摘 要：高中數(shù)學(xué)教材中有許多題目，求解的方法、思路都不難，但學(xué)生在解題時，往往會忽略對某些特殊情形的討論，而造成解題的疏漏. 因此，命題者在編制題目時不僅會考查學(xué)生的基礎(chǔ)知識，同時也會“別有用心”的設(shè)置一些“陷阱”來考查學(xué)生思維的縝密性、嚴謹性. 若學(xué)生未能注意到或沒能抓住問題的本質(zhì)，沒看清問題的“真面目”就會一次次地掉入“陷阱”，產(chǎn)生錯誤，耗時耗力，從而降低得分率. 本文結(jié)合教學(xué)體會和學(xué)生在練習中錯誤率較高的題目加以剖析.

關(guān)鍵詞：易錯知識點；剖析反思；糾錯策略

作為一線的高中數(shù)學(xué)教師，我們都會有這樣的感觸：學(xué)生對數(shù)學(xué)公式能了如指掌，題型能熟記于心，但考試卻不一定能答對題目，取得高分. 這是因為在高中數(shù)學(xué)教材的題目中有一些易錯題總是讓學(xué)生混淆、漏解從而導(dǎo)致錯誤. 因此，在教學(xué)中教師對于易錯題的教學(xué)要找準方法、認清思路，從學(xué)生的錯誤思路點中切入，讓學(xué)生通過錯題發(fā)現(xiàn)問題本質(zhì). 現(xiàn)將高中數(shù)學(xué)中學(xué)生出現(xiàn)頻率比較高的易錯題整理歸納出來進行分析思考，調(diào)整教學(xué)方法，反思教學(xué)手段，爭取使每位學(xué)生能抓住問題本質(zhì)，順利解題.

易錯知識點歸納分析

（一）忽略空集的特性

剖析：由于空集是任何非空集合的真子集，對于集合N?M，就有N≠ ，N= ，N=M三種情況，在解題中如果思維不夠縝密就有可能忽視了N= 這種情況，導(dǎo)致解題結(jié)果錯誤. 尤其是在解含有參數(shù)的集合問題時，更要充分注意當參數(shù)在某個范圍內(nèi)取值時所給的集合可能是空集這種情況. 空集是一個特殊的集合，由于思維定式的原因，考生往往會在解題中遺忘了這個集合，導(dǎo)致解題錯誤或解題不全面. 因此本題中N= 也是成立的，故正確答案應(yīng)為m∈

（二）混淆截距與距離概念

求經(jīng)過點P（2，1）且在兩坐標軸上截距相等的直線方程.

錯解1：由題義可設(shè)直線方程為+=1（a≠0），將點P坐標代入易求得a=3，即直線方程為x+y=3.

錯解2：由題義可設(shè)直線方程為+=1（a≠0），將點P坐標代入易求得a= ±3，即直線方程為x+y=3或x+y=-3.

剖析：對于本題，錯解1中學(xué)生知道直線截距式的方程，但理解不深刻. 直線在兩坐標軸上的截距相等，直線方程可以設(shè)為+=1（a≠0），但不要忘記當a=0時，直線y=kx在兩條坐標軸上的截距都是0，也是截距相等，所以要充分考慮截距為0的情形. 所以此題還有一解y=x. 錯解2中學(xué)生很容易將截距與距離兩個概念混淆，距離是非負數(shù)，而截距可正、可負、可為零. 對于概念性題目，要加強理解與辨析.

（三）缺少分類討論

1. 若函數(shù)f（x）=mx2+mx+1，對?x∈R，f（x）>0恒成立，求m的取值范圍.

錯解：當m>0且Δ=m2-4m<0時，即m∈（0，4）滿足題義.

剖析：對于這類題目，很多學(xué)生就會不假思索直接把函數(shù)f（x）=mx2+mx+1當成二次函數(shù)對待，用Δ去求解，根本就不去考慮f（x）是否為二次函數(shù). 究其原因?qū)W生在平時沒注意一些細節(jié)問題，對于二次函數(shù)f（x）=ax2+bx+c中，一定要有a≠0這個隱含條件. 忽略了這個條件自然而然解出的答案就是錯誤的. 因此，在教學(xué)中告誡學(xué)生注意式子成立的條件和范圍就顯得尤為重要. 同樣在教材中還有很多這樣的例子如：求焦點在x軸上的橢圓，用待定系數(shù)可設(shè)+=1，應(yīng)緊接著寫出滿足的條件a>b>0，這樣才保證焦點在x軸上.所以對于此題目還漏了一解m=0時，1>0也恒成立. 綜上m∈[0，4）.

2. 設(shè)Sn等比數(shù)列{an}的前n項和，S3，S9，S6成等差數(shù)列，求證：a2，a8，a5成等差數(shù)列.

錯解：S3=，S9=，S6=.

因為S3+S6=2S9，所以有+=2，化簡得：

a1q3+a1q6=2a1q9，兩邊同時除以q2得：a1q+a1q4=2a1q7，即a2，a8，a5成等差數(shù)列.

剖析：用等比數(shù)列求和公式應(yīng)分為Sn=（q≠1）及Sn=na1（q=1）；而學(xué)生經(jīng)常是題目一看就動手將數(shù)據(jù)帶入公式Sn=進行計算，忘記了公式成立的條件，因而錯誤也就自然而然地產(chǎn)生了. 事實上當q=1時，S3=3a1，S9=9a1，S6=6a1，因為S3+S6=2S9，所以有3a1+6a1=18a1，而此式不成立，即q≠1，然后才能將數(shù)據(jù)帶入公式Sn=（q≠1）中進行計算證明.

