仲崇恒

《義務(wù)教育數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（2011年版）》頒布之后，各版本的教材據(jù)此做了修訂，并開(kāi)始使用。“解決問(wèn)題的策略”是蘇教版小學(xué)數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)教材中一組富有個(gè)性特色的內(nèi)容，蘇教版小學(xué)數(shù)學(xué)修訂教材一方面保留了這一特色內(nèi)容，另一方面融合新課標(biāo)精神做了較大的改進(jìn)?，F(xiàn)以“解決問(wèn)題的策略——轉(zhuǎn)化”為例，進(jìn)行實(shí)驗(yàn)教材和修訂教材的比較，以便更好地理解教材，深化課堂教學(xué)。

一、 變了什么

1.教學(xué)時(shí)間的調(diào)整

蘇教版關(guān)于“解決問(wèn)題的策略”內(nèi)容的整體編排情況如下表：

“解決問(wèn)題的策略——轉(zhuǎn)化”在實(shí)驗(yàn)教材中安排在六年級(jí)下冊(cè)，是獨(dú)立的第6單元。在修訂教材中提前到了五年級(jí)下冊(cè)，是獨(dú)立的第7單元。

2.例題的變化

“解決問(wèn)題的策略——轉(zhuǎn)化”單元在兩套教材中都編排了兩道例題。實(shí)驗(yàn)教材的兩道例題為：

修訂教材的兩道例題是：

修訂教材保留了實(shí)驗(yàn)教材中的例1，仔細(xì)比較又發(fā)現(xiàn)例1本身的變化還有兩處：一是問(wèn)題提問(wèn)方式變了。修訂教材將問(wèn)題“面積相等嗎”變成“哪個(gè)面積大一些”?！懊娣e相等嗎”對(duì)應(yīng)的回答有相等和不相等兩種，以往的教學(xué)中，絕大多數(shù)學(xué)生脫口而出的是“面積相等”。而“哪個(gè)面積大一些”對(duì)應(yīng)的回答有“左圖比右圖面積大一些”“右圖比左圖面積大一些”“兩個(gè)圖形面積相等”三種情況，由于涉及的比較結(jié)果更多樣，學(xué)生回答會(huì)謹(jǐn)慎，盲目作答的情形會(huì)減少。二是圖形變大了，實(shí)驗(yàn)教材中兩個(gè)圖形的面積各是6×4=24平方厘米，修訂教材的兩個(gè)圖形面積各是8×6=48平方厘米，這樣變化可以讓學(xué)生對(duì)兩個(gè)圖形各部分的觀察和解析更到位。

實(shí)驗(yàn)教材中的例2是數(shù)量關(guān)系的轉(zhuǎn)化，修訂教材將其刪掉，將實(shí)驗(yàn)教材例1后的試一試調(diào)整為例2，重點(diǎn)教學(xué)數(shù)形之間的轉(zhuǎn)化，引導(dǎo)學(xué)生感悟數(shù)形結(jié)合思想。

3.教學(xué)線索的變化

修訂教材在“解決問(wèn)題的策略——轉(zhuǎn)化”例題的教學(xué)線索設(shè)計(jì)上也和實(shí)驗(yàn)教材有明顯的不同。

實(shí)驗(yàn)教材例1的教學(xué)指導(dǎo)是兩點(diǎn)：（1）你是怎樣想的？在小組里交流。（2）回顧一下，我們?cè)?jīng)運(yùn)用轉(zhuǎn)化的策略解決過(guò)哪些問(wèn)題？修訂教材例1的教學(xué)處理是四個(gè)環(huán)節(jié)：（1）你打算這樣比較這兩個(gè)圖形的面積？（2）認(rèn)真觀察圖形的特點(diǎn)，想一想可以怎樣轉(zhuǎn)化？動(dòng)手試一試。（3）回顧解決問(wèn)題的過(guò)程，你有什么體會(huì)？（4）在以前的學(xué)習(xí)中，我們?cè)?jīng)運(yùn)用轉(zhuǎn)化的策略解決過(guò)哪些問(wèn)題？

修訂教材的例2解題指導(dǎo)也是“四部曲”：（1）觀察這道算式，你有什么發(fā)現(xiàn)？（2）你準(zhǔn)備怎樣計(jì)算？先計(jì)算，再和同學(xué)交流你的計(jì)算方法。（3）把算式和圖形聯(lián)系起來(lái)想一想，原來(lái)的算式可以怎樣轉(zhuǎn)化？（4）回顧解決問(wèn)題的過(guò)程，你有什么體會(huì)？

