金雪

【摘要】數(shù)學思維是人腦與數(shù)學對象交互作用并按照一般思維規(guī)律認識數(shù)學內(nèi)容的內(nèi)在理性活動.在公式、定理、性質(zhì)的教學過程中，教師精心編制一系列由簡單到復雜的變式訓練題，組織學生進行嘗試練習，引導學生參與知識的發(fā)現(xiàn)、探索、推導過程，可以提高思維的探究水平，更可以掌握具有廣泛性的思維方法.

【關(guān)鍵詞】數(shù)學思維；變式訓練

一、問題提出的背景

學生數(shù)學學習的認知水平一般分為三個層次：記憶模仿型、說明性理解型與探究性理解型.為了培養(yǎng)與提高學生的數(shù)學思維能力，引導學生向探究性理解型發(fā)展，教師在課堂教學中，要敢于和善于給學生提供一定的獨立思考、發(fā)現(xiàn)問題的條件和機會.適當?shù)剡M行變式訓練、一題多解、一法多用，可以讓學生形成富于聯(lián)想的思維習慣.數(shù)學公式作為解題的工具，深刻理解并準確掌握數(shù)學公式是學好數(shù)學的第一關(guān).數(shù)學公式應用廣泛，推導方法具有代表性，所以人們把它比喻為“數(shù)量關(guān)系的精髓”.在一般的數(shù)學教學中，我們通常是推導公式，首先教師講解例題進行示范，然后學生模仿反復練習.一兩堂課下來，學生對數(shù)學課的印象就是推導公式、代公式解題，純粹把數(shù)學課看成做題目的枯燥無味的課，長此以往，對數(shù)學課就越來越?jīng)]興趣.如何提高學生學習數(shù)學的興趣，讓學生真正地參與課堂，在實踐中培養(yǎng)學生的數(shù)學思維，是數(shù)學老師一直思考的問題.

二、案例再現(xiàn)

以五年制高等師范數(shù)學教材中的“二倍角的三角函數(shù)”這節(jié)內(nèi)容為例，老師在引導學生推導出公式后，對公式進行變形研究，使學生能夠找到它的一些其他形式并進行相應的應用.這樣既能深刻理解公式，又可靈活應用于解題，課堂氣氛熱烈，學生學習積極性高.

公式的導出部分老師讓學生利用學過的正弦、余弦和正切的和角公式，化歸為二倍角公式，讓學生理解“二倍角” 與 “兩角和” 的內(nèi)在聯(lián)系.

在公式的運用應用部分，老師是這樣設計的：

提問：二倍角公式結(jié)構(gòu)特征有哪些？

師生互動：教師在黑板上板書且同時啟發(fā)學生注意公式結(jié)構(gòu)中等號兩邊角度倍數(shù)的對比、系數(shù)的對比、冪次數(shù)的對比，學生思考并回答問題以達到熟練公式結(jié)構(gòu)的目的.學生通過觀察比較，能很快地歸納出二倍角公式的結(jié)構(gòu)特征.為了能很好地鞏固和理解公式中“二倍角”含義，也為下面靈活應用公式化解和求值做準備，教師設置了以下練習：梯度一 （讓學生理解倍角的相對性）

在以上問題中主要突出的是倍角的相對性，以及公式左右兩邊的角的變化.為了進一步鞏固所學公式與更深入熟練地掌握公式變形，特意由淺入深設計以下課堂練習以達到相關(guān)目的.學生對比二倍角公式的形式特點，基本能準確地填出結(jié)論，并且在給出結(jié)論的同時也真正理解了“二倍”的含義.二倍角的正弦公式、余弦公式是三角恒等變換中的重要公式，在理解和掌握公式的基礎上，若能對公式作一些變形，并在解題中予以靈活運用，則可激活思維，化繁為簡，使得解題過程更加簡潔明快.教師在學生理解梯度一的基礎上，再設計了以下兩組變式訓練：梯度二：（熟練公式結(jié)構(gòu)并會用公式的逆用）

經(jīng)過三個梯度的訓練，學生對公式的結(jié)構(gòu)與公式的應用達到基本熟練之后，下一步就可以提供機會讓學生利用倍角公式進行求值運算、以培養(yǎng)學生運算、分析和邏輯推理能力，可以很好地完成本節(jié)課的教學目標之一與難點之一.

三、案例教學反思

上課班級的學生基礎相對較好，特別是男生，如果純粹是講公式后讓學生模仿做題目，學生沒有獨立思考的機會，沒有親自體驗公式和概念的形成過程，只能是做題目的機器，對知識一知半解，更不用說學以致用了.學生也會覺得沒有挑戰(zhàn)性，從而對數(shù)學學習缺乏積極性.學生只有在親自實踐中才能獲取新知識的能力、分析解決問題的能力，以及交流與合作的能力.老師在教學中對二倍角公式的深化變式，讓學生積極思維，既提高了學習的積極性，又加強了對公式的理解和應用.

