【摘 要】《義務(wù)教育數(shù)學(xué)課程標準（2011年版）》的課程總目標提出“三重聯(lián)系”，這不僅規(guī)定了義務(wù)教育數(shù)學(xué)課程的總目標，而且也為教師的教學(xué)設(shè)計提供了一個新的視角。以“頻率的穩(wěn)定性”為例，分析“三重聯(lián)系”在數(shù)學(xué)教學(xué)設(shè)計中的地位和作用，并由此構(gòu)建“頻率的穩(wěn)定性”的教學(xué)設(shè)計。

【關(guān)鍵詞】三重聯(lián)系;教學(xué)設(shè)計;頻率的穩(wěn)定性

【中圖分類號】G633.6 【文獻標識碼】A 【文章編號】1005-6009（2015）26-0015-03

【作者簡介】陳克勝，安徽師范大學(xué)數(shù)學(xué)計算機科學(xué)學(xué)院（安徽蕪湖，241002）副教授，碩士生導(dǎo)師。

高水平的教學(xué)設(shè)計是保證課堂教學(xué)質(zhì)量和效益的根本性措施之一，同時也反映教師專業(yè)化水平?！读x務(wù)教育數(shù)學(xué)課程標準（2011年版）》的課程總目標提到：“通過義務(wù)教育階段的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)，學(xué)生能體會數(shù)學(xué)知識之間、數(shù)學(xué)與其他學(xué)科之間、數(shù)學(xué)與生活之間的聯(lián)系”，概稱為“三重聯(lián)系”，作為課程總目標之一，實際上為教師的課堂教學(xué)設(shè)計指明了方向，同時也架構(gòu)了數(shù)學(xué)教學(xué)設(shè)計的基本內(nèi)容。由此，可以說“三重聯(lián)系”為高水平的課堂教學(xué)設(shè)計提供一個新的視角。

從數(shù)學(xué)的發(fā)展來看，19世紀前，數(shù)學(xué)發(fā)展的動力主要來自于現(xiàn)實中的問題，與之對應(yīng)的相關(guān)數(shù)學(xué)知識的教學(xué)，很自然地將數(shù)學(xué)與其他學(xué)科、數(shù)學(xué)與生活之間建立了聯(lián)系，但容易忽視數(shù)學(xué)知識之間的聯(lián)系。到了20世紀，數(shù)學(xué)發(fā)展的另一動力來自數(shù)學(xué)自身內(nèi)部，特別是羅素悖論的產(chǎn)生使數(shù)學(xué)家對數(shù)學(xué)形成了三個不同觀點——邏輯主義、直覺主義和形式主義，與之相對應(yīng)的數(shù)學(xué)知識的教學(xué)容易過于“數(shù)學(xué)化”“抽象化”。綜合考量“三重聯(lián)系”，為數(shù)學(xué)教學(xué)設(shè)計提供了基本思路，下面以“頻率的穩(wěn)定性”為例來進行說明，以供參考。

一、“頻率的穩(wěn)定性”的“三重聯(lián)系”之分析

1.概率與其他學(xué)科和生活之間的二重聯(lián)系。

概率最早源于賭博問題的研究，與人們的生活緊密聯(lián)系在一起。1653年，帕斯卡的一位朋友梅雷向其請教賭博中分配賭金的問題，引起帕斯卡的興趣，帕斯卡和費爾馬共同研究，解決了賭博中的問題，他們將擲骰子視為古典概型，后來拉普拉斯給出了古典概率的定義。由賭博而開啟了概率的研究，這成為當時數(shù)學(xué)家研究的動力和興趣。1657年，荷蘭數(shù)學(xué)家惠更斯出版了《論賭博中的計算》，專門討論賭博中有關(guān)點數(shù)的問題，如計算骰子的點數(shù)出現(xiàn)的概率。1713年，雅各布·伯努利《猜度術(shù)》，將概率知識進行系統(tǒng)化，并由有限樣本空間逐步擴展到無限樣本空間，得到處理隨機現(xiàn)象的大數(shù)定律。而現(xiàn)實生活能為理解概率提供大量有趣、啟迪思維的例子?？傊?，在現(xiàn)實生活、其他學(xué)科中存在大量的隨機現(xiàn)象，為“頻率的穩(wěn)定性”的教學(xué)設(shè)計提供了豐富的教學(xué)資源，包括課題學(xué)習(xí)的引入、教學(xué)中的師生互動、分析以及鞏固練習(xí)、課外訓(xùn)練等。

