吳振亞 蔡宏圣

【摘要】數(shù)學(xué)史不僅是歷史的知識，也是思考問題的厚實背景。對照歷史，數(shù)學(xué)教育要吸引學(xué)生思考，并讓學(xué)生充分享受思維的高峰體驗?！跋葘W(xué)后教、以學(xué)論教”不能把對新知的探索變成對新知的驗證，要根據(jù)教學(xué)內(nèi)容的不同情況合理使用，給予學(xué)生數(shù)學(xué)發(fā)現(xiàn)、數(shù)學(xué)創(chuàng)新的機會。

【關(guān)鍵詞】數(shù)學(xué)史;數(shù)學(xué)思考;高峰體驗;先學(xué)后教;創(chuàng)新

【中圖分類號】G623.5【文獻(xiàn)標(biāo)識碼】A【文章編號】1005-6009（2015）17-0018-02

【作者簡介】1.吳振亞，江蘇省太倉市實驗小學(xué)（江蘇太倉，215400），太倉市學(xué)科帶頭人;2.蔡宏圣，江蘇省啟東市中小學(xué)教師研修中心（江蘇啟東，226200）小學(xué)教研室主任，正高級教師，江蘇省數(shù)學(xué)特級教師。

如果說哲學(xué)研究的是世界上一切事物的最普遍規(guī)律，那么，數(shù)學(xué)哲學(xué)研究的就是數(shù)學(xué)發(fā)生和發(fā)展的最普遍規(guī)律。關(guān)于數(shù)學(xué)史與數(shù)學(xué)哲學(xué)之間的關(guān)系，康德有句廣為流傳的名言：數(shù)學(xué)史一旦缺少了數(shù)學(xué)哲學(xué)的引導(dǎo)，便是盲目的;至于數(shù)學(xué)哲學(xué)，要是對數(shù)學(xué)史中最引人遐想的現(xiàn)象不理不睬，那么，它便是空洞的。數(shù)學(xué)領(lǐng)域的最高智慧——數(shù)學(xué)哲學(xué)研究都需要從數(shù)學(xué)史中汲取營養(yǎng)，那數(shù)學(xué)教育憑什么拒絕數(shù)學(xué)史呢？限于篇幅，本文選取數(shù)學(xué)課改中的兩個問題，看看數(shù)學(xué)史能給予我們什么啟示。

一、數(shù)學(xué)憑什么吸引學(xué)生？

2002年8月在北京舉行國際數(shù)學(xué)家大會期間，陳省身先生為以“走進美妙的數(shù)學(xué)花園”為主題的中國青少年數(shù)學(xué)論壇分別題詞“走進美妙的數(shù)學(xué)花園”和“數(shù)學(xué)好玩”。特別是“數(shù)學(xué)好玩”的錚錚教誨，凝聚著一代數(shù)學(xué)大師自身學(xué)習(xí)、研究數(shù)學(xué)的切身體會，在某種意義上也揭示了數(shù)學(xué)潛在的某種特質(zhì)。

說起“好玩”，大家都會想到游戲。大多數(shù)成年人都有過玩游戲的經(jīng)歷和體會?；仡欉@些體驗，一個好玩的游戲，首先應(yīng)該容易入手，能很快玩起來;其次是有點小難度，隨著玩法的熟練，不斷有匹配你能力的新進階等著你去挑戰(zhàn)。在數(shù)學(xué)里也有游戲，比如七巧板、華容道、九連環(huán)等。七巧板，在國際上被稱為“唐圖”。拿破侖在滑鐵盧兵敗被流放之后，常玩七巧板消遣。為什么他沒有感到厭倦？因為七巧板能拼成成千上萬種圖案。中國科學(xué)院院士張景中教授主編有《好玩的數(shù)學(xué)》科普叢書，其中吳鶴齡先生編著的《七巧板、九連環(huán)和華容道——中國古典智力游戲三絕》一書，剖析了三個經(jīng)典游戲背后的數(shù)學(xué)道理，玩智力游戲的本質(zhì)是玩數(shù)學(xué)。

