張奠宙

近讀一些小學(xué)數(shù)學(xué)教材，有一些細(xì)節(jié)的處理，不夠精細(xì)?；蚯昂蟛灰?，或言過其實(shí)，籠統(tǒng)疏忽之處，屢有所見?，F(xiàn)略舉幾例，與教材的編者商榷。

一、關(guān)于分類中的一般與特殊

數(shù)學(xué)教學(xué)中，常常要將一些數(shù)或形進(jìn)行“分類”。長期以來，我國習(xí)慣于單一地使用 “不重不漏”的原則，以至把一些特殊情形從一般情形中分離出來，使得彼此間的從屬包含關(guān)系，硬說成是彼此對(duì)立的關(guān)系，造成人為的割裂。 例如：

1.整數(shù)不是分?jǐn)?shù)，把整數(shù)和分?jǐn)?shù)對(duì)立起來 （圖1）。然而，明明整數(shù)是分母為1的分?jǐn)?shù)，整數(shù)是分?jǐn)?shù)的一部分。

2.小數(shù)等同于分?jǐn)?shù)（圖1）。這顯然也是不妥的，無限不循環(huán)小數(shù)并不是分?jǐn)?shù)。其次，整數(shù)不能和小數(shù)相對(duì)立，整數(shù)是小數(shù)部分為0的特殊小數(shù)。如果說，這里的小數(shù)也包括無限小數(shù)，那么整數(shù)更可以是無限小數(shù)了。例如 0.999… =1。

3. 平行四邊形不是梯形 （圖2）。事實(shí)上，梯形是四邊形的一部分，平行四邊形可以看作是梯形的特殊情形，三者依對(duì)邊平行的組數(shù)多少形成從屬關(guān)系（教材中“只有一組對(duì)邊平行的四邊形叫作梯形”的表述可以探討）。

但是，另一方面，教材中又強(qiáng)調(diào)了如下關(guān)系（見圖2）。

4. 正方形是長方形的特殊情形。

5. 正方體是長方體的特殊情形。

這樣一來，同樣是彼此間的從屬關(guān)系，1，3 的判斷和4，5 的判斷恰好相反，令人無所適從。

事實(shí)上， 從屬關(guān)系也是一種分類。例如，我國公民的戶籍，就按照?。ㄗ灾螀^(qū)、直轄市）、市、縣、鎮(zhèn)、鄉(xiāng)、村 這樣的等級(jí)從屬關(guān)系分類。而在某一級(jí)里，再依不重不漏的原則分類（如省一級(jí)有31個(gè)不重不漏的劃分）。

忽視這樣的細(xì)節(jié)，人為地制造麻煩，需要改正。希望教材里再也不要把整數(shù)與分?jǐn)?shù)對(duì)立起來了。

二、關(guān)于三角形的穩(wěn)固性

小學(xué)數(shù)學(xué)教材的三角形單元，都會(huì)涉及穩(wěn)定性的知識(shí)，但是在一些細(xì)節(jié)處理上卻不夠嚴(yán)謹(jǐn)。例如沒有交代頂點(diǎn)處接頭的特性。三角形的穩(wěn)定性，是指在三個(gè)頂點(diǎn)處只是鉸接情形下，也是穩(wěn)定不動(dòng)的。而說四邊形是不穩(wěn)定的，那是指四個(gè)接頭都是可以活動(dòng)的鉸接（如活動(dòng)門）。如果四個(gè)接頭都是焊接或螺釘固接，它還能活動(dòng)嗎？因此，教材上必須畫出這種鉸接的方式。課堂上演示，則可以將兩根木棒在頂點(diǎn)處鉆小孔用鐵絲穿過，作為轉(zhuǎn)軸進(jìn)行鉸接。這種細(xì)節(jié)處理，不可省略。

