和志芳

【摘要】數(shù)學教學以培養(yǎng)創(chuàng)造型人才為目標，而發(fā)散性思維培養(yǎng)是核心和關(guān)鍵.

【關(guān)鍵詞】發(fā)散思維;創(chuàng)新;一題多解

培養(yǎng)學生數(shù)學發(fā)散性思維是培養(yǎng)學生創(chuàng)新能力的重要源泉，培養(yǎng)發(fā)散性思維可以使學生對所學的知識融會貫通，多角度、多方位、多層次的去思考問題，在原有的基礎上再發(fā)現(xiàn)問題，解決新問題，從而達到培養(yǎng)創(chuàng)新能力，打破原有的思維定式和思維習慣，經(jīng)過長期的訓練，勢必使得學生思維敏捷，思路開闊，多思廣想，多疑善解，思維就會閃爍出探新與獨創(chuàng)的智慧火花.教師在實際課堂教學中，應發(fā)揮主導作用，充分培養(yǎng)學生的發(fā)散性思維，尤其是一題多解，一題多變的訓練，可以啟迪學生的思維，開拓解題思路，激發(fā)學生的課堂參與興趣，調(diào)動學生的積極性，從而使得學生形成靈活多變的解題思維的效果.一題多解既培養(yǎng)了學生的數(shù)學發(fā)散思維能力，又直接有效地提高了課堂教學效果.

21世紀，創(chuàng)新型人才是現(xiàn)在社會最稀缺的人才，不僅僅要懂得信息的接受，還要懂的信息的處理與運用.在數(shù)學的教學過程中，教師應將學生的創(chuàng)造性思維和發(fā)散思維進行有效的引導，運用自己獨特的思維進行問題的解決，而不是單純的模仿別人的解決方法.下面舉例說明.

計算∫x31+x2dx

一、利用第一類換元積分法

解法1 ∫x31+x2dx

=12∫x2x2+1d（x2）

=12∫x2+！-1（x2+?。?2d（x2+?。?/p>

=12∫x2+112d（x2+1）-12∫x2+1-12d（x2+?。?/p>

=13x2+132-x2+112+C

=13x2+1x2-2+C.

解法2 ∫x31+x2dx

=∫x3+x-x1+x2dx

=∫x（x2+1）-x1+x2dx

=∫x1+x2dx-∫x1+x2dx

=12∫1+x2dx2+1-12∫x2+1-12dx2+1

=13x2+1x2-2+C.

解法3 ∫x31+x2dx

=∫x2dx2+1

=∫x2+1-1dx2+1

=∫x2+1dx2+1-∫dx2+1

=13x2+1x2-2+C

=13x2+1x2-2+C.

二、利用第二類換元積分法

1.根式代換

解法4 ∫x31+x2dx

令1+x2=t，

∫x31+x2dx

=∫x2·x1+x2dx

=∫t2-1ttdt=∫t2-1dt

=13t3-t+C

=13x2+1x2-2+C.

2.三角代換

解法5 ∫x31+x2dx

令x=tant，

∫x31+x2dx

=∫tan3tsectsec2tdt

=∫sin3tcos4tdt

=∫cos2t-1cos4tdcost

=1cost+131cos3t+C

=-x2+1+13x2+132+C

=13x2+1x2-2+C.

三、利用第一類換元積分法與分部積分法相結(jié)合的方法

解法6 ∫x31+x2dx

=∫x2dx2+1

=x2x2+1-∫x2+1dx2+1

=x2x2+1-23x2+132+C

=13x2+1x2-2+C.

解法7 ∫x31+x2dx

=∫x31-x21-x4dx

=-12∫1-x2d1-x4

=-121-x21-x4-∫1-x4d1-x2

=-121-x2x2+1+12∫x2+1dx2+1

=13x2+1x2-2+C.

總之，在教學的過程當中，培養(yǎng)數(shù)學發(fā)散性思維的方法和途徑多種多樣，并不局限于筆者上述所指，還需要教育工作者在教學實踐過程中，不斷探索有效的方法和途徑，從而更好的培養(yǎng)學生的數(shù)學發(fā)散思維能力.

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