云勇
【摘要】文章從解題教學(xué)的角度系統(tǒng)地分析了數(shù)學(xué)問題及問題解決的基本過程和教學(xué)啟示,以解題教學(xué)研究理論為基礎(chǔ)深入剖析了當(dāng)下解題教學(xué)的弊端,并提建議和思考.
【關(guān)鍵詞】數(shù)學(xué)問題;問題解決;解題教學(xué)
1.數(shù)學(xué)問題的概念
數(shù)學(xué)問題籠統(tǒng)地說是現(xiàn)有水平與客觀需求之間的矛盾,問題就是矛盾.該敘述僅從問題本身的本質(zhì)特點(diǎn)對(duì)問題進(jìn)行了高度的概括,而從問題解決的心理角度出發(fā),具備以下特點(diǎn)的數(shù)學(xué)問題才能成為學(xué)生的問題:①學(xué)生能理解問題并愿意解決問題;②學(xué)生具有解決問題的知識(shí);③問題的答案不能被學(xué)生一眼看出.只有這樣的問題才具有教育教學(xué)的意義,例如:哥德巴赫猜想是一個(gè)問題,但從教學(xué)的角度,從學(xué)生心理特征角度看,它不能成為學(xué)生的問題.而作為高中學(xué)生計(jì)算5×0.2不成為問題,因?yàn)閱栴}解決要具備教育功能,至少要達(dá)到具有鞏固數(shù)學(xué)知識(shí)、訓(xùn)練數(shù)學(xué)技能、貫穿解題策略、發(fā)展學(xué)生思維的作用,所以問題應(yīng)具備理解性.障礙性和挑戰(zhàn)性.美國(guó)著名的問題解決專家兇菲爾德給出了“好問題”的五條審美原則,即一個(gè)好問題必須是容易接受的,有多種解題方法,蘊(yùn)含了重要的數(shù)學(xué)思想,不故意設(shè)陷阱,可以進(jìn)一步開展和一般化.數(shù)學(xué)教師都有自己的數(shù)學(xué)教學(xué)觀念和對(duì)問題好壞的評(píng)價(jià)標(biāo)準(zhǔn),在教學(xué)中數(shù)以千次地應(yīng)用這些標(biāo)準(zhǔn)去為自己的學(xué)生選題,但各自所擁有的評(píng)價(jià)標(biāo)準(zhǔn)是否合理是值得探究的.
2.數(shù)學(xué)問題解決的模型
問題的特征不同,問題的類型也就不同,從而解決問題的模型也就各有差別,只能從問題解決的基本特征上得到大致的過程模型.根據(jù)我國(guó)高考數(shù)學(xué)問題的特點(diǎn)將各種類型問題的解題過程做深入研究,得到具體類型問題的解題過程模型成為當(dāng)下教輔圖書編寫的主要思路(能提高學(xué)生的分?jǐn)?shù)),但解題過程模型越是具體,則針對(duì)的問題面也就越窄,這樣處理有使學(xué)生進(jìn)去機(jī)械模仿的嫌疑,不利于學(xué)生解題能力的提高.所以在教學(xué)實(shí)踐中將抽象的解題模型適當(dāng)具體到問題,應(yīng)用到課堂,才有利于學(xué)生解題能力的提高,例如波利亞的著作《數(shù)學(xué)的發(fā)現(xiàn)》中就歸納了幾種常用的具體解題模型,前四章就分別是雙軌跡模型、笛卡爾模型、遞歸模型、疊加模型.
3.數(shù)學(xué)問題解決的特征
問題解決具有多步化歸、多元表征、多層結(jié)構(gòu)等特征,相關(guān)研究頗為豐富,這里做簡(jiǎn)要概述.所謂“化歸”,是把未知的、待解決的問題轉(zhuǎn)化為已知的、已解決的問題,從而解決問題的過程.弗里德曼說:“解題就是把題歸結(jié)為已經(jīng)解過的題.”而波利亞的《怎樣解題表》中有30多個(gè)問句或建議體現(xiàn)了化歸的策略.數(shù)學(xué)問題解決的多步化歸使得“典型例題”在解題能力提升的過程中起到了關(guān)鍵的地位.只有掌握了一批典型例題,在解決新問題時(shí)才容易找到化歸的方向.但實(shí)際教學(xué)中不能因?yàn)橹v典型例題,而忽視了問題是提高思維能力的載體這一基本理念(筆者觀點(diǎn)),殊不知,典型例題也有被第一次被解決的過程,以后多次解決類似的問題,典型例題才能被熟悉,才能有被應(yīng)用與化歸的可能.