（四）Δ引發(fā)的錯誤

（1）忽略Δ，導(dǎo)致錯誤

剖析：很多學(xué)生做到這里都會覺得這是對的，直線的斜率是存在的，并且也求出來了，事實上學(xué)生遺忘了本題的一個隱含的前提條件那就是直線與雙曲線有兩個交點，所以在解出k的值的同時還要去檢驗.

聯(lián)立兩方程2x-y-1=0，

2x2-y2=2，消去y得到2x2-4x+3=0，

所以Δ=（-4）2-4×2×3=-8<0. 直線與雙曲線不相交，故直線不存在.

（2）誤用Δ導(dǎo)致錯誤

求過點（0，1）的直線，使它與拋物線y2=2x僅有一個交點.

錯解：設(shè)所求的過點（0，1）的直線為y=kx+1，則它與拋物線的交點為

y=kx+1，

y2=2x，消去y得（kx+1）2-2x=0，整理得k2x2+（2k-2）x+1=0.

因為直線與拋物線僅有一個交點，所以Δ=0解得k=，所求直線為y=x+1.

剖析：此處解法共有三處錯誤：

第一，設(shè)所求直線為y=kx+1時，沒有考慮k=0與斜率不存在的情形，實際上就是承認了該直線的斜率是存在的，且不為零，這是不嚴密的.

第二，題中要求直線與拋物線只有一個交點，它包含相交和相切兩種情況，而上述解法沒有考慮相切的情況，只考慮相交的情況. 原因是對于直線與拋物線“相切”和“只有一個交點”的關(guān)系理解不透.

第三，將直線方程與拋物線方程聯(lián)立后得一個一元二次方程，要考慮它的判別式，所以它的二次項系數(shù)不能為零，即k≠0，而上述解法沒做考慮，表現(xiàn)出思維不嚴密.

正確解法：①當所求直線斜率不存在時，即直線垂直（0，1）軸，因為過點（0，1），所以x=0即y軸，它正好與拋物線y2=2x相切.

②當所求直線斜率為零時，直線為y=1平行x軸，它正好與拋物線y2=2x只有一個交點.

③一般地，設(shè)所求的過點（0，1）的直線為y=kx+1（k≠0），則y=kx+1，

點評：在確定直線的傾斜角、斜率時，要注意傾斜角的取值范圍、斜率存在的條件；在利用直線方程的幾種特殊形式時要注意它們各自的適用范圍，特別是在利用直線的點斜式與斜截式解題時，要防止由于“無斜率”而漏解. （1）當直線l的斜率不存在時，畫出圖象可知，直線x=1也符合題意. 所以直線l的方程為3x-4y+5=0和x=1.

（六）未注意條件不等價

已知a=（1，-2），b=（-1，λ），且a與b的夾角θ是鈍角，則實數(shù)λ的取值范圍是_________.

錯解：由題意得：θ是鈍角，a·b=a·bcosθ，所以a·b<0. 計算得λ>-.

剖析：此題的轉(zhuǎn)化條件并不等價，a與b的夾角θ是鈍角，所以a·b<0是正確的，但a·b<0時，a與b的夾角θ不一定是鈍角，當θ=180°時，cosθ=-1<0，此時θ是平角.所以解決此題的充要條件為a·b<0，

反思與糾錯

（一）教師——授之以魚，不如授之以漁

對于上述問題，教師與其反復(fù)強調(diào)學(xué)生要注意“陷阱”（強調(diào)后還是會有少部分學(xué)生做錯），不如自己靜下心來好好反思為什么會出現(xiàn)這樣一種狀況，是學(xué)生記不住，還是自己的教學(xué)方法有問題. 如何改變這種現(xiàn)象，教師要做到精心備課，精彩上課. 通過一節(jié)專題研究課，先把問題暴露給學(xué)生，讓學(xué)生自行討論，合作探究，悟出問題所在. 然后教師再對這些問題進行更深層次的剖析，展示問題的本質(zhì)，學(xué)生易錯的關(guān)鍵，以及如何思考，如何入手，教會學(xué)生解決這一類易錯題的方法、思路. 同時精選一些類似題目讓學(xué)生當堂訓(xùn)練，鞏固知識，熟練題型和方法.最后再用不間斷的滾動練習來加深學(xué)生對這些易錯知識點的回顧與反思，增強學(xué)生的有意注意，提升對問題的辨別能力和解決能力，這樣學(xué)生就會淡然面對，從容解題.

（二）學(xué)生——知己知彼，百戰(zhàn)不殆.

學(xué)生平時要做“有心人”，對于這些常見的錯題，上課一定要認真聽教師講解，題目的本質(zhì)是什么，問題在哪里，關(guān)鍵的解題切入點是如何想到的，教師的思路是什么，教師為什么會考慮得周全，對比自己的思路缺陷在什么地方，如何避免等等. 經(jīng)常反思這些問題，把它們弄懂，久而久之，自己的思維能力就會提升，看到題目后解題的思路就會在大腦中閃現(xiàn)出來，解題的方法就會更具科學(xué)性，減少了盲目性，大大增強了分析問題、解決問題的能力. 同時課后再將這些易錯知識點記入“錯題集”，經(jīng)常翻閱，總結(jié)反思. 在做題時，頭腦中先過一遍這些易錯知識點，繃緊頭腦中的“細心”那根弦，注意力稍加集中，那么無論命題者如何去巧妙、“別有用心”地設(shè)計“陷阱”，我們都可以準確辨別，順利求出正確答案.