田載今

我們常把要研究的對象分為“一般對象”或“特殊對象”，例如，當(dāng)我們把平行四邊形看作一般對象時，矩形、菱形和正方形就是其中的幾種特殊對象，即幾種特殊的平行四邊形.又如，當(dāng)我們把一次函數(shù)y=kx+b（k≠0）看作一般對象時，正比例函數(shù)y=kx（k≠0）就是一種特殊對象，即一種特殊的一次函數(shù).

一般對象與特殊對象的關(guān)系是：一般對象中包含了特殊對象.一般對象的性質(zhì)，指的是其中各個特殊對象都具有的共性.例如，任一平行四邊形都有“對邊相等”“對角相等”“對角線互相平分”等性質(zhì).特殊對象存在于一般對象之中，特殊對象不僅具有一般對象都具有的共性，而且還有自己的特性.例如，矩形不僅具有平行四邊形的所有性質(zhì)，而且還有“四個角都是直角”“兩條對角線相等”等特性，這些特性并非任一平行四邊形都會具有.

我們研究對象時，有兩種不同的途徑.一種是從研究一般對象發(fā)展到研究特殊對象，另一種是從研究特殊對象發(fā)展到研究一般對象，我們需要根據(jù)研究對象的特點(diǎn)，選擇適當(dāng)?shù)难芯客緩剑?/p>

一、“從一般到特殊”的研究途徑舉例

回顧人教版初中數(shù)學(xué)教科書的第十八章《平行四邊形》，大家會發(fā)現(xiàn)教科書展現(xiàn)的是“從一般到特殊”的研究途徑.

這章的第一節(jié)，從認(rèn)識平行四邊形的定義出發(fā)，以平行四邊形的基本特征（兩組對邊分別平行）為基礎(chǔ)，推導(dǎo)出平行四邊形的性質(zhì)，并由性質(zhì)的逆命題推導(dǎo)出判定一個四邊形是平行四邊形的條件（“兩組對邊分別相等”“兩組對角分別相等”“對角線互相平分”“一組對邊平行且相等”等）.

這章的第二節(jié)，依次認(rèn)識矩形、菱形和正方形.矩形是有一個角是直角的平行四邊形.相對于一般平行四邊形，矩形特殊在“有一個角是直角”.根據(jù)這一特征，再加上一般平行四邊形的共性，就能推導(dǎo)出矩形的特性以及判定方法.菱形是有一組鄰邊相等的平行四邊形.相對于一般平行四邊形，菱形特殊在“有一組鄰邊相等”，根據(jù)這一特征，再加上一般平行四邊形的共性，就能推導(dǎo)出菱形的特性（“四條邊都相等”“對角線互相垂直，并且每一條對角線平分一組對角”等）以及判定方法.正方形是四條邊都相等并且四個角都相等的四邊形，它既是特殊的矩形，又是特殊的菱形，所以它不僅具有一般平行四邊形的共性，而且具有矩形和菱形的特性，在認(rèn)識了平行四邊形、矩形和菱形之后，對正方形這種特殊性更強(qiáng)的平行四邊形的認(rèn)識就水到渠成了.

平行四邊形、矩形、菱形和正方形的包含關(guān)系，可以用圖1來表示.

圖1直觀地顯示出一般對象（平行四邊形）包含了特殊對象（矩形和菱形），特殊對象又包含了更特殊的對象（正方形）.由圖l可以看出，特殊對象處于一般對象范圍之內(nèi)的特定區(qū)域，這表示它除具有一般對象的屬性之外，還具有特定的性質(zhì)，一般地說，如果對象4包含對象B，那么A的外延（即范圍）大，B的外延?。籄的內(nèi)涵（即屬性）少，B的內(nèi)涵多.

縱觀這章的體系結(jié)構(gòu)，“先研究一般平行四邊形，再研究特殊平行四邊形”這一“從一般到特殊”的發(fā)展脈絡(luò)十分清晰，

三、“從特殊到一般”的研究途徑舉例

回顧人教版初中數(shù)學(xué)教科書第十九章《一次函數(shù)》第二節(jié)“一次函數(shù)”，大家會發(fā)現(xiàn)教科書展現(xiàn)的是“從特殊到一般”的研究途徑.

