【摘要】HPM研究表明，個(gè)體的認(rèn)識(shí)過程與人類的認(rèn)識(shí)過程基本是一致的。在“圓的面積”的教學(xué)中融入數(shù)學(xué)史，可以把教材中呈現(xiàn)的素材以知識(shí)發(fā)生、發(fā)展過程的視角進(jìn)行合理重組，放大“無限分割、化曲為直”極限思想的首次獲得過程，促進(jìn)學(xué)生理解數(shù)學(xué)本質(zhì)，領(lǐng)會(huì)數(shù)學(xué)思想，獲得數(shù)學(xué)感悟。

【關(guān)鍵詞】HPM;圓的面積;無限分割;化曲為直

【中圖分類號(hào)】G623.5【文獻(xiàn)標(biāo)識(shí)碼】A【文章編號(hào)】1005-6009（2015）17-0016-02

【作者簡介】陳金飛，江蘇省啟東市實(shí)驗(yàn)小學(xué)（江蘇啟東，226200）副校長，高級(jí)教師，南通市學(xué)科帶頭人。

一、課前慎思

我們選擇“圓的面積”的教學(xué)作為HPM研究的案例，不僅因?yàn)閳A是小學(xué)階段唯一的曲線平面圖形，更在于人類對(duì)“圓的面積”的探索曾被認(rèn)為是理性追求的巔峰。

翻開數(shù)學(xué)史可以看到，隨著生產(chǎn)勞動(dòng)的需要，人類很早就開始探索平面圖形的面積計(jì)算方法。在古希臘，人們最先發(fā)現(xiàn)正方形的面積計(jì)算公式。由此想到，既然正方形的面積可以用公式計(jì)算，那么只要做出一個(gè)正方形，使它的面積恰好等于圓的面積，就能實(shí)現(xiàn)“化圓為方”。著名辯士、詩人安提豐首創(chuàng)圓內(nèi)接正多邊形的方法來解決“化圓為方”的問題。數(shù)學(xué)家阿基米德分別用邊數(shù)不斷增多的圓內(nèi)接正多邊形和外切正多邊形逼近圓的周長，給出了圓的面積計(jì)算公式：圓的面積等于以圓周長為底、半徑為高的三角形的面積。

阿基米德提出的圓的面積計(jì)算辦法，相當(dāng)于我國漢代數(shù)學(xué)名著《九章算術(shù)》中記載的“半圓半徑相乘，得積步”，即圓的面積等于半圓的周長乘半徑。我國魏晉時(shí)期數(shù)學(xué)家劉徽從圓內(nèi)接正六邊形開始割圓，得到一個(gè)正6×2n邊形序列（n=0、1、2……），所得正多邊形的面積越來越接近圓的面積。而古印度數(shù)學(xué)家把圓切成許多小瓣，把這些小瓣對(duì)接成一個(gè)近似平行四邊形，再通過分割平移將平行四邊形轉(zhuǎn)化為一個(gè)近似的長方形，用近似長方形的面積代替圓的面積。

17世紀(jì)，德國天文學(xué)家開普勒受切西瓜的啟發(fā)，提出把圓分割成無窮多個(gè)小扇形，他認(rèn)為每個(gè)小扇形的面積對(duì)應(yīng)一個(gè)小三角形的面積，圓的面積等于無窮多個(gè)小三角形面積之和，將這些小三角形等面積變形，最后，構(gòu)成一個(gè)大直角三角形，三角形的底就是圓的周長，三角形的高就是圓的半徑，從而得出圓的面積計(jì)算公式S=■cr=πr2。開普勒引入無窮小的概念，跨越了曲與直的直覺理解界限，使得多邊形和圓之間、無窮小面積與直線之間沒有顯著的差別。無限分割、化曲為直的獨(dú)到思想溝通了有限與無限，為極限、微積分等現(xiàn)代數(shù)學(xué)的出現(xiàn)打下了理論與實(shí)踐的基礎(chǔ)。

梳理至此，可以發(fā)現(xiàn)早在兩千多年前，人們就已經(jīng)掌握了圓的面積計(jì)算方法，不斷變化的是圓的面積計(jì)算公式的推導(dǎo)方法——從有限分割到無限分割，再到利用定積分的方法。在歷史長河中，在數(shù)學(xué)科學(xué)發(fā)展的大背景中，看清“無限分割、化曲為直”才是對(duì)學(xué)生后續(xù)學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)來說最具有價(jià)值的，也是我們最應(yīng)該在教學(xué)中孕伏的。

二、教學(xué)片段

1.呈現(xiàn)數(shù)學(xué)困境，引發(fā)矛盾，積蓄思維突破能量。

師：你打算用什么方法研究圓的面積？

生：我覺得應(yīng)該用轉(zhuǎn)化，如果用數(shù)方格的方法，會(huì)有一些方格直接露在外面，不能精確地計(jì)算圓的面積。

師：通過比較，我們發(fā)現(xiàn)如果圓的邊線變直了，測量就更方便、精確了。明白了這一點(diǎn)，接下來咱們就來想辦法把曲線變成直線吧。（板書：化曲為直）