數(shù)學(xué)知識源于人類的生產(chǎn)勞動，但數(shù)學(xué)科學(xué)卻源于古希臘人的理性思辨。相傳，古希臘的第一個賢哲泰勒斯從古埃及那里繼承提出了4個幾何命題的一般形式，并設(shè)法證明了“等腰三角形底角相等”。公元前387年，柏拉圖建立了自己的學(xué)院，門口赫然豎立著“不懂幾何者禁入”的警示牌，能進入學(xué)院聚在一起討論交流的已不可能有真正意義上的勞動者，大家在陽光下、草地上溫文爾雅地討論的也不是一個數(shù)學(xué)結(jié)論能直接解決生產(chǎn)生活中的哪個問題，而是如何賦予一個數(shù)學(xué)結(jié)論以邏輯性。歐幾里得和他的《幾何原本》是人類歷史上第一個理論形態(tài)的科學(xué)，這個史實至少可以說明柏拉圖和他的弟子們實際上并沒有做出更多的名堂，但重要的是柏拉圖開創(chuàng)了從經(jīng)驗幾何提升為證明幾何的里程碑。在這個過程中，吸引人的已經(jīng)不是數(shù)學(xué)的使用價值，而是純粹的智力樂趣。因而，英國數(shù)學(xué)家哈代說：“激勵數(shù)學(xué)家做研究的主要動力是智力上的好奇心，是謎團吸引力?！标愂∩硐壬f“數(shù)學(xué)好玩”，正是對數(shù)學(xué)發(fā)展這一特質(zhì)的凝聚，也是其自身在學(xué)習(xí)和研究數(shù)學(xué)的過程中感悟到的哲理。先生在天津扶輪中學(xué)求學(xué)時，樂此不疲地尋找弦切角定理的多種證明方法，寫就《一個幾何定理的十六個證明》一文，刊登于?？斗鲚啞飞希硎艿谋闶撬伎嫉臉啡?。

綜上所述，數(shù)學(xué)就其客觀意義，本身無“好玩”之說，而學(xué)習(xí)者建立起“好玩”的主觀感受，總結(jié)起來不外乎兩條：其一是簡單有趣，能讓參與者很快入境;其二是別有洞天，能讓參與者欲罷不能。不少人覺得數(shù)學(xué)難，所以不愛學(xué)數(shù)學(xué)，實際上這是表面現(xiàn)象。數(shù)學(xué)能讓一部分人終身追隨，不是因為它簡單，恰恰是因為它有點難。因此，不愛學(xué)數(shù)學(xué)的問題本質(zhì)在于：面前的數(shù)學(xué)對他們來說，“難”得不合適。如果要解決的問題就像跳一跳就能摘到的果子，那么他們就不會計較跳一跳的努力，反而會因為跳一跳更難以忘懷那果子的鮮美！

數(shù)學(xué)，是人類智力的皇冠，吸引人沉醉其中的是可以享受智力的高峰體驗。一個高明的數(shù)學(xué)教師，要呈現(xiàn)與兒童的認(rèn)知水平相匹配的數(shù)學(xué)——能解決又不能隨手可得、有信心又需要再努力的數(shù)學(xué)。如此，學(xué)習(xí)的過程便猶如陶淵明先生游記里所描述的：“山有小口，仿佛若有光。便舍船，從口入。初極狹，才通人。復(fù)行數(shù)十步，豁然開朗。”這樣的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)過程，積累著從輾轉(zhuǎn)反側(cè)、冥思苦想到石破天驚、豁然開朗的思考樂趣，學(xué)生怎么會拋棄數(shù)學(xué)呢？

二、怎樣的“先學(xué)后教、以學(xué)論教”才完美？

如果高度概括數(shù)學(xué)發(fā)展的話，數(shù)學(xué)史實際上只有兩個歷史階段：其一是數(shù)學(xué)結(jié)論的創(chuàng)造階段，這里往往是偉大數(shù)學(xué)家的大膽猜測、直覺或類比推理起著更大的作用;其二是數(shù)學(xué)理論的構(gòu)建階段，用演繹推理的方式賦予已經(jīng)創(chuàng)造出來的數(shù)學(xué)結(jié)論以邏輯性。也就是說，盡管數(shù)學(xué)的最終表現(xiàn)形式是嚴(yán)格的演繹方式，但只有依靠直覺、大膽的猜測，并通過多次反復(fù)（猜測，反駁;再猜測，再反駁），我們才能發(fā)現(xiàn)并最終獲得可靠的知識。用演繹推理的方式證明，雖然是數(shù)學(xué)的靈魂，但在此之前，總要明確要證明什么。愛因斯坦說：“解決問題也許是一個數(shù)學(xué)上或?qū)嶒炆系募寄芏?，而提出新的問題、新的理論，從新的角度去看舊的問題，卻需要創(chuàng)造性的想象力，而且標(biāo)志著科學(xué)的真正進步。”數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)不僅要學(xué)習(xí)如何用演繹的方式去證明，還要有大量的機會去體會如何猜測、類比和歸納，這才是完整的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)生活。

