淺談柯西不等式的證明和推廣及應用

陸唯巍

摘 要：柯西不等式是數(shù)學中一個較為重要的不等式之一，它以對稱和諧的結構和廣泛的應用引起了學者的討論，并出現(xiàn)了許多的變式。本文從三角函數(shù)不等式證明引入，再給出經(jīng)典柯西不等式的8種證明方法，以及在其他數(shù)學分支中的推廣形式，利用這些推廣形式推導和證明了中學數(shù)學和其他數(shù)學分支中的一些重要公式，通過一系列的例題，反映了柯西不等式在函數(shù)求最值及其在幾何上（距離）的廣泛應用。

關鍵詞：柯西不等式；證明；應用；推廣

中圖分類號：G642 文獻標識碼：B 文章編號：1002-7661（2015）03-010-03

一、三角函數(shù)不等式證明引入

試證不等式

分析：該三角函數(shù)不等式中含有絕對值和根式，按常規(guī)思路先做平方后化簡。

證明：將不等式兩邊平方，左端和右端相減，得：

所以原不等式成立。

二、柯西不等式的形式

定義1（二維形式的柯西不等式）：

若a，b，c，d都是實數(shù)，則 ，

當且僅當ad=bc時，等號成立。

定義2（柯西不等式的向量形式）：

定義3（二維形式的三角不等式）：

定義4（一般形式的柯西不等式）：

三、柯西不等式的證明

方法1（向量數(shù)量積的定義）：

這就是二維形式的柯西不等式。

同理證明一般形式的柯西不等式。

方法2（構造法）：

方法3（配方法）：

方法4（二次型）：

方法5（數(shù)學歸納法）：

方法6（利用基本不等式）：

方法7（行列式）：

方法8（線性相關）：

四、柯西不等式的推廣

五、柯西不等式的應用

靈活運用柯西不等式可以使一些復雜的數(shù)學問題的解題過程得到簡化。