為-2和4的中間是0，因此在解題過程中分為了-2≤a≤0和0≤a≤4兩個(gè)部分來分開討論，在最后計(jì)算f（2）+f（a）時(shí)，又理解成計(jì)算f（-2）+f（4），導(dǎo)致最終的計(jì)算結(jié)果錯(cuò)誤.

高中數(shù)學(xué)解題錯(cuò)誤矯正原則與措施

1. 真實(shí)性和靈活性

當(dāng)學(xué)生在數(shù)學(xué)解題過程中出現(xiàn)解題錯(cuò)誤時(shí)，這一事實(shí)是真實(shí)存在的，教師不能只顧批評(píng)教育，要根據(jù)客觀事實(shí)，采取有效的手段，幫助學(xué)生避免發(fā)生類似錯(cuò)誤. 在糾正錯(cuò)誤的過程中，要對(duì)學(xué)生所犯的錯(cuò)誤“和盤托出”. 其次，并不是所有的錯(cuò)誤都值得我們?nèi)ゼm正和處理，要根據(jù)錯(cuò)誤的性質(zhì)和錯(cuò)誤的程度，綜合考慮糾錯(cuò)的時(shí)機(jī)，在糾錯(cuò)的過程中，要靈活處理錯(cuò)誤，可以對(duì)解題的過程進(jìn)行適當(dāng)?shù)暮喕?，也可以適當(dāng)?shù)貜?qiáng)調(diào)錯(cuò)誤的解題步驟，注意選擇具有代表性和典型性的錯(cuò)誤例題.

2. 適時(shí)性和自主性原則

在進(jìn)行數(shù)學(xué)解題錯(cuò)誤的糾正時(shí)，要把握好適當(dāng)?shù)臅r(shí)機(jī)，有些錯(cuò)誤進(jìn)行及時(shí)糾正效果比較好，但是有些錯(cuò)誤適用于延遲矯正. 對(duì)于一些結(jié)構(gòu)性的數(shù)學(xué)問題，適用于即時(shí)矯正，這樣有利于學(xué)生錯(cuò)誤觀念的澄清和數(shù)學(xué)教學(xué)的繼續(xù)推進(jìn). 在進(jìn)行錯(cuò)誤糾正過程中，重要的一點(diǎn)要讓學(xué)生認(rèn)識(shí)到自己的錯(cuò)誤，自主地去進(jìn)行錯(cuò)誤的矯正. 他們是錯(cuò)誤的主人，也是錯(cuò)誤矯正的主體，如果學(xué)生能夠自覺地對(duì)錯(cuò)誤進(jìn)行矯正，他們就會(huì)對(duì)這一錯(cuò)誤的印象非常深刻. 有些時(shí)候即使不能夠完全理解錯(cuò)誤的原因，也能夠幫助他們加深對(duì)相應(yīng)問題的理解，有利于教師課堂講解“解題錯(cuò)誤”效果的達(dá)成.