顯而易見(jiàn)，修訂教材對(duì)例題設(shè)計(jì)的幾個(gè)板塊，構(gòu)成了課堂教學(xué)豐實(shí)、細(xì)膩而清晰的流程。

4.習(xí)題的變化

首先，習(xí)題的數(shù)量明顯增加。實(shí)驗(yàn)教材“轉(zhuǎn)化”單元例1后安排了“試一試”1道題，“練一練”1道題，例2后安排“練一練”1道題，集中安排一個(gè)“練習(xí)十四”，包括6道習(xí)題和1道思考題。修訂教材中例1后安排“練一練”1道題，例2后安排“練一練”2道題，集中安排一個(gè)“練習(xí)十六”，包括13道習(xí)題和1道思考題，其中有4道習(xí)題和實(shí)驗(yàn)教材一致。因?yàn)槔?學(xué)習(xí)內(nèi)容不同，配套習(xí)題不便比較。僅比較和例1相關(guān)聯(lián)的習(xí)題，實(shí)驗(yàn)教材編排了3道習(xí)題，分別是“練一練”的周長(zhǎng)比較、練習(xí)十四第2題的用分?jǐn)?shù)表示涂色部分、第3題的計(jì)算周長(zhǎng)。修訂教材編排了10道習(xí)題，分別是練一練、練習(xí)十六的第1、2、3、9、10、11、12、13題和思考題。

其次，習(xí)題的難度略有降低。本單元的教學(xué)不以學(xué)生能夠解決教材里的各個(gè)問(wèn)題為目的，而在于學(xué)生對(duì)轉(zhuǎn)化策略的體驗(yàn)與主動(dòng)應(yīng)用。所以修訂教材新編的習(xí)題題材變得更加豐富，有數(shù)與代數(shù)領(lǐng)域的7個(gè)問(wèn)題，有圖形與幾何領(lǐng)域的10個(gè)問(wèn)題。但是習(xí)題整體難度較實(shí)驗(yàn)教材有所降低。比如修訂教材練習(xí)十六第6題和實(shí)驗(yàn)教材練習(xí)十四第1題都是足球隊(duì)比賽的題目。實(shí)驗(yàn)教材此題涉及的球隊(duì)有16支、64支，修訂教材的是8支、16支、32支，數(shù)量變少了，畫圖就會(huì)更方便快捷。再如，修訂教材在解決稍復(fù)雜的圖形問(wèn)題如練習(xí)十六第11題時(shí)，畫圖給出明確的輔助線，并在第9題中做了方法上的鋪墊，這就為學(xué)生有效思考提供了路徑，難度降低了。

二、 為什么這么變

1.落實(shí)課程標(biāo)準(zhǔn)的重要精神

修訂后的《義務(wù)教育數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（2011年版）》完善了數(shù)學(xué)課程改革的基本理念、課程目標(biāo)，明確地提出了“四基”（基礎(chǔ)知識(shí)、基本技能、基本思想和基本活動(dòng)經(jīng)驗(yàn)）、“四能”（發(fā)現(xiàn)和提出問(wèn)題的能力、分析和解決問(wèn)題的能力）的要求，讓10年數(shù)學(xué)課程改革的成功經(jīng)驗(yàn)得到了進(jìn)一步提煉和升華。同時(shí)指出：“課程內(nèi)容要反映社會(huì)的需要、數(shù)學(xué)的特點(diǎn)，要符合學(xué)生的認(rèn)知規(guī)律。它不僅包括數(shù)學(xué)的結(jié)果，也包括數(shù)學(xué)結(jié)果的形成過(guò)程和蘊(yùn)涵的數(shù)學(xué)思想方法?！辈?qiáng)調(diào)“要重視過(guò)程，處理好過(guò)程與結(jié)果的關(guān)系”。教育改革的方向決定了教材建設(shè)的方向。因此蘇教版小學(xué)數(shù)學(xué)教材在修訂時(shí)做了較大幅度的改動(dòng)，如降低難度、多樣體驗(yàn)、豐盈過(guò)程、關(guān)注習(xí)慣、融合數(shù)學(xué)思想方法等，進(jìn)一步體現(xiàn)數(shù)學(xué)課程改革的核心理念。“解決問(wèn)題的策略——轉(zhuǎn)化”單元內(nèi)容的整體優(yōu)化，使得知識(shí)結(jié)構(gòu)更加嚴(yán)謹(jǐn)有序、重點(diǎn)突出、難點(diǎn)分化，符合小學(xué)生認(rèn)知規(guī)律，促使“四基”落到實(shí)處。修訂教材中兩個(gè)例題板塊化的教學(xué)線索變化明顯而適切，學(xué)生解題體驗(yàn)鏈得到充分延長(zhǎng)，學(xué)生在“做數(shù)學(xué)”和“思考”的過(guò)程中能夠較好地積淀數(shù)學(xué)活動(dòng)經(jīng)驗(yàn)，享受數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的挑戰(zhàn)與成功，培養(yǎng)勇于探索的精神，養(yǎng)成良好的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)習(xí)慣。