教師把數(shù)學(xué)看得越透徹越能在數(shù)學(xué)教育的各種紛爭中保持應(yīng)有的定力。當(dāng)下，數(shù)學(xué)課堂中“先學(xué)后教、以學(xué)論教”的實踐如火如荼。這樣做的理論基礎(chǔ)是：學(xué)生是有學(xué)習(xí)能力的人，不是一張白紙，為什么要把將要學(xué)習(xí)的知識藏起來怕他們先知道呢？難道只是為了確保教師在課堂里更像個權(quán)威？這一番理論很有說服力，讓學(xué)生先學(xué)起來，把他們從原先的被動學(xué)習(xí)狀態(tài)中解放出來，也肯定沒有錯。但需要慎思，學(xué)科教學(xué)在承載教育功能的同時要體現(xiàn)學(xué)科的特質(zhì)，只有這樣，各個不同學(xué)科構(gòu)建而成的課程體系才有意義。不說“先學(xué)后教、以學(xué)論教”異化成“先學(xué)后教、大量做題”對數(shù)學(xué)教育目標(biāo)帶來的傷害，也不說先學(xué)時圍繞預(yù)習(xí)題、辨析題進行的對新知的解讀式學(xué)習(xí)濾去了數(shù)學(xué)內(nèi)在的思想精髓，就是神似的“先學(xué)后教、以學(xué)論教”，學(xué)生閱讀教科書知道了數(shù)學(xué)結(jié)論后，課堂中所做的事便是運用所有的舊知去設(shè)法驗證、說明該結(jié)論的成立。這樣的課堂實踐也以事實說明，放開了讓學(xué)生先學(xué)，的確能激發(fā)他們的學(xué)習(xí)能動性和潛在智慧。但要警惕并要想方設(shè)法避免的是：學(xué)生的所有智慧都服從于已有的結(jié)論，千方百計地驗證和說明這個結(jié)論的正確性，沒有機會在問題情境的逼迫中提出自己的想法。

“先學(xué)后教、以學(xué)論教”要防止“先學(xué)”變成“先知道”，而不是“先思考”。在學(xué)習(xí)戰(zhàn)略性概念等內(nèi)容時，把數(shù)學(xué)結(jié)論藏起來，是給予學(xué)生獨立探索、發(fā)現(xiàn)問題、大膽猜測、思考驗證、收獲成功的機會。課堂交流展示，不僅要討論個人對現(xiàn)有結(jié)論的理解和驗證，還應(yīng)該找合適的內(nèi)容組織學(xué)生交流：你自己提出了什么想法？你的想法道理何在？然后對照現(xiàn)有的結(jié)論交流：現(xiàn)有的結(jié)論高明在何處？這一切正如《義務(wù)教育數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（2011年版）》提出的“自己發(fā)現(xiàn)和提出問題是創(chuàng)新的基礎(chǔ);獨立思考、學(xué)會思考是創(chuàng)新的核心;歸納概括得到猜想和規(guī)律，并加以驗證，是創(chuàng)新的重要方法”，無論用什么教育模式，創(chuàng)新意識的培養(yǎng)都應(yīng)貫穿始終。

無論什么時候，當(dāng)下都是歷史中的一個片段。對于歷史，我們都應(yīng)心存敬畏。在數(shù)學(xué)發(fā)生、發(fā)展的歷史中，我們能看到數(shù)學(xué)的源與流、美與理，還能看到謬誤與曲折、發(fā)現(xiàn)與創(chuàng)造，甚至能透過數(shù)學(xué)的知性看到其背后的人性……對于數(shù)學(xué)的教與學(xué)來說，所有的這些都是不可或缺的財富。