2.數(shù)學(xué)知識之間的聯(lián)系。

由于概率源自于生活，并用于解決其他學(xué)科的問題，內(nèi)容豐富而有意義，而建立在公理化基礎(chǔ)上的概率論對于中學(xué)生來說比較抽象，因此，應(yīng)加強概率有關(guān)知識之間的聯(lián)系。由數(shù)學(xué)知識之間的聯(lián)系而獲得教學(xué)設(shè)計的啟發(fā)，其教學(xué)設(shè)計除了用豐富的實例引入、分析、歸納“頻率的穩(wěn)定性”定義外，還應(yīng)關(guān)注：（1）概率的古典定義和統(tǒng)計定義的聯(lián)系;（2）概率的統(tǒng)計定義中關(guān)于試驗的次數(shù)的確定;（3）頻率估計概率的基本思想與方法。

3.概率的古典定義和統(tǒng)計定義的聯(lián)系。

概率的古典定義是由拉普拉斯給出的，它討論的對象僅限于隨機試驗中所有可能的結(jié)果為有限多且等可能的情形，并且每一事件都是等可能發(fā)生，具有先驗性，是客觀存在的理想值。而概率的統(tǒng)計定義是以伯努利大數(shù)定理為理論依據(jù)，取頻率的穩(wěn)定值為概率，具有后驗性。也就是說，概率的統(tǒng)計定義是利用頻率來研究隨機事件的概率，只是近似地計算隨機事件概率的方法。其優(yōu)點有：一是這種定義突破了隨機試驗要滿足“事件發(fā)生的等可能性”的限制，具有一般性;二是這種定義突破了事件發(fā)生所有可能的結(jié)果的有限性，而只關(guān)注某個事件發(fā)生的概率;三是直觀性，直觀地揭示了概率的含義;四是隨機試驗并不限于古典概型，需要通過大量試驗、重復(fù)觀察來確定概率，是用來估計概率的一種方法。因此，概率的統(tǒng)計定義主要是具有理論上的價值，很少用它直接計算事件的概率。但也有其弊端：在有限次試驗中很難確定頻率的穩(wěn)定值，求概率比較難。因為事件的隨機性會導(dǎo)致不同的試驗者在有限試驗的次數(shù)內(nèi)可能會得到不同的“穩(wěn)定值”，也就是說在穩(wěn)定值上下擺動，只有當試驗次數(shù)無限大時，才能得到穩(wěn)定值。但在實際中，往往不知概率為何值，只能通過試驗的次數(shù)充分大，頻率才能近似地表示概率。

在教學(xué)設(shè)計時，教師從中獲得的啟發(fā)是：考量學(xué)生已有的認知水平和現(xiàn)實生活的經(jīng)驗，將其納入到教學(xué)設(shè)計中來，例如，擲硬幣、骰子，可以從檢驗古典概型有關(guān)概率計算的正確性的角度，把概率的古典定義與統(tǒng)計定義聯(lián)系起來，有助于理解概率的統(tǒng)計定義。

4.概率的統(tǒng)計定義中關(guān)于試驗的次數(shù)。

由頻率的穩(wěn)定性來刻畫概率可以通過試驗來進行教學(xué)，但是頻率具有隨機性，是一個不斷變化的值，需要進行大量的試驗反映隨機事件的穩(wěn)定性，即概率是一個理論的確定值。在教學(xué)設(shè)計時，需要考慮試驗的次數(shù)，以保證學(xué)生直觀感受到頻率的穩(wěn)定性能刻畫概率，同時又考慮課堂教學(xué)時間的有限性。

關(guān)于隨機事件試驗的次數(shù)問題的數(shù)學(xué)說明。假設(shè)我們要估計某隨機事件A發(fā)生的概率，共進行n次試驗，將第i次試驗的結(jié)果用Xi表示（i=1，2，…，n），1表示在第i次試驗中隨機事件A發(fā)生，0表示該隨機事件不發(fā)生。在n次試驗中事件A發(fā)生的頻率為fnXi，其均值E（fn）=p，方差var（fn）=，實驗表明，當n≥100時，事件A發(fā)生的頻率近似服從正態(tài)分布。由中心極限定理，若p=0.5，試驗次數(shù)n=100，此時=0.1，則有p{fn-p<0.1}≈0.95，即大約有95%的把握保證頻率和概率的偏差小于0.1。若精度再提高1位，試驗次數(shù)要提高100倍，即10000次試驗，大約有95%的把握保證頻率和概率的偏差小于0.01。

