馮桂群

隨著新課程改革的進(jìn)一步推進(jìn)，“用教材教”“教材無(wú)非是個(gè)例子”“教材的二次開(kāi)發(fā)與優(yōu)化”等理念越來(lái)越得到大家的認(rèn)同。如何通過(guò)對(duì)教材的二次開(kāi)發(fā)，使數(shù)學(xué)教學(xué)更好地符合數(shù)學(xué)自身的內(nèi)在發(fā)展邏輯，更好地遵循兒童的年齡特點(diǎn)和認(rèn)知規(guī)律，既突顯“數(shù)學(xué)味”又彰顯“兒童味”，使兒童真正享受到“既好吃又有營(yíng)養(yǎng)”的數(shù)學(xué)呢？下面以蘇教版四年級(jí)下冊(cè)《圖形的旋轉(zhuǎn)》教學(xué)為例，談?wù)劷滩亩伍_(kāi)發(fā)過(guò)程中在資源整合、模型建構(gòu)及實(shí)踐運(yùn)用等方面采取的一些策略，以期拋磚引玉，得到大家的指點(diǎn)與賜教。

一、 資源整合策略：化單調(diào)為有趣，化單一為豐富

蘇教版四年級(jí)下冊(cè)的《圖形的旋轉(zhuǎn)》是學(xué)生在三年級(jí)初步感知生活中常見(jiàn)的旋轉(zhuǎn)現(xiàn)象后教學(xué)的，要求學(xué)生不僅要知道圖形旋轉(zhuǎn)的三要素（旋轉(zhuǎn)中心、方向及角度），還要在活動(dòng)中體會(huì)平面圖形旋轉(zhuǎn)的規(guī)律，主動(dòng)學(xué)會(huì)在方格紙上畫(huà)出簡(jiǎn)單封閉圖形繞一點(diǎn)旋轉(zhuǎn)90°后的圖形，進(jìn)一步發(fā)展空間觀念。在研讀教材安排的第一部分內(nèi)容“認(rèn)識(shí)旋轉(zhuǎn)三要素”時(shí)我們發(fā)現(xiàn)：這里教材只安排了兩項(xiàng)內(nèi)容——例題中轉(zhuǎn)桿的旋轉(zhuǎn)與練習(xí)中指針的旋轉(zhuǎn)。收費(fèi)站轉(zhuǎn)桿的旋轉(zhuǎn)運(yùn)動(dòng)巧妙地涵蓋了旋轉(zhuǎn)的三要素，但對(duì)學(xué)生來(lái)說(shuō)有一定的距離感，缺少童趣，同時(shí)，轉(zhuǎn)桿旋轉(zhuǎn)的方向只包括十字坐標(biāo)四個(gè)象限里8種旋轉(zhuǎn)情況中的2種，不具有代表性和全面性。

在深研教材和學(xué)生的過(guò)程中我們發(fā)現(xiàn)：簡(jiǎn)單封閉圖形的旋轉(zhuǎn)最終要轉(zhuǎn)化到圍成此圖形的關(guān)鍵橫線(xiàn)段或豎線(xiàn)段的旋轉(zhuǎn)上來(lái)，而橫線(xiàn)段旋轉(zhuǎn)90°后會(huì)豎在旋轉(zhuǎn)中心的上邊或下邊，豎線(xiàn)段旋轉(zhuǎn)90°后會(huì)橫到旋轉(zhuǎn)中心的左邊或右邊。而能生動(dòng)有趣地表征線(xiàn)段的旋轉(zhuǎn)要素和旋轉(zhuǎn)規(guī)律的現(xiàn)實(shí)模型是學(xué)生的手臂運(yùn)動(dòng)。為此，我們將書(shū)上“認(rèn)識(shí)旋轉(zhuǎn)三要素”的2個(gè)環(huán)節(jié)拓展、整合為以下5個(gè)環(huán)節(jié)：

1.課前做“手臂運(yùn)動(dòng)操”

