摘 要：三次函數(shù)對于初學者而言是一個比較困難的函數(shù)，其切線的認知與以往大不相同，本文以學生相互啟發(fā)、合作建構的角度去思考三次函數(shù)切線問題，形成一定的知識脈絡.

關鍵詞：三次函數(shù)；切線；一個交點；相切；建構；啟發(fā)

數(shù)學教學有很多種方式，其中任何一種都不能全部適合所有知識的教學，很多知識教學必須依賴其自身特點進行. 比如說：函數(shù)的概念作為中學數(shù)學最核心的概念，不可能要求學生僅僅通過十五分鐘的感受、探索和認知完全理解、掌握這一抽象的定義，要知道函數(shù)概念形成的過程歷經(jīng)了上百年，這樣的知識在教學中必須主要依賴教師的講授式，結合學生自身的一些參與和建構，要完全放手使得學生探索出這樣的概念是不現(xiàn)實的. 對于以感受性為主、形式化味道并不濃重的數(shù)學概念卻完完全全可以通過學生自身的感受和探索建構來實現(xiàn)，比如用不等式與不等關系去感受生活中無處不在的不等關系，這種講求感受為主的概念課，教師可以大膽放手，讓學生自主思考、辨析、挖掘，讓學生在課堂中甚至可以玩起來，只要能找到各種具備現(xiàn)實情境的不等關系都可以將本課演繹得生動活潑又不失數(shù)學味，學生對于不等關系的建構自然而然是水到渠成的.

建構主義教學源自瑞士，后在美國發(fā)展迅速，其初始階段運用于公立學校，據(jù)說當時美國的公立學校學生生源質量較私立學校差，因此為了讓學生在課堂教學中不吵鬧、多學習，教師通過設計教學內容，積極引導學生在課堂教學中獨立去思考數(shù)學、做數(shù)學，使其更有效地利用時間. 后來從建構主義理論滲透到教學中實際情況來看，其在學生積極思考、主動學習方面的確存在著激發(fā)學生學習興趣的效果，其特點是：（1）給予學生思維習慣上的培養(yǎng)，這種培養(yǎng)不僅僅是限于學生的數(shù)學方面的，也有助于其后續(xù)在其他學習中的指導；（2）將建構主義用于教學，既提升了學習的興趣和積極性，也提高了教師教學手段的多樣化；（3）建構學習的知識是較為長久的存儲于學生腦海中的，相比灌輸式得到知識的記憶，在學生知識庫中的存儲更久更有效. 鑒于這樣的教學理論，筆者探一探三次函數(shù)切線問題的建構式教學設計，在教師的幫助設計、學生的合作建構中尋求知識的形成.

問題：設曲線C的方程為y=x3-x2+1，求曲線C在點（3，1）處的切線.

學生1：因為y′=x2-2x，所以切線斜率k=9-6=3，而切點為（3，1），所以切線為y-1=3（x-3），即y=3x-8.

提升1：設曲線C的方程為y=x3-x2+1，求曲線C上經(jīng)過點（3，1）的切線.

學生2：這個題我會解，應該跟上面的一樣！

學生3：不一樣吧！不然老師出這個題做什么？（學生笑）你看，這里的用詞“在”和“上”不一樣！

學生2：對！但是我想不出來到底是怎么回事？

教師：這里老師來給大家說一說切線是怎么回事！以前初中里大家學的相切是一個公共點的問題，一個公共點的問題也稱之為相切，但是這個到了今天還確切嗎？

學生2：難道不是這樣的？

教師：當然不是！比如大家看拋物線y=x2和直線x=0，它們相切嗎？

學生3：不相切！

教師：那么三角函數(shù)中y=sinx和函數(shù)y=1，它們相切嗎？公共點個數(shù)呢？

學生2：相切??！但是公共點好像不止一個！

教師：是的. 如圖1，割線漸漸向極限位置靠攏的時候，形成了切線，而切線的概念在選修2-2上給出了較為詳細的描述，同學們課后可以再閱讀理解.可以這么形象地說，切線是一個局部的、微小的、細微處的概念，不是整個曲線全部的描述，因此這種局部性質的概念是一種全新的體會.

學生2：也就是說，相切是指在某一個點處，其他較遠處是不用理會有沒有交點的？

教師：對. 可以這么理解.

學生3：哦！提升題中所描述的點（3，1）不一定是切點了，這是與原題的區(qū)別. 設切點為x0

設計意圖：通過教師對于相切概念的介紹，使學生理解和明白“在該點處”和“過該點”的切線描述的不同含義.

提升2：若過點（3，1）的直線與曲線y=x3-x2+1和y=ax2+x+1（a≠0）都相切，則a=_______.

