對(duì)數(shù)學(xué)問題及解題教學(xué)的思考

云勇

【摘要】文章從解題教學(xué)的角度系統(tǒng)地分析了數(shù)學(xué)問題及問題解決的基本過程和教學(xué)啟示，以解題教學(xué)研究理論為基礎(chǔ)深入剖析了當(dāng)下解題教學(xué)的弊端，并提建議和思考.

【關(guān)鍵詞】數(shù)學(xué)問題；問題解決；解題教學(xué)

1.數(shù)學(xué)問題的概念

數(shù)學(xué)問題籠統(tǒng)地說是現(xiàn)有水平與客觀需求之間的矛盾，問題就是矛盾.該敘述僅從問題本身的本質(zhì)特點(diǎn)對(duì)問題進(jìn)行了高度的概括，而從問題解決的心理角度出發(fā)，具備以下特點(diǎn)的數(shù)學(xué)問題才能成為學(xué)生的問題：①學(xué)生能理解問題并愿意解決問題；②學(xué)生具有解決問題的知識(shí)；③問題的答案不能被學(xué)生一眼看出.只有這樣的問題才具有教育教學(xué)的意義，例如：哥德巴赫猜想是一個(gè)問題，但從教學(xué)的角度，從學(xué)生心理特征角度看，它不能成為學(xué)生的問題.而作為高中學(xué)生計(jì)算5×0.2不成為問題，因?yàn)閱栴}解決要具備教育功能，至少要達(dá)到具有鞏固數(shù)學(xué)知識(shí)、訓(xùn)練數(shù)學(xué)技能、貫穿解題策略、發(fā)展學(xué)生思維的作用，所以問題應(yīng)具備理解性.障礙性和挑戰(zhàn)性.美國(guó)著名的問題解決專家兇菲爾德給出了“好問題”的五條審美原則，即一個(gè)好問題必須是容易接受的，有多種解題方法，蘊(yùn)含了重要的數(shù)學(xué)思想，不故意設(shè)陷阱，可以進(jìn)一步開展和一般化.數(shù)學(xué)教師都有自己的數(shù)學(xué)教學(xué)觀念和對(duì)問題好壞的評(píng)價(jià)標(biāo)準(zhǔn)，在教學(xué)中數(shù)以千次地應(yīng)用這些標(biāo)準(zhǔn)去為自己的學(xué)生選題，但各自所擁有的評(píng)價(jià)標(biāo)準(zhǔn)是否合理是值得探究的.

2.數(shù)學(xué)問題解決的模型

問題的特征不同，問題的類型也就不同，從而解決問題的模型也就各有差別，只能從問題解決的基本特征上得到大致的過程模型.根據(jù)我國(guó)高考數(shù)學(xué)問題的特點(diǎn)將各種類型問題的解題過程做深入研究，得到具體類型問題的解題過程模型成為當(dāng)下教輔圖書編寫的主要思路（能提高學(xué)生的分?jǐn)?shù)），但解題過程模型越是具體，則針對(duì)的問題面也就越窄，這樣處理有使學(xué)生進(jìn)去機(jī)械模仿的嫌疑，不利于學(xué)生解題能力的提高.所以在教學(xué)實(shí)踐中將抽象的解題模型適當(dāng)具體到問題，應(yīng)用到課堂，才有利于學(xué)生解題能力的提高，例如波利亞的著作《數(shù)學(xué)的發(fā)現(xiàn)》中就歸納了幾種常用的具體解題模型，前四章就分別是雙軌跡模型、笛卡爾模型、遞歸模型、疊加模型.

3.數(shù)學(xué)問題解決的特征

問題解決具有多步化歸、多元表征、多層結(jié)構(gòu)等特征，相關(guān)研究頗為豐富，這里做簡(jiǎn)要概述.所謂“化歸”，是把未知的、待解決的問題轉(zhuǎn)化為已知的、已解決的問題，從而解決問題的過程.弗里德曼說：“解題就是把題歸結(jié)為已經(jīng)解過的題.”而波利亞的《怎樣解題表》中有30多個(gè)問句或建議體現(xiàn)了化歸的策略.數(shù)學(xué)問題解決的多步化歸使得“典型例題”在解題能力提升的過程中起到了關(guān)鍵的地位.只有掌握了一批典型例題，在解決新問題時(shí)才容易找到化歸的方向.但實(shí)際教學(xué)中不能因?yàn)橹v典型例題，而忽視了問題是提高思維能力的載體這一基本理念（筆者觀點(diǎn)），殊不知，典型例題也有被第一次被解決的過程，以后多次解決類似的問題，典型例題才能被熟悉，才能有被應(yīng)用與化歸的可能.