數(shù)學的公式有很多的變式，這些變式為學生提供了廣闊的天地，同時在公式的變式過程中可以充分體現(xiàn)數(shù)學公式的轉(zhuǎn)化和簡化功能，從而有利于學生更深刻地理解數(shù)學公式的本質(zhì).通過探求公式的變式的應用，可以培養(yǎng)學生直覺思維、快速解題的能力，有利于培養(yǎng)學生的逆向思維、發(fā)散思維等，形成良好的思維品質(zhì).

（一）公式的變式應用可以培養(yǎng)學生簡單的直覺思維能力和解題能力

直覺思維是導致數(shù)學發(fā)現(xiàn)的關(guān)鍵，教師在教學中，鼓勵學生猜想，形成朦朧的直覺.讓學生猜想，不僅激發(fā)了他們努力解題，還教會了他們一種應用的思維方式.二倍角公式的熟練應用對于學習三角函數(shù)的性質(zhì)起著很重要的作用.如學習y=sin2x的圖像及性質(zhì).再如梯度三中的練習sinπ16cosπ16cosπ8，學生看到相同的角，會聯(lián)想到正弦的二倍角公式，猜想填個系數(shù)即可，學生在掌握了二倍角公式的逆向變形特點后，就能很快的與公式進行對比，從而找到系數(shù)上的差別，并相應的進行增添，就可以很方便得出答案.（sinα-cosα）2和cos4β-sin4β的解題學生根據(jù)做題目的直覺經(jīng)驗，自然會想到先用完全平方和平方差公式展開求解，教師再有意識地引導他們向縱深方向考慮，幫助理清來龍去脈，總結(jié)出方法和結(jié)論，學生的解題能力也會逐步提高.在教學過程中，有時設置一些順理成章的“陷阱”也是有益的，可以引導學生積極思維，在猜想、探究、修改的過程中加深對知識的理解和掌握.

（二）公式的變式應用可以培養(yǎng)學生的逆向思維能力

人們習慣于沿著事物發(fā)展的正方向去思考問題并尋求解決辦法.其實，對于某些問題，尤其是一些特殊問題，從結(jié)論往回推，倒過來思考，從求解回到已知條件，反過去想或許會使問題簡單化.數(shù)學教學中可表現(xiàn)為某些數(shù)學公式、法則等逆用來解決有關(guān)問題.如二倍角這節(jié)課中，很多學生對于數(shù)學課本中的公式很熟練，但對它們的逆向運用卻往往忽視.因此，老師在二倍角公式教學中，貫穿雙向思維訓練，除了讓學生理解概念本身及其常規(guī)應用外，還注意引導啟發(fā)學生反過來思考，從而加深對概念的理解與拓展.如梯度一和梯度二的設計，這樣正向和逆向敘述相結(jié)合，使學生對公式的理解更加深刻，知識掌握得更加靈活，對數(shù)學思維的訓練也起著重要的作用.

（三）公式的變式應用可以培養(yǎng)學生的發(fā)散思維能力

贊可夫說過：“凡是沒有發(fā)自內(nèi)心求知欲和興趣的東西，是很容易從記憶中揮發(fā)掉的”.在課堂教學中應該適當給學生提供獨立思考問題、自己提問題的條件與機會為發(fā)散思維的培養(yǎng)創(chuàng)造良好的內(nèi)、外部的環(huán)境.老師在教學過程給出（sinα-cosα）2 和cos4β-sin4β題目給出后，沒有直接板書講解，而是讓學生討論，給學生提供探索嘗試的機會.學生們躍躍欲試，積極動腦，一部分學生能自己利用二倍角公式和平方公式推算出結(jié)論，運用已學知識去解決新問題，并進行多種嘗試，學生的解題思維得到拓展，學習積極性提高.如果老師怕學生在課堂上聽不懂、吃不飽，總是在課堂上講個不停，即使提出問題也是匆匆而過，學生沒有進行充分思考問題的時間，這樣培養(yǎng)的學生也不可能具有探究性思考的習慣與能力，當然談不上培養(yǎng)發(fā)散思維了.

數(shù)學教學就是數(shù)學思維活動的教學.因此，在數(shù)學教學中展現(xiàn)思維活動，教師在課堂教學中應該精心設計，給學生充分思考問題的機會和時間，讓學生親自參與思維活動，不僅體現(xiàn)了這種教學思想，而且有利于提高學生的思維的探究水平，從而提高學生學習數(shù)學的興趣.