陳燕

摘 要： 自主互助學(xué)習(xí)型課堂重在構(gòu)建一套契合我校數(shù)學(xué)教學(xué)現(xiàn)狀的、高效的、自主互助學(xué)習(xí)型的課堂教學(xué)模式.力求從教學(xué)模式上解決教育如何以學(xué)生為本，在進一步體現(xiàn)學(xué)生主體性、促進學(xué)生交流互助的基礎(chǔ)上幫助學(xué)生“學(xué)會學(xué)習(xí)”，從而為他們的終生發(fā)展奠定堅實的基礎(chǔ).本文以《空間向量復(fù)習(xí)》為例，結(jié)合課題的指導(dǎo)思想和宗旨，進一步探索自主互助學(xué)習(xí)型課堂.

關(guān)鍵詞： 高中數(shù)學(xué)教學(xué) 自主互助 學(xué)習(xí)型課堂 空間向量

在復(fù)習(xí)空間向量的過程中，發(fā)現(xiàn)學(xué)生學(xué)會了用直線的方向向量和平面的法向量解決相關(guān)計算問題，碰到難一點的判斷題或非常規(guī)圖形就不會處理。至于問題的形成原因，我認(rèn)為除了學(xué)生還沒習(xí)慣用向量解題之外，主要是學(xué)生對于空間向量中的一些定理沒有認(rèn)識到位.結(jié)合自主互助學(xué)習(xí)型課堂模式，我設(shè)計了如下教學(xué)流程.

一、課前預(yù)習(xí)

先讓學(xué)生復(fù)習(xí)平面向量涉及的3個定理或推論：

已學(xué)的平面向量：

①平面向量共線定理：■∥■？圳■=λ■（■≠■）.

②平面向量基本定理：如果是同一平面內(nèi)的兩個不共線的向量■，那么對于這一平面內(nèi)的任一向量■，有且只有一對實數(shù)λ■，λ■，使■=λ■■+λ■■.

③平面向量基本定理推論：設(shè)平面任意一點O，則P，A，B三點共線？圳■=x■+y■（其中x+y=1）.

二、課堂互動

教師與學(xué)生合作總結(jié)空間向量中的4個定理或推論.

新學(xué)的空間向量：

④空間向量共線定理：■∥■？圳■=λ■（■≠■）.

⑤空間向量共面定理：如果兩個向量■，■不共線，那么向量■與向量■，■共面的充要條件是存在有序?qū)崝?shù)組（x，y），使得■=x■+y■.

⑥空間向量共面定理推論：設(shè)空間任意一點O和不共線三點A，B，C.

P，A，B，C四點共面？圳■=x■+y■+z■（其中x+y+z=1）.

⑦空間向量基本定理：如果三個向量■，■，■不共面，那么對空間任一向量■，存在唯一的有序?qū)崝?shù)組（x，y，z），使■=x■+y■+z■.

這么多的定理及推論，靠死記硬背，能記住就不錯了，更談不上靈活運用了.

三、小組討論，自主互助

此時我要求學(xué)生進行小組討論，觀察兩組定理的聯(lián)系與區(qū)別，能否將定理的條數(shù)變少.學(xué)生在經(jīng)過長時間的談?wù)摵罂偨Y(jié)出定理的條數(shù)可以減少.定理①④、定理②⑦類似.

四、教師點評

要求同學(xué)們只要記住兩個定理：

一是共線定理即定理①④，它們的內(nèi)容和形式都是一樣的，很好記.

二是基本定理，分平面和空間，即定理②⑦.定理②中的系數(shù)之和為1，即λ■+λ■=1時，即為③，定理⑦中的系數(shù)之和為1即x+y+z=1時即為⑥，還有⑤，⑤=②.

這樣記不僅記住了定理，還知道了它們之間的聯(lián)系和區(qū)別，有了知識的生成過程和關(guān)聯(lián)，熟練掌握水到渠成.

五、及時鞏固

例1：已知空間三點A（0，2，3），B（-2，1，6），C（1，-1，5）.

設(shè)M（x，y，z）是平面ABC內(nèi)任一點，求x，y，z滿足的關(guān)系式.