知識(shí)表征指知識(shí)在頭腦中的表示形式和組織結(jié)構(gòu).知識(shí)是個(gè)體與信息甚至整個(gè)情境相互作用而獲得的,個(gè)體一旦獲得知識(shí),就會(huì)在頭腦中用某種形式和方式來代表其意義,把它儲(chǔ)存起來.而問題表征是指問題解決者通過審題,認(rèn)識(shí)和理解問題的結(jié)構(gòu);通過聯(lián)想,激活頭腦中與之相關(guān)的知識(shí)和經(jīng)驗(yàn),將外部信息轉(zhuǎn)化為內(nèi)部信息,形成問題空間的過程.由于知識(shí)在頭腦中儲(chǔ)存具有多樣性,決定了知識(shí)表征的多樣性,如函數(shù)的單調(diào)性就有文字性表征、圖像表征、符號(hào)表征,學(xué)生甚至?xí)扇∪醣碚鞯乃季S習(xí)慣,用具體函數(shù)的單調(diào)性表征一切函數(shù)的單調(diào)性,而問題表征需建立在知識(shí)表征的基礎(chǔ)上,所以問題表征變得更是復(fù)雜多元,如數(shù)形結(jié)合思想實(shí)際上是代數(shù)表征與幾何表征之間的轉(zhuǎn)化,特殊化事實(shí)上是不完整的問題表征方式,因?yàn)樘厥饣从沉藛栴}解決的一個(gè)狀態(tài)結(jié)構(gòu).所以教學(xué)中如何引導(dǎo)學(xué)生采取合理的問題表征方式成為解題教學(xué)的重點(diǎn).而當(dāng)前對(duì)問題表征的研究紛亂復(fù)雜,以致表征理論的實(shí)際應(yīng)用顯得更為困難,所以建立解題教學(xué)中各類問題的有效的問題表征策略是理論與實(shí)踐結(jié)合的重點(diǎn).
數(shù)學(xué)問題既包括結(jié)構(gòu)良好的問題,也不良結(jié)構(gòu)的問題,而問題的結(jié)構(gòu)特征與相關(guān)知識(shí)領(lǐng)域有密切聯(lián)系,多層結(jié)構(gòu)這一特點(diǎn)是針對(duì)問題結(jié)構(gòu)特點(diǎn)而言的,但是問題的結(jié)構(gòu)特點(diǎn)決定了解題過程的多樣性、思維的開放性等特點(diǎn),這是值得重視的.特別地,不良結(jié)構(gòu)的問題對(duì)學(xué)生思維的訓(xùn)練更為有效.
4.影響數(shù)學(xué)問題解決的因素
影響數(shù)學(xué)問題解的因素大致可以分為兩類:內(nèi)部因素(知識(shí)基礎(chǔ)、解題策略、元認(rèn)知、信念、動(dòng)機(jī))和外部因素(對(duì)問題的熟悉程度、環(huán)境因素、題型、問題的特點(diǎn)、結(jié)構(gòu)、復(fù)雜程度、問題情境).
問題的解決是解題者對(duì)問題的操作過程,影響問題解決的外部因素主要是問題的基本特征,內(nèi)部因素反映了解題者對(duì)待問題的態(tài)度和操作問題的手段以及對(duì)操作問題過程中的監(jiān)控.在教學(xué)實(shí)踐中,更多地強(qiáng)調(diào)了外部因素對(duì)問題解決的影響,因?yàn)閱栴}是可以看得到的,讓學(xué)生更深刻地認(rèn)識(shí)問題是容易做到的,但要提高學(xué)生的知識(shí)結(jié)構(gòu)、發(fā)展學(xué)生解題策略、培養(yǎng)學(xué)生的元認(rèn)知能力是看不到的,實(shí)際教學(xué)中我們忽視了內(nèi)部因素對(duì)問題解決的影響.學(xué)生會(huì)解常規(guī)題,原因就在于學(xué)生機(jī)械地深刻地認(rèn)識(shí)了常規(guī)題的問題特點(diǎn),但是創(chuàng)新題、探究題及高考?jí)狠S題(也即難題)學(xué)生便束手無策,因?yàn)樗麄內(nèi)狈忸}策略,沒有解題信心,無法認(rèn)識(shí)自己解題思維過程的確定性.所以,教學(xué)中應(yīng)重視學(xué)生解題策略和元認(rèn)知能力的培養(yǎng),注重學(xué)生各類知識(shí)之間的轉(zhuǎn)化與聯(lián)結(jié)的建構(gòu).
內(nèi)部因素培養(yǎng)要以問題解決為載體,問題解決需對(duì)問題的結(jié)構(gòu)特點(diǎn)進(jìn)行深入的剖析,所以內(nèi)部因素和外部因素的培養(yǎng)是同時(shí)的,若只就題論題則必然會(huì)忽略內(nèi)部因素的培養(yǎng),使學(xué)生走向機(jī)械練習(xí)的題海戰(zhàn)術(shù).