離上課還有1分鐘時(shí)，組織學(xué)生玩一玩手臂運(yùn)動(dòng)操，要求舉手臂時(shí)做到橫平豎直，同時(shí)說(shuō)出手臂所指的方向。如舉左側(cè)手臂，邊舉邊依次說(shuō)出所指方向：左、上、左、下，舉右側(cè)手臂，同時(shí)說(shuō)出所指方向：右、上、右、下。有趣、簡(jiǎn)單的手臂運(yùn)動(dòng)操奇妙地蘊(yùn)涵了旋轉(zhuǎn)三要素和線(xiàn)段旋轉(zhuǎn)的位置變化規(guī)律，為后面的逐步抽象和建模運(yùn)用打下了伏筆。

2.觀察旋轉(zhuǎn)現(xiàn)象并引導(dǎo)提問(wèn)，從而導(dǎo)入新課

通過(guò)讓學(xué)生觀察屏幕中多種物體的旋轉(zhuǎn)運(yùn)動(dòng)，巧妙地激活學(xué)生已有的知識(shí)與經(jīng)驗(yàn)，并通過(guò)“關(guān)于旋轉(zhuǎn)，你想研究哪些問(wèn)題？”使學(xué)生在輕松愉快的提問(wèn)情境中帶著疑問(wèn)，順暢地進(jìn)入新知識(shí)的探究之旅。

3.研究轉(zhuǎn)桿旋轉(zhuǎn)的三要素

先讓學(xué)生觀看轉(zhuǎn)桿打開(kāi)與關(guān)閉的動(dòng)態(tài)視頻，再觀察打開(kāi)與關(guān)閉的靜態(tài)對(duì)比圖，并引導(dǎo)學(xué)生思考開(kāi)放性的問(wèn)題——“有什么發(fā)現(xiàn)”。觀察中，學(xué)生最易發(fā)現(xiàn)的是——都旋轉(zhuǎn)了90°。借助旋轉(zhuǎn)的角度，教師引導(dǎo)學(xué)生發(fā)現(xiàn)——這個(gè)90°的角是轉(zhuǎn)桿繞下端（左端）的點(diǎn)旋轉(zhuǎn)得到的，這個(gè)點(diǎn)是固定不動(dòng)的，是旋轉(zhuǎn)的中心?！斑€有什么發(fā)現(xiàn)呢？”在進(jìn)一步的觀察、交流和手勢(shì)比劃中，學(xué)生發(fā)現(xiàn)了順時(shí)針旋轉(zhuǎn)與逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)。最后通過(guò)讓學(xué)生說(shuō)一說(shuō)“關(guān)閉（打開(kāi)）時(shí)，轉(zhuǎn)桿繞什么點(diǎn)怎樣旋轉(zhuǎn)了多少度？”使學(xué)生對(duì)旋轉(zhuǎn)三要素有了一個(gè)完整的認(rèn)識(shí)。

4.在想象中交流手臂運(yùn)動(dòng)游戲中的旋轉(zhuǎn)規(guī)律

“還記得課前的手臂運(yùn)動(dòng)操嗎？如果用這個(gè)箭頭表示手臂朝下的動(dòng)作，借助旋轉(zhuǎn)手臂的經(jīng)驗(yàn)，想象一下：將它依次繞a點(diǎn)順時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°，朝下的箭頭會(huì)依次朝哪里呢？”借助以上的啟發(fā)以及想象之后的直觀驗(yàn)證，學(xué)生輕松地發(fā)現(xiàn)了其中的旋轉(zhuǎn)要素與規(guī)律：將它依次繞a點(diǎn)順時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°，朝下的箭頭會(huì)依次變?yōu)槌蟆⑸?、右、下。如果是繞a點(diǎn)逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°，箭頭會(huì)依次由朝下變?yōu)槌?、上、左、下。此環(huán)節(jié)既鞏固了旋轉(zhuǎn)三要素，又及時(shí)地將學(xué)生旋轉(zhuǎn)手臂的經(jīng)驗(yàn)進(jìn)行了理性提升，使學(xué)生自主提煉出帶箭頭的線(xiàn)段在十字坐標(biāo)的四個(gè)象限中旋轉(zhuǎn)后的位置變化規(guī)律，感悟到豎線(xiàn)段旋轉(zhuǎn)90°后會(huì)橫過(guò)來(lái)，橫線(xiàn)段旋轉(zhuǎn)90°后會(huì)豎起來(lái)，為后面將簡(jiǎn)單封閉圖形的旋轉(zhuǎn)轉(zhuǎn)化為主要橫、豎線(xiàn)段的旋轉(zhuǎn)做了“位置變化”方面的鋪墊。