師：有什么辦法可以把圓這個(gè)曲線圖形轉(zhuǎn)化為直線圖形呢？

（四人小組一起動(dòng)手操作，展示交流。）

師：這么多種轉(zhuǎn)化方法，你覺得可以分成幾類？

生：兩類，一類是折的，一類是剪了再拼的。

師：觀察這幾種折的方法，你有什么想法？

生：不能折成正方形，把彎曲的部分折掉了。

師：嗯，這種方法不行，面積變小了。再來看另外兩種折法，你發(fā)現(xiàn)了什么？

生：折著折著，弧度就有點(diǎn)變直了。

生：折的份數(shù)越多，底邊越平直。

師：真善于觀察！采訪一下折成八份的這位同學(xué)，為什么不繼續(xù)往下折了？

生：紙?zhí)窳?，很難繼續(xù)折下去了。

師：看來光用折的方法不能實(shí)現(xiàn)化曲為直。再來觀察剪拼的圖形，你有什么想法？

生：正方形不行，這個(gè)圖形變大了。

師：看來轉(zhuǎn)化時(shí)不能增加也不能減少圖形的面積。觀察剪拼成的近似平行四邊形，與折出來的圖形相比，有什么不足？

生：底邊不平，弧線太彎了。

師：是否可以讓底邊變得平直一些？

生：分割的份數(shù)多一些，拼出的圖形底邊可能會(huì)更直一些。

2.感悟數(shù)學(xué)思想，分割轉(zhuǎn)化，實(shí)現(xiàn)極限思想飛躍。

師：事實(shí)真的如此嗎？借助電腦幫忙。

（多媒體展示將圓分割成一個(gè)個(gè)小扇形的過程。）

師：發(fā)揮我們的想象力，如果繼續(xù)往下分，最后會(huì)分出一個(gè)怎樣的圖形呢？

生：我覺得會(huì)變成一個(gè)很小的三角形。

生：說不定那個(gè)三角形就沒有了。

生：不可能沒有，我覺得最后會(huì)變成一條線。

師：你的想象力真強(qiáng)，跟古代數(shù)學(xué)家的想法不謀而合?？磥砦覀兝^續(xù)把圓分割下去，拼出的圖形底邊會(huì)變得更直。

師：讓我們閉上眼睛想象一下，如果無限分割這個(gè)圓片，最后會(huì)拼出一個(gè)怎樣的圖形呢？

師：孩子們，通過無限分割，我們居然把圓轉(zhuǎn)化成了一個(gè)長方形，實(shí)現(xiàn)了“化曲為直”。這個(gè)思想在數(shù)學(xué)發(fā)展史上是具有開創(chuàng)性意義的。

（由長方形的面積計(jì)算公式推算出圓的面積計(jì)算公式。）

三、教后暢想

課堂中，教師讓學(xué)生在觀察“有限分割”的基礎(chǔ)上想象“無限分割”，根據(jù)拼成的幾個(gè)圖形的變化趨勢想象它們的終極狀態(tài)，從而領(lǐng)會(huì)：將圓無限分割后可以拼成一個(gè)長方形。無形中給課堂注入了數(shù)學(xué)的深刻和歷史的厚重，敦促學(xué)生自覺糾正了“把彎曲的剪掉才能變直”的直觀經(jīng)驗(yàn)，引領(lǐng)學(xué)生站在微積分的門檻上，真切地感悟數(shù)學(xué)思想的魅力。

我們主要用“有機(jī)滲透、反復(fù)感悟”的辦法，組織學(xué)生感悟數(shù)學(xué)思想、積淀數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)經(jīng)驗(yàn)。從推導(dǎo)平行四邊形面積計(jì)算方法時(shí)，就開始提“轉(zhuǎn)化”;推導(dǎo)三角形和梯形的面積計(jì)算方法時(shí)，又講“轉(zhuǎn)化”;推導(dǎo)圓面積的計(jì)算方法時(shí)，還是毫無變化地繼續(xù)提“轉(zhuǎn)化”嗎？一個(gè)數(shù)學(xué)思想猶如一個(gè)萬花筒，即便還是它，但稍一變化，就能呈現(xiàn)出不一樣的要點(diǎn)與價(jià)值。因此，我們需要結(jié)合數(shù)學(xué)思想在不同知識(shí)技能形成與運(yùn)用的過程中展示出的獨(dú)到價(jià)值，把它挖掘出來并放大呈現(xiàn)，這樣，學(xué)生對(duì)數(shù)學(xué)思想和數(shù)學(xué)經(jīng)驗(yàn)的感悟便會(huì)豐滿起來。

對(duì)于藝術(shù)來說，民族的，才是世界的;對(duì)于知識(shí)來說，獨(dú)到的，才是不可替代的。

【參考文獻(xiàn)】

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