由此，在教學(xué)設(shè)計時，教師從中獲得的啟示是：讓學(xué)生在試驗的過程中逐漸增加次數(shù)，使學(xué)生初步感受到概率的統(tǒng)計定義是在一定量的試驗的基礎(chǔ)上頻率趨于一個穩(wěn)定值。設(shè)計課堂教學(xué)時，考慮對學(xué)生進行分組，可以2人一組，然后匯總，每組學(xué)生試驗次數(shù)分為兩個數(shù)量級：100次以下，100次以上，這樣保證試驗的次數(shù)達到一定的量。在此基礎(chǔ)上再利用計算機模擬，給出更大數(shù)量。將兩種途徑相互結(jié)合，既達到有足夠試驗次數(shù)的目的，又能讓學(xué)生親身感受隨機現(xiàn)象的規(guī)律性。

5.頻率估計概率的基本思想和方法。

統(tǒng)計方法的選擇依賴于要解決的實際問題和收集數(shù)據(jù)的方法。頻率估計概率涉及統(tǒng)計方法的運用，其基本方法是：兩個估計量均為同一個參數(shù)的無偏估計，在統(tǒng)計中方差小的估計量更好。假設(shè)為了估計事件A發(fā)生的概率p做了大量的試驗，得到的統(tǒng)計結(jié)果如下表。

事件A發(fā)生的頻率表

記n=n1+n2+…+nk，把頻率再平均通常有以下兩種方法。

加權(quán)平均的方法p1=

直接取平均的方法p2=

現(xiàn)在有三個估計量p1、p2和fnk可以用來估計事件A發(fā)生的概率P，且它們都是P的無偏估計，分兩種情況來討論它們中哪個估計量最好，即方差最小。

因此，在教學(xué)設(shè)計中，教師獲得的啟示是：利用頻率估計概率，讓學(xué)生理解頻率與概率的區(qū)別與聯(lián)系，在分析和處理數(shù)據(jù)時，感受到概率與統(tǒng)計之間的關(guān)系。

二、基于“三重聯(lián)系”的課堂教學(xué)設(shè)計

基于上述“頻率的穩(wěn)定性”之“三重聯(lián)系”分析，我們試作如下教學(xué)設(shè)計，希望能夠為初中生切實掌握“頻率的穩(wěn)定性”提供幫助。

1.問題情境引入課題。

在現(xiàn)實生活中，人們經(jīng)常利用拋擲硬幣來決定事情的先后，請同學(xué)們想一想：這樣做合理嗎？硬幣正面朝上和反面朝上的可能性相等嗎？為什么？

（設(shè)計意圖：以現(xiàn)實例子來引入課題，其目的是：其一，學(xué)生對擲硬幣的隨機現(xiàn)象已有了一定的認知，并已知道其中的結(jié)論，為從統(tǒng)計的意義驗證結(jié)論奠定基礎(chǔ);其二，現(xiàn)實生活和其他學(xué)科存在豐富的隨機現(xiàn)象的例子，以引發(fā)學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣，讓學(xué)生感受到學(xué)習(xí)概率的現(xiàn)實意義。）

2.試驗驗證知識經(jīng)驗。

請同學(xué)們分成小組來驗證一下你們的猜想，2人一個小組，分別做三次試驗：第一次試驗次數(shù)為50次，第二次試驗次數(shù)為200次，第三次試驗次數(shù)為300次，并分別統(tǒng)計頻數(shù)和頻率，然后請同學(xué)們將每個小組的試驗數(shù)據(jù)匯總，統(tǒng)計全班所做試驗的頻數(shù)和頻率，并畫出統(tǒng)計折線圖。請同學(xué)們研究其中有什么規(guī)律。