這節(jié)的第一小節(jié)，從認(rèn)識正比例函數(shù)的定義出發(fā)，以正比例函數(shù)的基本對應(yīng)關(guān)系y=kx（k≠0）為基礎(chǔ)，由描點(diǎn)法得出正比例函數(shù)的圖象是通過原點(diǎn)的一條直線.而由“k>0時，圖象經(jīng)過第一、三象限，從左到右上升；k<0時，圖象經(jīng)過第二、四象限，從左到右下降”，引導(dǎo)出正比例函數(shù)的增減性（k>0時，隨著x的增大y也增大；k<0時，隨著x的增大y反而減?。?至此，完成了用“定義一圖象一性質(zhì)”這一模式研究正比例函數(shù)的過程.

這節(jié)的第二小節(jié)，在正比例函數(shù)關(guān)系y=kx（k≠0）的基礎(chǔ)上，添加常數(shù)6，使函數(shù)關(guān)系發(fā)展成為y=kx+b（k≠0），引出了一般的一次函數(shù)的定義.按一次函數(shù)的定義可知，正比例函數(shù)是一種特殊的一次函數(shù)，其特殊性在于常數(shù)b=0.在研究一次函數(shù)的圖象時，教科書沒有重復(fù)描點(diǎn)法這一“原始的”方法，而是引導(dǎo)我們發(fā)現(xiàn)y=kx與y=kx+b（k≠0）的聯(lián)系，借助正比例函數(shù)的圖象得出一般的一次函數(shù)的圖象.具體的認(rèn)識過程是，先提出問題：畫函數(shù)y=-6x和y=-6x+5的圖象，由于y=-6x是正比例函數(shù)，其圖象是第一小節(jié)已經(jīng)研究過的問題，我們很容易得出它是過原點(diǎn)和點(diǎn)（1，-6）的一條直線.對比兩個函數(shù)的解析式，可以聯(lián)想到一次函數(shù)y=-6x+5的圖象是平行于直線y=-6x并且比它高5個單位的一條直線（圖2）.進(jìn)一步，容易得出一般的一次函數(shù)y=kx+b（k≠0）的圖象為過點(diǎn)（0，b）和點(diǎn)（1，k+b）的一條直線，

掌握了一次函數(shù)的圖象后，聯(lián)系正比例函數(shù)的增減性，借助圖象的直觀描述，容易得出一次函數(shù)的增減性（k>0時，隨著x的增大y也增大；k<0時，隨著x的增大y反而減?。?至此，完成了用“定義一圖象一性質(zhì)”這一模式研究一次函數(shù)的過程.

縱觀這節(jié)的體系結(jié)構(gòu)，“先研究正比例函數(shù)這種特殊的一次函數(shù)，再研究一般的一次函數(shù)”這一“從特殊到一般”的發(fā)展脈絡(luò)十分清晰，

三 “由淺入深，由簡至繁，由易到難”進(jìn)行研究

“從一般到特殊”和“從特殊到一般”是兩種過程相反的研究途徑，但它們并非是“一對一錯”的對立關(guān)系，它們各自都有用武之地，關(guān)鍵在于要用得恰到好處，要適合研究的對象，

“由淺入深，由簡至繁，由易到難”是一般研究過程的規(guī)律，不論是“從一般到特殊”，還是“從特殊到一般”，都應(yīng)遵循這樣的規(guī)律.例如，矩形、菱形和正方形是特殊的平行四邊形，它們的內(nèi)涵比一般平行四邊形更多，性質(zhì)更復(fù)雜，判定條件更嚴(yán)苛，而且對它們的研究不能脫離對一般平行四邊形的認(rèn)識，因此“從一般到特殊”地研究平行四邊形是符合認(rèn)識規(guī)律的，又如，正比例函數(shù)y=kx（k≠0）是特殊的一次函數(shù)，與一般的一次函數(shù)y=kx+b（k≠0）相比，正比例函數(shù)所具有的b=0的特征使其在形式上更簡單，由此其圖象的位置也更容易確定（必定過原點(diǎn)）.正是由于這些特性，使正比例函數(shù)成為一次函數(shù)中最簡單的特殊對象，而且在認(rèn)識它的基礎(chǔ)上很容易擴(kuò)展到一般的一次函數(shù)，因此“從特殊到一般”地研究一次函數(shù)是符合認(rèn)識規(guī)律的，

俗話說“到什么山唱什么歌”“看菜吃飯，量體裁衣”，研究不同的對象，有可能采取不同的研究途徑，要具體問題具體分析，沒有一成不變的方法.

同學(xué)們，回顧并總結(jié)研究問題的方法，對于提高研究問題的能力非常有益.認(rèn)識一般對象與特殊對象的辯證關(guān)系，對于更全面地認(rèn)識事物十分重要.