摘 要：站在數(shù)學教育的角度思考高中數(shù)學教學的基本問題，可以尋找到思考的宏觀視角. 研究表明，數(shù)學概念教學中的概念性理解、分層教學中的內在驅動力、教與學的內在一致性、符合學生邏輯的數(shù)學推理等問題，值得細細思考.

關鍵詞：高中數(shù)學；數(shù)學教育；基本問題；反思

站在“教育”的角度看高中數(shù)學教學活動，會讓自己的視角變得更為廣闊，也會讓自己對高中數(shù)學教學的理解更為深刻. 在對高中數(shù)學教育進行細致思考的過程中，筆者越來越發(fā)現(xiàn)一些基本的問題必須引起高度重視，因為這些基本的問題往往直接關系到數(shù)學課堂上的師生活動狀態(tài)，直接關系到高中數(shù)學有效教學能否真正形成. 借助于多年前商業(yè)培訓學界的一位知名人士的話說，“細節(jié)決定成敗”，那么高中數(shù)學教育當中的一些基本的問題往往就是數(shù)學教學的細節(jié)，其對教師之所教以及學生之所學的成敗也有著重要的影響. 筆者在實際教學中梳理了這樣的幾個基本問題并進行了持續(xù)深入的思考，感覺很有收獲，在此寫出來與高中數(shù)學教育同行分享，并希望能夠得到大家的批評指正.

數(shù)學概念教學，是否追求概念性理解

數(shù)學概念是數(shù)學教學的基本單位，任何一個數(shù)學規(guī)律都是建立在數(shù)學概念的基礎之上的. 概念作為一種基礎性的教學對象，其在教學中的地位容易被忽視，具體表現(xiàn)就是概念教學不太追求概念性理解. 概念性理解不是簡單地理解概念那樣簡單，概念性理解是概念教學的一個相對專業(yè)的術語，其是相對于課程性知識而言的. 眾所周知的是，課程知識超越學科知識，其是站在課程的角度思考包括概念在內的教學的. 而從另一個角度來看，概念性理解是相對于事實性理解而言的，數(shù)學是一門高度抽象的學科，高中數(shù)學更是存在著高度抽象性，在這樣的情形之下，事實性理解往往需要教師結合具體的數(shù)學概念促進學生理解，而概念性理解則常常又是建立在此基礎之上. 舉個例子，在概率概念的教學中，盡管此前學生已經(jīng)接觸此概念，那彼時更多的是事實性理解，在高中數(shù)學教學中，教師需要通過給出一系列實例，如以隨機事件打基礎，以“可能性”為核心概念，才可能建立起適合高中數(shù)學教學需要的概念這一概念性理解. 也就是說，在經(jīng)過了高中數(shù)學概率知識學習之后，學生才會建立起超越基本的隨機事件的事實性理解，抵達“一般地，對于給定的隨機事件A，在相同條件下，隨著試驗次數(shù)的增加，事件A發(fā)生的頻率會在某個常數(shù)附近擺動并趨于穩(wěn)定”這樣的理解. 這種理解是概念性的，是建立在隨機事件、試驗次數(shù)、頻率、擺動、穩(wěn)定等概念基礎之上的，某種程度上講是一種數(shù)學概念及生活概念的演繹. 學生在經(jīng)過了概念性理解之后，就不需要具體的事例作為概念理解的支撐，從而達到一種以文字、語言等符號理解數(shù)學概念的水平.

追求概念性理解，應當是高中數(shù)學教學的基本要求，因為高中數(shù)學相對于學生此前接受的數(shù)學教學而言，其更追求數(shù)學自身內在的邏輯，而表示這種邏輯的往往不是事實性的知識，而是概念性的知識. 這就意味著高中數(shù)學教學必須要超越事實性知識的呈現(xiàn)（當然，這并不能忽視基本概念教學過程中事實性知識的提供），要引導學生通過螺旋形的軌道，不斷地在原有數(shù)學概念的基礎之上建立起新的數(shù)學概念. 只有進入了這種上升軌道，我們認為包括數(shù)學概念在內的學習才真正進入了數(shù)學的境界.

數(shù)學分層教學，是否追求內在驅動力

分層教學是基礎教育界的一個熱門話題，分層教學是一種具體的教學策略，其背后是課程改革所強調的以人為本. 分層教學的實施關鍵在于分層，具體到高中數(shù)學教學中，就是根據(jù)學生的數(shù)學基礎，提供適合不同層次學生的學習內容或學習方式，并在此過程中給予不同程度的指導. 從教學實踐的角度來看，高中數(shù)學分層教學的現(xiàn)狀并不令人滿意，作為一線教師，筆者深知其實現(xiàn)的復雜性. 課堂上時間是線性的，是單向的，這就決定了教師不可能在時間這條線上采取“并聯(lián)”的方式去讓不同層次的學生同時接受到教育，只可能在教完優(yōu)秀學生之后再去教中等生，進而是學困生. 因為這一實際困難，所以分層教學的實施容易進入死胡同.