2.規(guī)范學(xué)生思維的內(nèi)在需要

數(shù)學(xué)教學(xué)的本質(zhì)是數(shù)學(xué)思維活動(dòng)的教學(xué)。發(fā)展數(shù)學(xué)思維能力、提升數(shù)學(xué)思維品質(zhì)是數(shù)學(xué)教學(xué)的重要目標(biāo)。數(shù)學(xué)知識(shí)發(fā)生、形成和發(fā)展的過(guò)程，都是學(xué)生展開(kāi)數(shù)學(xué)思維活動(dòng)的時(shí)機(jī)。數(shù)學(xué)家和數(shù)學(xué)教育家G·波利亞在《怎樣解題》一書中明確指出解題的四個(gè)階段：第一，理解題目，我們必須清楚地看到所要求的是什么；第二，擬定方案，找出已知數(shù)據(jù)與未知量之間有什么關(guān)系，得到解題思路；第三，執(zhí)行方案，執(zhí)行你的解題方案，檢查每一個(gè)步驟；第四，回顧所完成的解答，檢查和討論它。修訂教材在例題教學(xué)線索上細(xì)分為“理解題意、構(gòu)思解法；思考交流、找到答案；回顧過(guò)程、體會(huì)方法”等環(huán)節(jié)，尊重問(wèn)題解決的基本程序，實(shí)行有序思考，關(guān)注了學(xué)生解題的全過(guò)程，有效落實(shí)思維訓(xùn)練。這幾個(gè)板塊，就是波利亞所說(shuō)的怎樣解題的一般步驟。學(xué)生切實(shí)經(jīng)歷了回顧與分析、變式與對(duì)比、感悟與體驗(yàn)等過(guò)程，逐步對(duì)“轉(zhuǎn)化”策略達(dá)到深刻理解和掌握的水平，從而形成“化歸”“數(shù)形結(jié)合”等重要數(shù)學(xué)思想。

3.突出轉(zhuǎn)化策略的核心地位

修訂教材將“轉(zhuǎn)化策略”的內(nèi)容提前教學(xué)，主要是因?yàn)檗D(zhuǎn)化策略是一種上位的、極其重要的策略，且應(yīng)用十分廣泛，除了極簡(jiǎn)單的數(shù)學(xué)問(wèn)題外，每個(gè)數(shù)學(xué)問(wèn)題的解決都是通過(guò)轉(zhuǎn)化為已知的問(wèn)題而實(shí)現(xiàn)的。轉(zhuǎn)化思想是解決數(shù)學(xué)問(wèn)題的基本思想，解決問(wèn)題就是從未知向已知轉(zhuǎn)化的過(guò)程，是一步步轉(zhuǎn)化的過(guò)程。在五年級(jí)下學(xué)期之前的學(xué)習(xí)中，學(xué)生曾經(jīng)多次接觸、運(yùn)用轉(zhuǎn)化的策略解決過(guò)許多問(wèn)題，如在平行四邊形面積公式的推導(dǎo)、三角形面積公式的推導(dǎo)、梯形面積公式的推導(dǎo)、小數(shù)乘小數(shù)、除數(shù)是小數(shù)的除法等內(nèi)容的學(xué)習(xí)時(shí)，“轉(zhuǎn)化”也多次被教師提起。五年級(jí)下冊(cè)還學(xué)習(xí)了異分母分?jǐn)?shù)加減法、圓的周長(zhǎng)和面積計(jì)算等內(nèi)容，要把異分母分?jǐn)?shù)轉(zhuǎn)化成同分母分?jǐn)?shù)、化曲為直把圓轉(zhuǎn)化成長(zhǎng)方形推導(dǎo)圓的面積公式。綜上所述，在五年級(jí)下冊(cè)第七單元學(xué)習(xí)“轉(zhuǎn)化的策略”條件已經(jīng)具備。轉(zhuǎn)化策略在解決問(wèn)題中有著奠基的作用，讓學(xué)生早點(diǎn)學(xué)習(xí)轉(zhuǎn)化策略，早點(diǎn)有意識(shí)地積累運(yùn)用轉(zhuǎn)化策略解題的實(shí)際經(jīng)驗(yàn)，不僅有利于數(shù)學(xué)問(wèn)題的解決，更有益于學(xué)生思維的發(fā)展。之后，學(xué)生在六年級(jí)學(xué)習(xí)分?jǐn)?shù)乘除法、圓柱圓錐表面積及體積計(jì)算等內(nèi)容時(shí)也能有機(jī)會(huì)審視和運(yùn)用轉(zhuǎn)化策略來(lái)解決數(shù)學(xué)問(wèn)題。