5.獨(dú)立完成書(shū)上的練習(xí)“看圖填空”

在練習(xí)指針的旋轉(zhuǎn)運(yùn)動(dòng)中，進(jìn)一步鞏固旋轉(zhuǎn)三要素，培養(yǎng)學(xué)生的數(shù)學(xué)眼光與運(yùn)用意識(shí)。

在以上教學(xué)過(guò)程中，我們?cè)诮虒W(xué)資源的整合上狠下功夫，通過(guò)將做手臂運(yùn)動(dòng)操、觀察轉(zhuǎn)桿運(yùn)動(dòng)中提問(wèn)、想象中發(fā)現(xiàn)線(xiàn)段旋轉(zhuǎn)的規(guī)律等活動(dòng)引入課堂，竭力化單調(diào)為有趣、化單一為豐富、化呆板為生動(dòng)，使學(xué)生借助有趣、豐富、生動(dòng)的學(xué)習(xí)資源在興趣盎然的觀察、操作、想象、發(fā)現(xiàn)及表述等活動(dòng)中對(duì)“物體旋轉(zhuǎn)的三要素”及“線(xiàn)段旋轉(zhuǎn)的位置變化規(guī)律”有了生動(dòng)、豐滿(mǎn)而深刻的認(rèn)識(shí)，體現(xiàn)了數(shù)學(xué)活動(dòng)的豐富性與層次性、思維活動(dòng)的有序性與提升性，并為后面研究圖形的旋轉(zhuǎn)打下了堅(jiān)實(shí)的認(rèn)知基礎(chǔ)。

二、 模型建構(gòu)策略：由整體到局部再到整體，由直觀到表象再到抽象

弗賴(lài)登塔爾將數(shù)學(xué)化分為橫向數(shù)學(xué)化和縱向數(shù)學(xué)化。橫向數(shù)學(xué)化是“把生活世界引向符號(hào)世界”，縱向數(shù)學(xué)化是“在符號(hào)世界里，符號(hào)的生成、重塑和被使用”?！秷D形的旋轉(zhuǎn)》中橫向數(shù)學(xué)化的部分包括由手臂、轉(zhuǎn)桿、指針的旋轉(zhuǎn)讓學(xué)生認(rèn)識(shí)旋轉(zhuǎn)的三要素——中心、方向與角度，還包括由手臂的旋轉(zhuǎn)到相對(duì)應(yīng)的帶箭頭線(xiàn)段的旋轉(zhuǎn)，由三角形紙片的旋轉(zhuǎn)到相對(duì)應(yīng)的最簡(jiǎn)單的封閉平面圖形——三角形的旋轉(zhuǎn)。然而，僅有橫向數(shù)學(xué)化是遠(yuǎn)遠(yuǎn)不夠的。要畫(huà)出由三條或四條線(xiàn)段圍成的封閉平面圖形旋轉(zhuǎn)后的圖形，關(guān)鍵是要化整為零，將面的旋轉(zhuǎn)轉(zhuǎn)化為部分主要線(xiàn)段圍繞定點(diǎn)的旋轉(zhuǎn)，即由面到線(xiàn)再到定點(diǎn)，之后循序漸進(jìn)，再由定點(diǎn)到線(xiàn)再到面，從而引領(lǐng)學(xué)生有序經(jīng)歷由整體到局部再到整體、由復(fù)雜到簡(jiǎn)單再到復(fù)雜、由形象到表象再到抽象、由想象到推理和建模的縱向數(shù)學(xué)化過(guò)程，使學(xué)生在輕松自如、有序提升的探究中掌握?qǐng)D形旋轉(zhuǎn)的策略與步驟，感受轉(zhuǎn)化、變與不變等數(shù)學(xué)思想。具體的教學(xué)安排如下：