知識(shí)表征指知識(shí)在頭腦中的表示形式和組織結(jié)構(gòu).知識(shí)是個(gè)體與信息甚至整個(gè)情境相互作用而獲得的，個(gè)體一旦獲得知識(shí)，就會(huì)在頭腦中用某種形式和方式來代表其意義，把它儲(chǔ)存起來.而問題表征是指問題解決者通過審題，認(rèn)識(shí)和理解問題的結(jié)構(gòu)；通過聯(lián)想，激活頭腦中與之相關(guān)的知識(shí)和經(jīng)驗(yàn)，將外部信息轉(zhuǎn)化為內(nèi)部信息，形成問題空間的過程.由于知識(shí)在頭腦中儲(chǔ)存具有多樣性，決定了知識(shí)表征的多樣性，如函數(shù)的單調(diào)性就有文字性表征、圖像表征、符號(hào)表征，學(xué)生甚至?xí)扇∪醣碚鞯乃季S習(xí)慣，用具體函數(shù)的單調(diào)性表征一切函數(shù)的單調(diào)性，而問題表征需建立在知識(shí)表征的基礎(chǔ)上，所以問題表征變得更是復(fù)雜多元，如數(shù)形結(jié)合思想實(shí)際上是代數(shù)表征與幾何表征之間的轉(zhuǎn)化，特殊化事實(shí)上是不完整的問題表征方式，因?yàn)樘厥饣从沉藛栴}解決的一個(gè)狀態(tài)結(jié)構(gòu).所以教學(xué)中如何引導(dǎo)學(xué)生采取合理的問題表征方式成為解題教學(xué)的重點(diǎn).而當(dāng)前對(duì)問題表征的研究紛亂復(fù)雜，以致表征理論的實(shí)際應(yīng)用顯得更為困難，所以建立解題教學(xué)中各類問題的有效的問題表征策略是理論與實(shí)踐結(jié)合的重點(diǎn).

數(shù)學(xué)問題既包括結(jié)構(gòu)良好的問題，也不良結(jié)構(gòu)的問題，而問題的結(jié)構(gòu)特征與相關(guān)知識(shí)領(lǐng)域有密切聯(lián)系，多層結(jié)構(gòu)這一特點(diǎn)是針對(duì)問題結(jié)構(gòu)特點(diǎn)而言的，但是問題的結(jié)構(gòu)特點(diǎn)決定了解題過程的多樣性、思維的開放性等特點(diǎn)，這是值得重視的.特別地，不良結(jié)構(gòu)的問題對(duì)學(xué)生思維的訓(xùn)練更為有效.

4.影響數(shù)學(xué)問題解決的因素

影響數(shù)學(xué)問題解的因素大致可以分為兩類：內(nèi)部因素（知識(shí)基礎(chǔ)、解題策略、元認(rèn)知、信念、動(dòng)機(jī)）和外部因素（對(duì)問題的熟悉程度、環(huán)境因素、題型、問題的特點(diǎn)、結(jié)構(gòu)、復(fù)雜程度、問題情境）.

問題的解決是解題者對(duì)問題的操作過程，影響問題解決的外部因素主要是問題的基本特征，內(nèi)部因素反映了解題者對(duì)待問題的態(tài)度和操作問題的手段以及對(duì)操作問題過程中的監(jiān)控.在教學(xué)實(shí)踐中，更多地強(qiáng)調(diào)了外部因素對(duì)問題解決的影響，因?yàn)閱栴}是可以看得到的，讓學(xué)生更深刻地認(rèn)識(shí)問題是容易做到的，但要提高學(xué)生的知識(shí)結(jié)構(gòu)、發(fā)展學(xué)生解題策略、培養(yǎng)學(xué)生的元認(rèn)知能力是看不到的，實(shí)際教學(xué)中我們忽視了內(nèi)部因素對(duì)問題解決的影響.學(xué)生會(huì)解常規(guī)題，原因就在于學(xué)生機(jī)械地深刻地認(rèn)識(shí)了常規(guī)題的問題特點(diǎn)，但是創(chuàng)新題、探究題及高考?jí)狠S題（也即難題）學(xué)生便束手無策，因?yàn)樗麄內(nèi)狈忸}策略，沒有解題信心，無法認(rèn)識(shí)自己解題思維過程的確定性.所以，教學(xué)中應(yīng)重視學(xué)生解題策略和元認(rèn)知能力的培養(yǎng)，注重學(xué)生各類知識(shí)之間的轉(zhuǎn)化與聯(lián)結(jié)的建構(gòu).

內(nèi)部因素培養(yǎng)要以問題解決為載體，問題解決需對(duì)問題的結(jié)構(gòu)特點(diǎn)進(jìn)行深入的剖析，所以內(nèi)部因素和外部因素的培養(yǎng)是同時(shí)的，若只就題論題則必然會(huì)忽略內(nèi)部因素的培養(yǎng)，使學(xué)生走向機(jī)械練習(xí)的題海戰(zhàn)術(shù).