祝占法

(陜西航空職業(yè)技術(shù)學(xué)院 文理學(xué)院，陜西 漢中 723102)

一類具有二維捕食與被捕食關(guān)系的永久持續(xù)生存問(wèn)題

祝占法

(陜西航空職業(yè)技術(shù)學(xué)院 文理學(xué)院，陜西 漢中 723102)

利用誘導(dǎo)控制理論研究了具有二維捕食與被捕食關(guān)系的種群動(dòng)力學(xué)系統(tǒng)，并對(duì)系統(tǒng)施加控制，得到了系統(tǒng)永久持續(xù)生存的控制律及控制區(qū)域。

捕食與被捕食；誘導(dǎo)控制；永久持續(xù)生存；誘導(dǎo)控制區(qū)域

1 問(wèn)題的提出

Stanisla在1998年出版的《Control of Indefinite Nonlinear Dynamic Systems：Induced Feedback》中，用誘導(dǎo)控制理論研究了種群的永久持續(xù)生存問(wèn)題，其研究對(duì)象是不考慮種群密度制約下的捕食與被捕食系統(tǒng)[1-2]：

(1)

其中ε1，ε2，r1，r2均為正數(shù)，N(N1(t0)，N2(t0))>0是系統(tǒng)的初始點(diǎn)，這里假設(shè)捕食者僅以食餌為生，且忽略密度制約的因素。

文獻(xiàn)[3]對(duì)該系統(tǒng)給出了4種不同的誘導(dǎo)控制，即

得到了相應(yīng)的控制區(qū)域和控制函數(shù)。在其他文獻(xiàn)中也有此方面的研究[4-7]。本文將對(duì)其進(jìn)行補(bǔ)充，給系統(tǒng)(1)施加另外的控制u1，u2，得到受控系統(tǒng)

(2)

下面運(yùn)用誘導(dǎo)控制理論使系統(tǒng)(2)達(dá)到永久持續(xù)生存。

2 問(wèn)題的解決

對(duì)于系統(tǒng)(2)，可以得出下面定理。

定理1 對(duì)事先給定的數(shù)σ>0，設(shè)

Ωσ={(N1，N2)∈R+M1-σ≤N1≤M1+σ，M2-σ≤N2≤M2+σ}，

(3)

其中M1-σ<ε2/r21，M2-σ>ε1/r12。則控制

分析：用誘導(dǎo)能控理論只需證明存在一個(gè)區(qū)域Ωσ={(N1，N2)∈R+M1-σ≤N1≤M1+σ，M2-σ≤N2≤M2+σ}，在有限的時(shí)間內(nèi)，使得系統(tǒng)(1)的解進(jìn)入?yún)^(qū)域Ωσ并保留在此區(qū)域中。

例3 點(diǎn)P為等腰三角形ABC內(nèi)的一點(diǎn)，∠BAC=120°.且P到△ABC三個(gè)頂點(diǎn)A、B、C的距離分別為PA=a=1,PB=b=2,PC=c=2.求△ABC的面積.

考慮下面控制

其中K1>r12，K2>ε2，設(shè)

B1={(N1，N2)∈R+2∶‖N1-M1‖≤σ，N2>0}，

B2={(N1，N2)∈R+2∶‖N2-M2‖≤σ，N1>0}，

帶B1和B2相交的部分Ωσ(兩組虛線圍成的區(qū)域)如圖1所示。從圖1可以看出，第一象限被帶B1和B2分成4部分。按逆時(shí)針記為Ⅰ，Ⅱ，Ⅲ，Ⅳ。

圖1 被B1，B2分割的區(qū)域

在部分Ⅲ中，有

在部分Ⅳ中，有

下面討論無(wú)論初始點(diǎn)(N10，N20)在哪個(gè)區(qū)域，系統(tǒng)(1)的軌線最終進(jìn)入?yún)^(qū)域Ωσ。

2.1 對(duì)情況1的討論

2.2 對(duì)情況2的討論

如果點(diǎn)(N10，N20)在部分Ⅲ中，同樣，我們可以證明系統(tǒng)(1)的軌線進(jìn)入帶B2中，且永久留在里面。

2.3 對(duì)情況3的討論

如果點(diǎn)(N10，N20)在部分Ⅱ中，系統(tǒng)(1)的線會(huì)出現(xiàn)下面3種情況之一。一是系統(tǒng)的軌線經(jīng)過(guò)l2：ε1-r12N2=0后進(jìn)入B中；二是系統(tǒng)的軌線經(jīng)過(guò)N1=M1-σ后進(jìn)入帶B1中；三是系統(tǒng)的軌線經(jīng)帶B1進(jìn)入?yún)^(qū)域Ⅲ中，接下來(lái)用情況2來(lái)處理。

2.4 對(duì)情況4的討論

如果點(diǎn)(N10，N20)在部分Ⅰ中，系統(tǒng)(1)的軌線會(huì)出現(xiàn)下面兩種情況之一。一是系統(tǒng)的軌線經(jīng)過(guò)N2=M2+σ進(jìn)入帶B2；二是軌線經(jīng)過(guò)N1=M1-σ進(jìn)入帶B1中。

無(wú)論哪種情況發(fā)生，系統(tǒng)(1)的軌線最終都會(huì)進(jìn)入?yún)^(qū)域Ωσ?，F(xiàn)在用反證法來(lái)證明這一結(jié)論。

圖2展示了系統(tǒng)(2)的軌線行為，從上面的定理可知：系統(tǒng)(2)的軌線最終會(huì)進(jìn)入到一個(gè)遠(yuǎn)離坐標(biāo)軸的區(qū)域Ωσ，進(jìn)而有下面的推論。

推論 如果定理1的所有條件成立，則系統(tǒng)(1)是永久持續(xù)生存的。

圖2 系統(tǒng)(2)的軌線行為

3 結(jié)論

通過(guò)本文的討論得出這樣的結(jié)論：對(duì)于同一個(gè)種群的動(dòng)力學(xué)系統(tǒng)，如果給出不同的誘導(dǎo)控制區(qū)域，那么就可以找出不同的控制函數(shù)。所以誘導(dǎo)控制理論在種群動(dòng)力學(xué)系統(tǒng)中應(yīng)用的關(guān)鍵是確定誘導(dǎo)控制區(qū)域，尋找控制函數(shù)。從控制函數(shù)的形式，可以證明控制函數(shù)是連續(xù)的，同時(shí)可知，在Ωσ已知的情況下，如果u1，u2被施加在系統(tǒng)上，則可使得系統(tǒng)(1)的軌線進(jìn)入Ωσ，即u1，u2是針對(duì)Ωσ的誘導(dǎo)控制，這就是誘導(dǎo)控制的具體含義。

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[2] 陸征一.數(shù)學(xué)生物學(xué)進(jìn)展[M].北京：科學(xué)出版社，2006：131-171.

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(責(zé)任編校：夏玉玲)

On Permanence of Two-Dimensional Predator-Prey Relationship

ZHU Zhan-fa

(College of Arts and Science， Shaanxi Aviation Professional Technical Institute，Hanzhong China， 723102)

In this paper， the induction control theory is applied to study the population dynamics system of two-dimensional predator and prey relationships， and the system is under control in order to obtain the control law and the control area for permanent survival.

predator and prey；induction control；permanent survival； induction control area

O152.8

A

1672-349X(2015)03-0016-02

10.16160/j.cnki.tsxyxb.2015.03.006