更值得商榷的是，教材里以“加固搖晃的舊椅子”作為三角形穩(wěn)定性原理的應(yīng)用（見圖3）。然而，這種“斜”釘木條的做法，會(huì)比“橫”釘木條加固更加有效嗎？恐怕未必。因?yàn)椋@里的接頭都不是鉸接，而是固定的連接。椅子是立體框架結(jié)構(gòu)，不是平面結(jié)構(gòu)。人坐椅子時(shí)各個(gè)部分的受力情況，與框架的一部分是三角形還是矩形，沒有直接的因果關(guān)系。再說，加固也要考慮美觀。這類“斜”釘椅子的情景，還是去掉為好。

三、 關(guān)于驗(yàn)證與證明

人教社版四下68頁（見圖4），在探究四邊形的內(nèi)角和時(shí)，用了兩種方法。一是將四邊形的四個(gè)頂角剪下來拼成一個(gè)周角；二是把四邊形分成兩個(gè)三角形，用三角形內(nèi)角和定理進(jìn)行推理計(jì)算。接著，在“回顧與反思”欄目里寫著“我們大家共同證明了所有四邊形的內(nèi)角和都是360°”。對(duì)于這樣的回顧，我們可否做得更加細(xì)致、準(zhǔn)確一些呢？剪拼的方法，是一種用數(shù)據(jù)證實(shí)我們猜想物理實(shí)驗(yàn)的方法。證實(shí)的過程要用到測(cè)量的數(shù)據(jù)，而測(cè)量數(shù)據(jù)是有誤差的。我們利用數(shù)據(jù)穩(wěn)定地發(fā)生在某數(shù)值附近的現(xiàn)象，作出證實(shí)某規(guī)律的結(jié)論。然而，分成兩個(gè)三角形進(jìn)行計(jì)算推理得出結(jié)論，則是一種嚴(yán)謹(jǐn)?shù)倪壿嬜C明。因此，我們?cè)谟迷~上要對(duì)“物理證實(shí)”和“數(shù)學(xué)證明”加以某種區(qū)別，而不要一鍋煮，說成“共同證明”。當(dāng)然，對(duì)于小學(xué)生而言，不必在理論上正面論述，只要適當(dāng)?shù)攸c(diǎn)一下就可以了。例如，不妨將前面引用的那段“回顧與反思”，改寫為“我們用了‘測(cè)量證實(shí)’ 和‘?dāng)?shù)學(xué)證明’兩種方法，都得到了四邊形的內(nèi)角和為360° 的結(jié)論”。

同樣地，在計(jì)算不規(guī)則物體體積時(shí)，使用“排水法”進(jìn)行測(cè)量，也是一種物理方法，和用數(shù)學(xué)方法給出規(guī)則物體的計(jì)算公式是不同的。事實(shí)上，只有小學(xué)數(shù)學(xué)里涉及測(cè)量。這種度量物體體積的物理方法，在中學(xué)的數(shù)學(xué)課本里，就不再使用了。

四、關(guān)于“是一倍”和“加一倍”

在“倍的認(rèn)識(shí)”單元里，要談的是一個(gè)細(xì)節(jié)問題：“一倍”的理解。翻閱人教社版三上數(shù)學(xué)教材，沒有討論這一問題。從數(shù)學(xué)上看，數(shù)A是數(shù)B的一倍，意味著A=B。然而，在日常生活中，“倍”的用法，含有增加到原數(shù)2倍的意思。如“產(chǎn)量增倍”“事倍功半”、農(nóng)家“五月人倍忙”等說法，雖然只有一個(gè)“倍”字，卻明顯地并非“是一倍”的意思，而是“加一倍”的意思。這就是說，“是一倍”和“加一倍”之間有重要的區(qū)別。這雖事關(guān)語文表達(dá)，但為了避免誤用，在數(shù)學(xué)教材里正面進(jìn)行闡述，仍有必要。例如，不妨加上兩句話：“如果A是B的一倍，那么A=B。如果A是在B的基礎(chǔ)上加一倍，那么A =B+B=2B?！?/p>

這樣的提醒，可以幫助學(xué)生在實(shí)際使用中避免錯(cuò)誤。

總之， 教材要把每一個(gè)細(xì)節(jié)做到精心處理。這將體現(xiàn)作者對(duì)編寫工作的責(zé)任心，也將反映作者為讀者服務(wù)的誠心。