那么，是不是就沒有解決之方法了呢？筆者以為這里要回答的問題是：分層教學，是不是忽視了學生內在的驅動力？

學生的內在動力是學生學習的根本，不同層次的學生都會存在不同的內驅力，就只看這種內驅力能否被有效地發(fā)掘出來并服務于高中數(shù)學的學習. 筆者在回答這一問題的時候，采用的具體策略就是三個步驟：一是引導學生認識自己；二是引導學生發(fā)現(xiàn)自己；三是分層教學. 顯然，前面兩者是分層教學的基礎，具體來說，就是：認識自己就是認清自己的數(shù)學學習實際情況，尤其是結合具體知識點，知道自己的薄弱環(huán)節(jié).

事實證明，引導學生認識自己，不僅可以讓學生發(fā)現(xiàn)自己的不足，還可以讓學生發(fā)現(xiàn)自己的優(yōu)點（即使是相對于基礎較差的學生而言），筆者班上曾經(jīng)有一位中下等的學生，在引導其反思時，其發(fā)現(xiàn)自己對幾何知識更容易理解，而代數(shù)尤其是函數(shù)部分的知識比較薄弱，待其發(fā)現(xiàn)自己這一特點之后，筆者讓其總結自己在學習幾何時的思維特點，結果該學生發(fā)現(xiàn)自己擅長形象思維，喜歡通過圖形來梳理學習思路. 有了這一發(fā)現(xiàn)之后，筆者讓其將該方法引入函數(shù)知識的學習中去，結果該學生在學習二次函數(shù)、指數(shù)函數(shù)、冪函數(shù)的時候，對圖象特別感興趣，而基于圖象所總結出來的不同函數(shù)之間的相同點與不同點，使得其代數(shù)成績取得明顯的提升，結果在高考中數(shù)學取得了班級前十名的好成績. 在這個過程中，其實不僅完成了引導學生認識自己的過程，還完成了引導學生發(fā)現(xiàn)自己的過程，讓學生找到了適合自己的學習方法，學生學起來自然就如魚得水.

將這樣的兩個步驟作為分層教學的基礎，可以發(fā)現(xiàn)只有讓學生認識到自己數(shù)學學習中的長處，才能讓學生產(chǎn)生內驅力，這樣教師就可以較為科學地實施分層教學.

教與學的融合，是否追求內在的一致

高中數(shù)學教學中，教與學是一對互相依存的關系，但很多時候教師容易忽視這種關系，使得教學互相脫節(jié)，結果導致強教而弱學的狀況，而其結果就是學生接受灌輸式的教學. 其實很多時候教師也感覺這一現(xiàn)象不好，可就是尋找不到突破口，感覺到了課堂上不講（灌輸）就不是教學，自己的意思就到不了學生那里. 譬如三角函數(shù)，任意角、弧度、任意角的三角函數(shù)、三角函數(shù)的圖象和性質，不講學生怎么能會呢？這些可都是學生相對缺乏知識基礎的知識啊！

筆者以為，在這樣的思維當中，暴露出了教與學脫節(jié)的情形，而如果教與學無法真正融合，無法達到內在的一致，那教學很容易就走進死胡同. 以“弧度”的教學為例，從學生的原有認識，即“平面內一條射線繞著它的端點從一個位置旋轉到另一個位置所形成的圖形”，到正角、負角、零角的認識，再到建立在“以角的始邊為x軸正半軸的平面直角坐標系上，建立起來的在同一象限的角的集合”的認識，最后到角度制與弧度制的比較. 在此過程中，學生的思維展開實際上是層層遞進的，在這個過程當中，學生對角的認識在不斷豐富，而豐富的過程實際上又是弧度制建立的過程，只有從學生思維展開的角度來設計弧度的教學，學生對弧度概念也才會有真正的了解. 順便需要強調的是，弧度作為一個基本的數(shù)學概念，在實際教學的時候要引導學生認識到該概念的內涵，筆者是通過比較來讓學生認識的：角度與弧度的概念本身區(qū)別在于“角”與“弧”，那么，什么是角，什么又是弧，則是需要學生基于準確認識而思考的. 在此思考的基礎上，角度與弧度才會成為能夠讓學生理解的“制”，也就是說，只有在角度制與弧度制的背景下理解弧度概念，學生才會生成一種與角度制地位相同，且在高中數(shù)學三角函數(shù)學習中更廣泛使用的表示角的概念認識.

這樣的過程，就是在學的基礎上設計教的過程，只有這樣才能達到教與學的統(tǒng)一，才能讓教與學真正融合起來.

數(shù)學推理能力，是否追求邏輯的視角

數(shù)學推理能力在高中教學中似乎不用多提，筆者在此只想強調其中的邏輯視角. 推理要基于學生的邏輯，而學生的邏輯與教師的邏輯常常有所區(qū)別，這個時候就需要注意學生邏輯的“合理性”與“不合理性”，哪怕是錯誤推理的情形下，學生的邏輯也常常有其“合理性”，只不過其是符合的學生認知之理，而非合數(shù)學推理之理. 兩者的區(qū)別就在于學生的認知與數(shù)學邏輯之間常常存在不一致，比如說有學生就是認為相差一個周期的角的三角函數(shù)有所不同，只有當教師引導他們認識到相差一個或幾個周期的角的三角函數(shù)可以用同樣的表達式來表征時，學生才將信將疑. 這是一個奇怪的心理現(xiàn)象，教師認為鐵的事實就在學生的面前，而學生偏就不認為其是一個真理.

筆者以為這其中的關鍵就在于教師要通過數(shù)學邏輯去讓學生的自我邏輯得到順應，這樣的視角才是符合教學本義的邏輯視角，有意者不妨試之.