教師：請同學們思考一下，提升2與提升1有聯(lián)系嗎？什么聯(lián)系呢？

學生4：和變1有聯(lián)系，過（3，1）點一樣，其中一條曲線相同.

教師：很好，當然也有區(qū)別.剛才的題都是和一條曲線相切，這里要和兩條曲線相切，如何處理？

學生5：先讓它和一條曲線相切，之后再控制它和另一條曲線相切.

教師：好的，先讓它和哪條相切？

學生4：三次曲線.

教師：為什么？

學生5：三次曲線變1求過了.

教師：同學們的思考非常符合由易到難的處理方式. 那么能否將提升1中的某些處理照搬下來嗎？

學生（集體）：可以！（這個時候學生信心很足，發(fā)現(xiàn)題目和題目之間可以轉化）

教師：好，接下來交給同學們分析處理.

學生4：現(xiàn)在要讓剛才求出的兩條直線分別和二次曲線相切了. 如何控制直線和二次曲線相切？

學生5：聯(lián)立方程，有Δ=0.

板書：所以切線為y=1或y=3x-8，又與y=ax2+x+1相切，所以Δ=0，所以a=.

教師：好的，同學們懂得把不熟悉的題轉化為熟悉題型，很棒！

提升3：已知曲線C的方程為y=x3-x2+1（a∈R），若過點（0，2）有三條不同的切線，求a的取值范圍.

學生6：我們一起看下本題，想一想：“有三條切線”等價于求什么？剛才提升1中有兩條切線，是如何求的呢？

學生7：“有三條切線”等價于“有三個切點” 吧！

學生6：那就相當于“方程有三個根”吧！

學生7：問題演變成找到一個方程，這個方程x0有三解. 而且這個方程應該含有a和x0.

學生6：一起解一解：設切點為x0

因為過點（0，2），所以2-x+x-1=（x-ax0）（0-x0），所以x-x+1=0方程有三解. 記g（x）=x3-x2+1，所以g′（x）=x（2x-a），所以g（0）·g（）<0.

設計意圖：教師設計的意圖是螺旋式上升的探究，后續(xù)兩個提升來自高考真題的改編，其設計意圖通過學生自己建構切線的概念認知以及如何合理尋找轉化，這種設計對于生生互動非常有價值.

后續(xù)提升：對切線的繼續(xù)認知.

教師：同學們想一想，函數(shù)y=x3在原點處的切線是誰呢？你用導數(shù)試一試？

學生8：通過導數(shù)和直線運算，我發(fā)現(xiàn)就是x軸！但是這條切線怎么跟y=x3圖象好像并不相切??！好像它不能由任何一條割線平移出來.

教師：非常好?。ㄍ瑫r補充道）y=x3是單調函數(shù)，與x軸平行的直線和曲線只有一個交點，不存在斜率為零的割線，因此“任意兩點連線斜率即割線斜率等價于某條切線斜率”這個結論并不牢靠.那我們題中的函數(shù)是不是也有這樣的“漏洞”呢？

（教師利用幾何畫板畫出兩組函數(shù)f（x）=x3-x2+ax+b，f′（x）=3x2-2x+a的草圖.）

教師：假設圖中的函數(shù)也存在某個點，且該點處的切線不平行于任何一條割線.大家推測會是哪個點？

學生8：x=處所對應的點.

教師：你是根據(jù)什么推測出來的？

學生9：y=x3的導函數(shù)對稱軸是直線x=0，而f ′（x）=3x2-2x+a對稱軸是x=.

教師：我們用合情推理的方法推測了結果，但在高中數(shù)學范疇內并沒有關于“曲線的切線與割線的斜率關系”的理論依據(jù). （課后，教師要求組織學生以小組為單位去圖書館查閱高等數(shù)學方面的資料，以探索問題更為深層次的實質. 本課到此為止，希望大家繼續(xù)探求和思考）.

從現(xiàn)階段教學來看，一味地激進使用建構式教學是不可取的，一味地沿用傳統(tǒng)的講授式、啟發(fā)式也是沒有創(chuàng)新的，將兩者合理的融合和設計是當下數(shù)學教學的正確方向. 筆者想起了汽車行業(yè)中的日系品牌豐田，它既不如德系大眾般一味追求渦輪增壓的發(fā)動機技術，也不像法系那些一味陳舊不變，其走在中庸的道路上卻能每年成為汽車全球銷量的前兩名，自然是各種精華都取之的體現(xiàn).聯(lián)系到今天的數(shù)學教學，我們要做的是利用多樣化的教學方式去設計不同的課、應對不同的學生，自然是一種高效的教學境界.