4.體現(xiàn)“育學(xué)育教”的教材主張

蘇教版小學(xué)數(shù)學(xué)教材的主張從1992年的“便教利學(xué)”走向2002年的“導(dǎo)學(xué)引教”，進(jìn)而走向如今的“育學(xué)育教”。我們以為，“育學(xué)育教”重在“育”，“育學(xué)”就是教材要為培育學(xué)生終身學(xué)習(xí)的愿望和能力提供機(jī)會(huì)和支持，“育教”就是教材要為培育教師的專業(yè)成長(zhǎng)提供服務(wù)。教材也是學(xué)材，不僅說(shuō)明教與學(xué)的內(nèi)容，還要展示教與學(xué)的方式。它是學(xué)生學(xué)的抓手，也是教師教的抓手。如修訂教材的例2，四個(gè)清晰的框圖指明了解題活動(dòng)每一個(gè)環(huán)節(jié)，先做什么，再做什么，最后做什么，10處卡通會(huì)話也以互補(bǔ)式的分享，逐步帶領(lǐng)學(xué)生全面而深刻地去思考。這樣設(shè)計(jì)，教材就變成了引導(dǎo)學(xué)生有效學(xué)習(xí)的“腳本”，學(xué)生自主學(xué)習(xí)時(shí)完全可以看得懂，學(xué)得會(huì)。

修訂教材的編排帶有濃厚“課堂教學(xué)現(xiàn)場(chǎng)感”，明確地指出了課堂教學(xué)的路徑。上課教師通過(guò)鉆研教材，就可以依此設(shè)計(jì)出相應(yīng)的教學(xué)程序。對(duì)比例題和習(xí)題也能夠看到知識(shí)產(chǎn)生和發(fā)展的軌跡。數(shù)形結(jié)合是貫穿中小學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)始終的基本思想方法。例2基于數(shù)形結(jié)合及正難則反兩種情況來(lái)進(jìn)一步介紹轉(zhuǎn)化策略。例2是“計(jì)算”，緊隨其后的練一練第1題是“計(jì)算，這兩題密切相關(guān)，比較發(fā)現(xiàn)后者比例題增加了3個(gè)分?jǐn)?shù)，教學(xué)時(shí)顯然不好一次給出，適宜的做法是在例題的基礎(chǔ)上依次增加，這就找到了教師通過(guò)追問(wèn)推進(jìn)學(xué)生思維的空間。經(jīng)過(guò)幾次的類推和演練，學(xué)生對(duì)這種連加算式的特征及模型有了實(shí)實(shí)在在的體驗(yàn)。教學(xué)是不是到此為止呢？其實(shí)還可以再往前走一步。數(shù)學(xué)家外爾說(shuō)過(guò)：“數(shù)學(xué)是研究無(wú)窮的科學(xué)”，這里教師應(yīng)該不失時(shí)機(jī)地問(wèn)一問(wèn)，讓學(xué)生想一想“計(jì)算結(jié)合正方形圖思考，可以得到“和等于1”。在由“有限”到“無(wú)限”、由具體到抽象的教學(xué)過(guò)程中，師生形成了一個(gè)更加廣闊的思維視角。通過(guò)數(shù)形結(jié)合引導(dǎo)學(xué)生變靜態(tài)思維方式為動(dòng)態(tài)思維方式，以運(yùn)動(dòng)、變化、聯(lián)系的觀點(diǎn)考慮問(wèn)題，更好地把握問(wèn)題的本質(zhì)。

當(dāng)然，教師在引入、總結(jié)環(huán)節(jié)中還可以創(chuàng)造性地引入數(shù)學(xué)故事、數(shù)學(xué)家名言，如愛(ài)迪生讓阿普頓測(cè)量燈泡容積的故事、數(shù)學(xué)家救火的故事、華羅庚“數(shù)無(wú)形時(shí)少直覺(jué)，形少數(shù)時(shí)難入微。數(shù)形結(jié)合百般好，隔離分家萬(wàn)事非”的論述等。這樣可以起到畫龍點(diǎn)睛的作用，加深學(xué)生對(duì)轉(zhuǎn)化策略的理解。

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【責(zé)任編輯：陳國(guó)慶】