解法一：

因為A（0，2，3），B（-2，1，6），C（1，-1，5），所以■=（-2，-1，3），■=（1，-3，2），設(shè)平面ABC的法向量為■=（x，y，z），則■·■=-2x-y+3z=0■·■=x-3y+2z=0，解得x=y=z，不妨取z=1，則平面ABC的一個法向量為■=（1，1，1），而■=（x，y-2，z-3），所以■·■=x+y-2+z-3=0.所以x+y+z-5=0.

評注：解法一利用平面的法向量解題，計算簡單且容易理解.很多學(xué)生反映好像向量這邊學(xué)完了之后感覺都是計算方向向量和法向量，其實如果我們能夠?qū)Χɡ恝佟哂猩羁汤斫饩蜁衅渌緩浇鉀Q該問題.

解法二：

因為A，B，C，M四點共面，所以■，■，■共面，因為■，■不共線，由共面向量定理可知■=λ■■+λ■■，即（x，y，z-3）=λ■（-2，-1，3）+λ■（1，-3，2），

所以x=-2λ■+λ■ ①y-2=-λ■-3λ■ ②z-3=3λ■+2λ■ ③，由①②解得λ■=-■λ■=■，代入③

可得z-3=-■+■，化簡可得x，y，z滿足的關(guān)系式為：

x+y+z-5=0.

解法三：

因為A，B，C，M四點共面，設(shè)O為空間中任意一點，則

■=λ■■+λ■■+λ■■，且λ■+λ■+λ■=1

即（x，y，z）=λ■（0，2，3）+λ■（-2，1，6）+λ■（1，-1，5）

所以x=-2λ■+λ■①y=2λ■+λ■-λ■②z=3λ■+6λ■+5λ■③，解得λ■=■λ■=■λ■=■，又λ■+λ■+λ■=1，

所以■+■+■=1，化簡可得x+y+z-5=0.

評注：解法二和解法三計算量稍大，但不需要計算平面的法向量，而且能加深對定理⑤⑥的理解，這兩種解法也是相當(dāng)自然.從而得到了三種已知平面上不共線三點求平面方程的方法.

很多時候?qū)W生解題過于依賴坐標(biāo)系中的方向向量和法向量，一旦題目坐標(biāo)系難以建立或不好建系，往往就會因為不習(xí)慣導(dǎo)致解題失敗.

例2：如圖，在平行六面體ABCD-A■B■C■D■中，各棱長都相等，且∠BAD=90°，∠BAA■=∠DAA■=60°.求證：■是平面A■BD的法向量.

分析：本題即證直線AC⊥平面A■BD，易知AC⊥BD，只要在平面A■BD中找一條與BD相交且與AC垂直的直線即可，不妨選擇A■B.學(xué)生上來先建系，無論是以■為z軸還是在平面ABCD中作DC的垂線為z軸都是錯誤的.

證法一：

連接D■C、D■A，算出D■C、D■A、AC的長度用勾股定理證明AC⊥CD■

或記AC∩BD=O，連接A■O，連接A■O，A■C，用勾股定理證明AC⊥C■O

評注：兩種思路都需要作輔助線，學(xué)生短時間內(nèi)思考有一定難度.

證法二：

∵■=■-■，■=■+■

∴■·■=■+■·■-■·■-AA■·■

不妨設(shè)棱長為1，則■·■=1+0-1×1×■-1×1×■=0

∴■⊥■，即AC⊥A■B.

評注：此種證法用空間向量基本定理證明，簡單易行，關(guān)鍵是要用對定理和選擇合適的基底，關(guān)于基底的選擇，建議選擇同起點的不共面向量，結(jié)合向量的運算都能解決.

本題若將∠BAD=90°改成∠BAD=60°，則會產(chǎn)生哪些新題型，留給讀者思考.

在日常的教學(xué)中，如果我們能夠適當(dāng)減少習(xí)題的量，更多地注重概念的生成、理解，章節(jié)的復(fù)習(xí)、聯(lián)系；則不僅能減輕學(xué)生的學(xué)習(xí)負(fù)擔(dān)，而且能激發(fā)學(xué)生學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的興趣，達(dá)到事半功倍的效果.把課堂還給學(xué)生，激發(fā)學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣，給他們充分的展示機會，幫助他們在自主學(xué)習(xí)和群學(xué)交流中理解知識、掌握技能、感悟數(shù)學(xué)細(xì)想，通過長期堅持，真正培養(yǎng)學(xué)生的數(shù)學(xué)素養(yǎng)，提高學(xué)生分析、解決問題的能力.