1.在想象與驗(yàn)證中研究三角形紙板的旋轉(zhuǎn)

教師借助三角形硬紙片，組織學(xué)生進(jìn)行“想象與驗(yàn)證”的游戲。具體過(guò)程如下：先通過(guò)愛(ài)因斯坦的名言“想象力比知識(shí)更重要”引出想象游戲——讓學(xué)生拿出三角形紙板，將它與方格紙上的三角形完全重合，用手指一指三角形的頂點(diǎn)a，在頭腦里想象將它繞a點(diǎn)旋轉(zhuǎn)90°。之后提問(wèn)：它的位置到了哪里？想出來(lái)了嗎？想得對(duì)不對(duì)呢？于是引導(dǎo)學(xué)生進(jìn)行操作驗(yàn)證。驗(yàn)證之后，讓學(xué)生通過(guò)實(shí)物展臺(tái)進(jìn)行交流，使學(xué)生進(jìn)一步明確：可以將三角形紙板繞a 點(diǎn)順時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°，也可以繞a 點(diǎn)逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°。以上的實(shí)物操作游戲通過(guò)先想象再操作驗(yàn)證和準(zhǔn)確表述的活動(dòng)過(guò)程，很好地發(fā)展了學(xué)生的整體感受力和空間想象力，并促使學(xué)生的思維及時(shí)地由實(shí)物操作提升為表象操作與符號(hào)操作。

2.在觀察與交流中發(fā)現(xiàn)圖形旋轉(zhuǎn)前后的變化規(guī)律

在操作與驗(yàn)證之后組織學(xué)生進(jìn)行觀察與交流：旋轉(zhuǎn)前后，圖形的什么變了，什么沒(méi)變？旋轉(zhuǎn)前后的對(duì)應(yīng)邊呢？交流中學(xué)生發(fā)現(xiàn)：圖形的位置變了，形狀與大小沒(méi)變；對(duì)應(yīng)邊的位置變了，長(zhǎng)度沒(méi)變。至此，橫線(xiàn)段或豎線(xiàn)段旋轉(zhuǎn)的兩個(gè)重要因素——位置變化（第一部分的第4環(huán)節(jié)）與長(zhǎng)度不變的規(guī)律已經(jīng)水落石出了，從而巧妙地分散了學(xué)習(xí)難點(diǎn)，使得將封閉圖形的旋轉(zhuǎn)轉(zhuǎn)化為主要線(xiàn)段的旋轉(zhuǎn)的思路得以水到渠成。

3.在獨(dú)學(xué)與互動(dòng)中探究平面圖形（三角形）的旋轉(zhuǎn)方法與步驟

先啟發(fā)學(xué)生進(jìn)行表象操作與符號(hào)操作：不借助紙板，你能根據(jù)頭腦中想象的結(jié)果，畫(huà)出這個(gè)三角形繞a點(diǎn)旋轉(zhuǎn)90°后的圖形嗎？先想一想，哪幾條邊旋轉(zhuǎn)之后的位置比較容易確定？想好了就用水彩筆和尺子畫(huà)一畫(huà)，并標(biāo)出旋轉(zhuǎn)方向。在交流畫(huà)法時(shí)，重點(diǎn)追問(wèn)3個(gè)問(wèn)題：在這個(gè)三角形中，哪幾條邊旋轉(zhuǎn)之后的位置比較容易確定呢？（相交于中心點(diǎn)的長(zhǎng)直角邊和短直角邊）將長(zhǎng)直角邊怎樣旋轉(zhuǎn)，到了a 點(diǎn)的哪邊，畫(huà)幾格，短直角邊呢？為什么長(zhǎng)直角邊和短直角邊各畫(huà)了5格和3格？在以上獨(dú)立探究與互動(dòng)交流中，學(xué)生自然生成了圖形旋轉(zhuǎn)的解題模型：想圖、找邊、畫(huà)邊圍圖。