教師也可以利用計算機模擬硬幣試驗，請同學(xué)們注意觀察在相同試驗次數(shù)下的頻率值，比較一下發(fā)現(xiàn)了什么？

（設(shè)計意圖：由“數(shù)學(xué)知識之間的聯(lián)系”啟發(fā)運用統(tǒng)計知識對經(jīng)驗結(jié)論進行驗證，其目的是：其一，通過學(xué)生親自動手操作，重在學(xué)生親身體驗頻率與概率的關(guān)系，利于啟迪學(xué)生內(nèi)心世界的自我反省與思考;其二，重溫統(tǒng)計知識，實現(xiàn)統(tǒng)計與概率知識內(nèi)在聯(lián)系，有助于學(xué)生體會統(tǒng)計方法的意義，發(fā)展數(shù)據(jù)分析觀念，感受隨機現(xiàn)象;其三，經(jīng)歷試驗過程的比較與研究，有助于學(xué)生學(xué)會觀察、猜想等，提升數(shù)學(xué)活動能力，學(xué)會表達自己的想法;其四，感受計算機在數(shù)學(xué)研究中的作用;其五，有助于培養(yǎng)學(xué)生團結(jié)合作的精神。）

展現(xiàn)歷史上數(shù)學(xué)家曾做過的擲硬幣試驗，利用計算機模擬這些數(shù)學(xué)家所做試驗的次數(shù)，比較結(jié)果，并做出解釋。

（設(shè)計意圖：其一，讓學(xué)生再次認識、感受頻率的隨機性，并由之體會概率的統(tǒng)計定義;其二，展現(xiàn)數(shù)學(xué)文化的價值，體會數(shù)學(xué)家的探索精神和研究方法;其三，培養(yǎng)學(xué)生對權(quán)威有一種勇于批判的精神。）

3.課堂練習(xí)鞏固所學(xué)。

小凡做了5次拋擲均勻硬幣的試驗，其中有3次正面朝上，2次正面朝下，因此他認為正面朝上的概率大約為■，朝下的概率約為■。你同意他的觀點嗎？你認為他再多做一些試驗，結(jié)果還是這樣嗎？

擲一枚質(zhì)地均勻的硬幣，正面朝上的概率為■，那么，擲100次硬幣，你能保證恰好50次正面朝上嗎？

（設(shè)計意圖：將所學(xué)的知識用于解釋現(xiàn)實生活中的現(xiàn)象與困惑，做到學(xué)以致用，反思所學(xué)，利于培養(yǎng)學(xué)生的科學(xué)批判與審視的態(tài)度和精神。）

三、一點啟示

以上“頻率的穩(wěn)定性”嘗試以“三重聯(lián)系”為數(shù)學(xué)教學(xué)設(shè)計提供一種理論指導(dǎo)，構(gòu)建“頻率穩(wěn)定性”教學(xué)設(shè)計，從而為教師進行教學(xué)設(shè)計提供一種新的視角。同時，也給數(shù)學(xué)教育工作者更多的啟示與思考：第一，“三重聯(lián)系”是以課程總目標的形式規(guī)定了教學(xué)設(shè)計應(yīng)達到的教學(xué)目的，數(shù)學(xué)教學(xué)設(shè)計需要整體地考量數(shù)學(xué)知識內(nèi)部之間、數(shù)學(xué)與其他學(xué)科、數(shù)學(xué)與生活的聯(lián)系，基顯著的特點是整體性;第二，“三重聯(lián)系”是課程總目標之一，從宏觀上規(guī)定了數(shù)學(xué)具體的課堂教學(xué)目標，但是將課程總目標轉(zhuǎn)化為課堂具體目標需要教師的數(shù)學(xué)教育智慧，既能實現(xiàn)課程目標，又能滿足學(xué)生意愿，讓學(xué)生樂意去學(xué)，增強學(xué)生學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的樂趣、興趣;第三，從某種意義上說，“三重聯(lián)系”可以作為體現(xiàn)數(shù)學(xué)文化價值的一種手段，在數(shù)學(xué)課堂教學(xué)上實現(xiàn)數(shù)學(xué)文化教育的目的。

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[4]張淑梅，張唯一.初中“用頻率估計概率”的教學(xué)解析[J].數(shù)學(xué)通報，2010（01）.

【基金項目】安徽省教育科學(xué)規(guī)劃項目，編號：JG12016