在以上教學(xué)過(guò)程中，教師創(chuàng)設(shè)了三個(gè)階梯，由淺入深地引領(lǐng)學(xué)生充分地觀察、想象、驗(yàn)證、比較、作圖、概括，從想象、驗(yàn)證三角形紙板的旋轉(zhuǎn)，到對(duì)比、發(fā)現(xiàn)圖形與對(duì)應(yīng)邊的旋轉(zhuǎn)規(guī)律，到最后動(dòng)手畫(huà)出頭腦中想象的旋轉(zhuǎn)后的三角形并用語(yǔ)言表述出來(lái)，學(xué)生成功地?cái)[脫了外在具象的束縛，使數(shù)學(xué)思維成功地上升到表象與抽象、想象與推理的理性層面，并在充分的探究與體驗(yàn)中真切地把握了畫(huà)旋轉(zhuǎn)圖形的關(guān)鍵要領(lǐng)：先找與定點(diǎn)相連的幾條橫豎線(xiàn)段，借助想象畫(huà)出主要線(xiàn)段旋轉(zhuǎn)后的位置與長(zhǎng)度，最后連成封閉圖形。這樣就巧妙地將看似與面有關(guān)的封閉圖形的旋轉(zhuǎn)，轉(zhuǎn)化為幾條橫豎線(xiàn)段的旋轉(zhuǎn)，而橫、豎線(xiàn)段旋轉(zhuǎn)90°后又總會(huì)豎或橫到定點(diǎn)的上下左右四個(gè)方位中的某一方位，長(zhǎng)度不變，使復(fù)雜問(wèn)題簡(jiǎn)單化，從而突破了教學(xué)難點(diǎn)，為學(xué)生后面獨(dú)自解決變式情境中各種圖形的旋轉(zhuǎn)打下了扎實(shí)的模型基礎(chǔ)。

三、 變式運(yùn)用策略：由雙基到四基，由運(yùn)用到欣賞

2011年出版的《義務(wù)教育數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)》把原有的雙基拓展為四基——除了我們熟悉的基礎(chǔ)知識(shí)和基本技能外，還增加了“基本數(shù)學(xué)思想和基本活動(dòng)經(jīng)驗(yàn)”。那么在建?；A(chǔ)上通過(guò)變式練習(xí)靈活運(yùn)用模型時(shí)，我們的著眼點(diǎn)就不能僅僅停留在鞏固基礎(chǔ)知識(shí)和基本技能上，還應(yīng)將學(xué)生的視野引向更廣闊的現(xiàn)實(shí)世界和更深邃的數(shù)學(xué)世界，實(shí)現(xiàn)數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的外化與深化，使學(xué)生在豐富而多層面的實(shí)踐活動(dòng)中積累基本活動(dòng)經(jīng)驗(yàn)、感悟基本數(shù)學(xué)思想，強(qiáng)烈地感受到數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的現(xiàn)實(shí)意義與實(shí)用價(jià)值，欣賞到數(shù)學(xué)自身內(nèi)在的思想魅力與發(fā)展規(guī)律。為此，在《圖形的旋轉(zhuǎn)》變式運(yùn)用中，我們?cè)O(shè)計(jì)了以下4個(gè)層次的練習(xí)：

1.又快又好地畫(huà)出旋轉(zhuǎn)之后的長(zhǎng)方形

教師啟發(fā)：在這個(gè)長(zhǎng)方形中，哪幾條長(zhǎng)或?qū)捫D(zhuǎn)之后的位置比較容易確定呢？

2.先交流作圖思路再畫(huà)出旋轉(zhuǎn)后的小旗圖

畫(huà)圖前啟發(fā)：先想象一下小旗旋轉(zhuǎn)后的位置在哪兒，是什么樣兒的？哪幾條邊旋轉(zhuǎn)之后的位置比較容易確定？先在4人小組里交流，再動(dòng)手畫(huà)。交流時(shí)啟發(fā)：結(jié)合旋轉(zhuǎn)手臂的經(jīng)驗(yàn)想象一下，旗面原來(lái)在旗桿的右面，逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)之后，旗面肯定在旗桿的哪面？旋轉(zhuǎn)后橫邊到底豎在哪兒呢？為什么？（這條橫邊跟B點(diǎn)相距1格，旋轉(zhuǎn)后與b仍然相距1格。）

3.動(dòng)態(tài)展示生活中的旋轉(zhuǎn)現(xiàn)象

今天我們只是學(xué)習(xí)了圖形旋轉(zhuǎn)的冰山一角，放眼生活，我們隨時(shí)能看到更多旋轉(zhuǎn)創(chuàng)造的美麗。（多媒體動(dòng)態(tài)顯示通過(guò)旋轉(zhuǎn)得到美麗圖案的動(dòng)畫(huà)。）這些精美的圖案是通過(guò)什么創(chuàng)造的？（旋轉(zhuǎn)）

4.動(dòng)態(tài)展示圖形中的旋轉(zhuǎn)現(xiàn)象

旋轉(zhuǎn)的美麗和神奇遠(yuǎn)不止這些。（出示平行四邊形，明確它不是軸對(duì)稱(chēng)圖形。）動(dòng)態(tài)演示左邊的三角形繞著對(duì)角線(xiàn)的中心點(diǎn)順時(shí)針旋轉(zhuǎn)180度，結(jié)果左右兩邊完全重合，進(jìn)而指出——這一神奇的旋轉(zhuǎn)現(xiàn)象到中學(xué)會(huì)做深入的研究。

在以上的練習(xí)中，第一個(gè)練習(xí)鞏固作圖三步驟——想圖、找邊、畫(huà)邊圍圖，讓學(xué)生在模仿中獲得成功的體驗(yàn)，積累畫(huà)圖經(jīng)驗(yàn)；第二個(gè)練習(xí)是提升性的練習(xí)，極富挑戰(zhàn)性，使學(xué)生在想象中更好地發(fā)展空間觀念，在理性思辯中培養(yǎng)合情推理能力和模型運(yùn)用能力，感受轉(zhuǎn)化、“變與不變”等數(shù)學(xué)思想。第三個(gè)練習(xí)是讓學(xué)生欣賞圖形旋轉(zhuǎn)在實(shí)踐運(yùn)用中創(chuàng)造的神奇與美麗，激發(fā)學(xué)生用數(shù)學(xué)知識(shí)創(chuàng)造生活美的熱情，實(shí)現(xiàn)由數(shù)學(xué)世界向生活世界的回歸，也為學(xué)生五年級(jí)時(shí)進(jìn)一步學(xué)習(xí)圖形的連續(xù)旋轉(zhuǎn)打下伏筆。第四個(gè)練習(xí)是讓學(xué)生在縱向數(shù)學(xué)化的世界里更進(jìn)一步，拓展數(shù)學(xué)思維的視界，感受旋轉(zhuǎn)在圖形世界的發(fā)展與聯(lián)系中所創(chuàng)造出的精彩與奇妙。

在數(shù)學(xué)教材的二次開(kāi)發(fā)中，如果通過(guò)資源整合策略使乏味生硬的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)變得生動(dòng)活潑了，通過(guò)模型建構(gòu)策略使艱澀難懂的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)變得輕松自如了，通過(guò)變式運(yùn)用策略使機(jī)械單調(diào)的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)變得愉悅豐厚了，那么我們的數(shù)學(xué)課堂也就離黃克劍教授所說(shuō)的“授受知識(shí)、開(kāi)啟智慧、潤(rùn)澤生命”的至高境界越來(lái)越近了，那么借助優(yōu)質(zhì)高效的數(shù)學(xué)課堂培養(yǎng)學(xué)生的創(chuàng)新精神與實(shí)踐能力的夙愿也就一定能實(shí)現(xiàn)。

【責(zé)任編輯：陳國(guó)慶】